2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第一章第一节　集　合

第一节　集　合

一、集合的基本概念

1.元素的特性

(1)确定性;(2)互异性;(3)无序性.

2.集合与元素的关系

(1)a属于A,记为a∈A;

(2)a不属于A,记为a∉A.

3.常见集合的符号

4.集合的表示方法

(1)列举法;(2)描述法;(3)Venn图法.

1.概念理解

(1)元素特性之确定性的含义:元素a与集合A之间有且只有两种关系,a∈A或aA.

(2)集合是由元素构成的,元素可以是数、字母、点等,明确集合中的元素是解题的关键.

(3)集合的三种表示方法之间可以相互转化.

2.与集合知识相关联的结论

集合的分类:按集合中元素个数划分,可分为有限集、无限集、空集;按所含元素的属性分类,可分为点集、数集或其他集合.

3.与集合应用相关联的结论(知识)

(1)集合的运算求解中,对于所求字母的值一定要检验集合中元素的互异性.

(2)对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等,分几种情况列出方程组进行求解,或利用和与积相等列方程组求解.

二、集合间的基本关系

1.概念理解

(1)子集与真子集的区别与联系:集合A的真子集一定是其子集,而A的子集不一定是其真子集.

(2)元素与集合之间的关系是从属关系,集合与集合之间的关系是包含关系.

2.与子集知识相关联的结论

(1)包含关系具备传递性,即A⊆B,B⊆C,则A⊆C.

(2)若有限集A中有n个元素,则A的子集个数为2n,非空子集个数为2n-1,真子集个数为2n-1,非空真子集个数为2n-2.

3.与子集应用相关联的结论

(1)在解题时,若未明确说明集合非空时,要考虑到集合为空集的可能性.例如:A⊆B,则需考虑A=和A≠两种可能的情况.

(2)判断集合关系的三种方法

①一一列举观察;

②集合元素特征法:首先确定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用其特征判断集合关系;

③数形结合法:利用数轴或Venn图.

三、集合的基本运算

1.概念理解

并集定义中联结词为“或”,不能理解为“和”,否则会与元素的互异性冲突.

2.与集合的运算相关的结论

(1)A∪=A,A∪A=A,A∪B=A⇔B⊆A;

(2)A∩=,A∩A=A,A∩B=B⇔B⊆A;

(3)A∪(UA)=U,A∩(UA)=,U(UA)=A;

(4)数形结合思想:数轴和Venn图是进行集合运算的有力工具,解题时要先把集合中说明元素特征的各种代数式化简,使之明确,尽可能借助数轴、坐标系或Venn图等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解题.

1.(2019·浙江卷)已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},则(UA)∩B等于(　A　)

(A){-1}    (B){0,1}

(C){-1,2,3} (D){-1,0,1,3}

解析:因为U={-1,0,1,2,3},A={0,1,2},

所以UA={-1,3}.

又因为B={-1,0,1},

所以(UA)∩B={-1}.

故选A.

2.设全集U是实数集R,M={x|(x+2)(x-2)>0},N={x|-1<x≤5},则图中阴影部分表示的集合是(　D　)

(A){x|-2≤x<-1} (B){x|x<-2或x>5}

(C){x|-1<x≤2}    (D){x|x<-2或x>-1}

解析:从Venn图可知阴影部分是M∪N,

又M={x|x<-2或x>2},

所以M∪N={x|x<-2或x>-1}.

3.(2019·永康市高考适应性考试)已知集合P={x|x(x-2)≥0},Q=(x|>0),则P∩Q等于(　C　)

(A)         (B){x|x≥2}

(C){x|x>2}  (D){x|x≥2或x<0}

解析:由题意得P={x|x≤0或x≥2},Q={x|x>2},故 P∩Q={x|x>2}.故选C.

4.定义A-B={x|x∈A且x∉B},若M={1,2,3,4,5},N={2,3,6},则M-N=　　　　 . 

解析:由定义A-B={x|x∈A且x∉B}可得M-N为M中去掉N的元素,

所以M-N={1,4,5}.

答案:{1,4,5}

5.已知集合M={1,m},N={n,log2n}.若M=N,则(m-n)2 019=　　　　. 

解析:若n=1,则m=log2n=log21=0,

所以(m-n)2 019=-1;

若log2n=1,即n=2,m=n=2,

所以(m-n)2 019=0.

答案:0或-1

考点一　集合的基本概念

[例1] (1)(2018·全国Ⅱ卷)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为(　　)

(A)9 (B)8 (C)5 (D)4

(2)已知a∈R,若(a,,1)={a2,a+b,0},则a+b=　　　　. 

解析:(1)将满足x2+y2≤3的整数x,y全部列举出来,

即(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),共有9个.故选A.

(2)由集合元素的互异性知a≠0且a≠1,

所以由知

答案:(1)A　(2)-1

(1)考查集合元素个数的判断,研究一个集合,首先要看清集合的代表元素,然后再分析元素的限制条件,当集合用描述法表示时,注意弄清其元素表示的意义是什么.(2)考查集合内元素的特征:互异性与无序性,对于含有字母的集合求解要分类讨论,并在求出字母的值后,注意检验集合元素是否满足互异性.

