2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第四章第一节　一元二次方程与二次函数

第一节　一元二次方程与二次函数

一、一元二次方程

1.一元二次方程的定义

含有未知数x,并且x的最高次数是二次的等式ax2+bx+c=0(a≠0),称为关于x的一元二次方程.

2.一元二次方程的根

(1)当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根x1、2=.

(2)当Δ=0时,方程有两个相等的实数根x1=x2=-.

(3)当Δ<0时,方程没有实数根.

3.一元二次方程的根与系数之间的关系

如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是x1,x2,那么x1+x2=,x1·x2=.这一关系也被称为韦达定理.

1.公式理解

对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0,若x1,x2是其两根,由韦达定理可知x1+x2=-p,x1·x2=q,即p=-(x1+x2),q=x1·x2,所以方程x2+px+q=0可化为x2-(x1+x2)x+x1·x2=0,由于x1,x2是一元二次方程x2+px+q=0的两根,所以x1,x2也是一元二次方程x2-(x1+x2)x+x1·x2=0的两根,因此以两个数x1,x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1·x2=0,这也是十字相乘法解一元二次方程的依据.

2.与方程的根相关的结论

(1)根的符号的判定

①方程有两根同号⇔

②方程有两根异号⇔

③两不等正根⇔

④两不等负根⇔

(2)一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量,为了解题简便,我们探讨出其一般规律,可以直接利用:设x1和x2分别是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,则|x1-x2|=|-|=||==.

二、二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系

1.概念理解

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点即函数图象与x轴交点的横坐标,也是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根.因此关于函数零点或方程根的问题,可同时从方程的判别式、根与系数的关系及函数的图象特征几个方面入手.

2.一元二次方程根的分布与方程系数的关系(以开口向上为例)

一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)根的分布也即函数y=ax2+bx+c(a>0)零点所在的区间,这类问题常借助函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象来解.一般从四个方面分析:①开口方向;②对称轴位置;③判别式;④区间端点的函数值.

常见类型列表如下:

1.若x1,x2是方程2x2-4x+1=0的两个根,则+的值为(　C　)

(A)2 (B)4 (C)6 (D)8

解析:由题意得x1+x2=2,x1·x2=,

+==

=-2

=-2=6.

2.设f(x)=1-(x-a)(x-b)(a<b),m,n为y=f(x)的两个零点,且m<n,则a,b,m,n的大小关系是(　B　)

(A)a<m<n<b (B)m<a<b<n

(C)a<b<m<n (D)m<n<a<b

解析:由题意得a,b是函数g(x)=(x-a)(x-b)的两个零点,而m,n相当于y=g(x)与y=1的两交点的横坐标,二次函数g(x)=(x-a)(x-b)开口向上,故a,b,m,n的大小关系是m<a<b<n.

故选B.

3.若方程x2-2mx+4=0的两根满足一根大于1,一根小于1,则m的取值范围是(　B　)

(A)(-∞,-) (B)(,+∞)

(C)(-∞,-2)∪(2,+∞) (D)(-,+∞)

解析:设f(x)=x2-2mx+4,

则题设条件等价于f(1)<0,

即1-2m+4<0,解得m>.

4.已知函数f(x)=x2+x+6,存在x∈[0,2],使得f(x)≥a2-a成立,则实数a的取值范围是(　A　)

(A)[-3,4] 

(B)[-2,3]

(C)(-∞,-2]∪[3,+∞) 

(D)(-∞,-3]∪[4,+∞)

解析:存在x∈[0,2],

使得f(x)≥a2-a⇒[f(x)]max≥a2-a,

求导得f′(x)=2x+1,在x∈[0,2]时f′(x)>0,

⇒[f(x)]max=f(2)=12,

⇒12≥a2-a⇒0≥(a-4)(a+3)⇒4≥a≥-3,

实数a的取值范围是[-3,4],

故选A.

5.若关于x的方程22x-2xa+a+1=0有两个不同的正实根,则实数a的取值范围是　　　　.  

解析:令f(t)=t2-at+a+1,原方程有两个不同的正实根,也就是函数f(t)有两个大于1的零点,则由二次函数的图象可知解得a>2+2.

答案:(2+2,+∞)

考点一　一元二次方程的求解

[例1] 已知关于x的方程x2-(m-2)x-=0.

(1)求证:无论m取什么实数,这个方程总有两个相异实数根;

(2)若这个方程的两个实数根x1,x2满足|x2|=|x1|+2,求m的值及相应的x1,x2.

(1)证明:Δ=2(m-1)2+2>0,

故无论m取什么实数,这个方程总有两个相异实数根.

(2)解:因为x1x2=-≤0,

所以x1≤0,x2≥0,或x1≥0,x2≤0.

①若x1≤0,x2≥0,则x2=-x1+2,

所以x1+x2=2,

所以m-2=2,

所以m=4.

此时,方程为x2-2x-4=0,

所以x1=1-,x2=1+.

②若x1≥0,x2≤0,则-x2=x1+2,

所以x1+x2=-2,

所以m-2=-2,

所以m=0.

此时,方程为x2+2x=0,

所以x1=0,x2=-2.

求解一元二次方程首先考虑因式分解,然后可用求根公式.若方程系数中含有参数,要注意利用Δ判定根的个数.