若集合A={1,2,3},B={(x,y)|x+y-4>0,x,y∈A},则集合B中的元素个数为(　D　)

(A)9 (B)6 (C)4 (D)3

解析:列举法,将满足x+y-4>0,x,y∈A的元素一一列举出来,有(2,3),(3,3),(3,2),所以B中有3个元素.故选D.

考点二　集合的基本关系

[例2] (1)已知集合A={x||x-2|<1},集合B={x|x<m},若A⊆B,则m的取值范围是(　　)

(A){m|m≥3} (B){m|m≤2}

(C){m|m>3} (D){m|m<2}

(2)设A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0},若B⊆A,则实数a的取值组成的集合C=　　　　. 

解析:(1)根据题意,|x-2|<1,

等价于-1<x-2<1,1<x<3,

那么根据数轴法可知,要使得集合A是集合B的子集,

则可知m≥3,故选A.

(2)因为A={3,5},B⊆A,

所以当B=时,方程ax-1=0无解,

则a=0,此时有B⊆A;

当B≠时,则a≠0,

由ax-1=0,得x=,即⊆{3,5},

所以=3或=5,所以a=或a=,

所以C={0,,}.

答案:(1)A　(2) {0,,}

(1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解;(2)已知两集合关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn图来直观解决这类问题.

设M为非空的数集,M⊆{1,2,3},且M中至少含有一个奇数元素,则这样的集合M共有(　A　)

(A)6个 (B)5个 (C)4个 (D)3个

解析:若M中只有一个奇数元素,则M={1},{3},{1,2},{2,3};若M中含有两个奇数元素,则M={1,3},{1,2,3},所以选A.

考点三　集合的基本运算

[例3] (1)(2019·全国Ⅱ卷)设集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|x-1<0},则A∩B等于(　　)

(A)(-∞,1) (B)(-2,1)

(C)(-3,-1) (D)(3,+∞)

(2)已知集合M,NI,若M∩N=N,则(　　)

(A)IM⊇IN (B)M⊆IN

(C)IM⊆IN (D)M⊇IN

(3)已知集合A={x|x<a},B={x|1≤x<2},且A∪(RB)=R,则实数a的取值范围是(　　)

(A){a|a≤1} (B){a|a<1}

(C){a|a≥2} (D){a|a>2}

解析:(1)由题意得,A={x|x<2或x>3},B={x|x<1},则A∩B={x|x<1}.故选A.

(2)根据条件作出Venn图如图所示.

由Venn图得IM⊆IN,故选C.

(3)RB={x|x<1或x≥2},若A∪(RB)=R,

由数轴可知,a≥2,选C.

(1)有关集合的运算要注意以下两点:

①要关注集合中的代表元素是什么.②要对集合的化简进行恒等变换,并且特别注意是否含端点.

(2)有关集合的运算常有以下技巧:

①离散型数集或抽象集合间的运算,常借助Venn图求解;

②连续型数集的运算,常借助数轴求解;

③已知集合的运算结果求集合,借助数轴或Venn图求解;

④根据集合运算求参数,先把符号语言译成文字语言,然后适时应用数形结合求解.

1.(2019·温州市高考适应性考试)已知集合A={1,2,-1},集合B={y|y=x2,x∈A},则A∪B等于(　C　)

(A){1} (B){1,2,4}

(C){-1,1,2,4} (D){1,4}

解析:由题意得B={1,4},故A∪B={1,2,-1,4}.故选C.

2.设A,B是非空集合,定义A*B={x|x∈(A∪B),且x∉(A∩B)},已知A={x|0≤x≤3},B={y|y≥1},则A*B=　　　　 . 

解析:由题意,A∪B=[0,+∞),A∩B=[1,3],

所以A*B=[0,1)∪(3,+∞).

答案:[0,1)∪(3,+∞)

考点四　易错辨析

[例4] 设集合A={0,-4},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,x∈R},若A∩B=B,则实数a的取值范围是　　　　. 

解析:因为A∩B=B,所以B⊆A,分以下三种情况:

①当B=A时,0和-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两个根,

得解得a=1;

②当B≠且BA时,B={0}或B={-4},

并且Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,

解得a=-1,此时B={0}满足题意;

③当B=时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1.

综上所述,a≤-1或a=1.

答案:(-∞,-1]∪{1}

由A∩B=B,可知B⊆A,所以B可以为,解题时易忽视方程无解的情况,造成漏解,此外B中只有一个元素时,即方程有两个相等的根时,若代入求参数,忽视Δ=0易导致增解.

已知M={(x,y)=3},N={(x,y)|ax+2y+a=0},且M∩N=,则a等于(　A　)

(A)-6或-2 (B)-6 

(C)2或-6      (D)2

解析:M={(x,y)=3}

={(x,y)|y=3x-3,x≠2},

N={(x,y)|ax+2y+a=0}

={(x,y)| y=-x-},

由M∩N=,所以两直线平行或直线ax+2y+a=0过(2,3)点,得a的值为-6或-2,故选A.