若关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有实数根x1,x2,且x1<x2,则下列结论中错误的是(　C　)

(A)当m=0时,x1=2,x2=3

(B)m>-

(C)当m>0时,2<x1<x2<3

(D)二次函数y=(x-x1)(x-x2)+m的图象与x轴交点的坐标为(2,0)和(3,0)

解析:画出二次函数y=(x-2)(x-3)的图象如图所示,当m=0时,x1=2,x2=3成立,故A选项结论正确,不符合题意.根据二次函数图象的对称性可知,当x=2.5时,y取得最小值为-.要使(x-2)(x-3)=m有两个不相等的实数根,则需m>-,故B选项结论正确,不符合题意.当m>0时,根据图象可知x1<2,x2>3,故C选项结论错误,符合题意.由(x-2)(x-3)=m展开得x2-5x+6-m=0,根据韦达定理得x1+x2=5,x1·x2=6-m.所以y=(x-x1)(x-x2)+m=x2-(x1+x2)x+x1x2+m=x2-5x+6=(x-2)(x-3),故y=(x-x1)(x-x2)+m与x轴的交点坐标为(2,0),(3,0),故D选项结论正确,不符合题意.

故选C.

考点二　一元二次方程根的分布

[例2] 关于x的一元二次方程x2-2ax+a+2=0,当a为何实数时,

(1)有两不同正根;

(2)不同两根在(1,3)之间;

(3)有一根大于2,另一根小于2;

(4)在(1,3)内有且只有一解.

解:设f(x)=x2-2ax+a+2,

Δ=4a2-4(a+2)=4(a2-a-2)=4(a-2)(a+1).

(1)由已知条件解得a>2.

(2)由已知条件解得2<a<.

(3)由已知条件f(2)<0,解得a>2.

(4)由已知条件f(1)f(3)<0,解得<a<3.

当f(3)=0,a=时,方程的两解为x1=,x2=3,

当f(1)=0,即a=3时,方程的两解为x1=1,x2=5,

可知≤a<3.

Δ=0⇒a=2或a=-1.

即a=2时,f(x)=x2-4x+4=(x-2)2,

方程的解为x1=x2=2,a=-1时得x1=x2=-1,不合题意.所以a=2,综上有a=2或≤a<3.

解决一元二次方程的根的特殊分布问题可借助于相应的一元二次函数图象,从开口方向、对称轴、根的正负等角度列举不等关系,综合求解.

1.若方程x2+(m+2)x+m+5=0只有负根,则m的取值范围是　　　　. 

解析:方程x2+(m+2)x+m+5=0只有负根,

所以

解得m≥4.

答案:[4,+∞)

2.已知函数f(x)=x2+mx+2,x∈R,若方程f(x)+|x2-1|=2在(0,2)上有两个不等实根,则实数m的取值范围是(　C　)

(A)(-,-1) (B)(-,-1]

(C)(-,-1) (D)(-,-1]

解析:当x∈(0,1]时,f(x)+|x2-1|=2可化为x2+mx+2-(x2-1)=2,

整理得mx=-1,

当x∈(1,2)时,f(x)+|x2-1|=2,可化为x2+mx+2+(x2-1)=2,

整理得2x2+mx-1=0,此方程必有一正、一负根.

要使得方程f(x)+|x2-1|=2在(0,2)上有两个不等实根,

则mx=-1在x∈(0,1]内有实数解,且方程2x2+mx-1=0的正根落在(1,2)内.

记g(x)=2x2+mx-1,

则

即

解得-<m<-1.

故选C.

考点三　二次函数的零点问题

[例3] 已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x,求函数g(x)=f(x)-x+3的零点.

解:当x≥0时,函数g(x)的零点即方程f(x)-x+3=0的根.

由x2-3x-x+3=0,

整理后解得x1=1,x2=3.

当x<0时,则-x>0,

得f(-x)=(-x)2-3(-x)=x2+3x.

又因f(-x)=-f(x),

所以-f(x)=x2+3x,

即f(x)=-x2-3x.

方程f(x)-x+3=0可化为x2+4x-3=0,

解得x=-2-(正根舍去).

综上可知函数g(x)的零点为1,3,-2-.

(1)判断二次函数f(x)的零点个数也即判断一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实根个数,一般由判别式Δ>0,Δ=0,Δ<0完成.

(2)对于二次函数在某个区间上零点的个数以及不能用Δ判断的二次函数零点,则要结合函数图象进行判断.

(2019·宁波市北仓中学高三模拟)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c有零点,且a+b+c=1,则max{min{a,b,c}}等于(　C　)

(A)(B)(C)(D)

解析:当a,b,c中至少有一个小于等于0,且a≠0时,min{a,b,c}≤0;当a,b,c均大于0时,当a≥c时,因为函数f(x)=ax2+bx+c有零点,所以b2-4ac≥0,即b2≥4ac≥4c2,所以b≥2c,则此时min{a,b,c}=c,且1=a+b+c≥c+2c+c,解得c≤,即min{a,b,c}=c≤,同理,当a<c时,min{a,b,c}=a<.

综上所述,max{min{a,b,c}}=,故选C.

考点四　易错辨析

[例4] 已知关于x的方程x2-(k+1)x+k2+1=0,根据下列条件,分别求出k的值.

(1)方程两实根的积为5;

(2)方程的两实根x1,x2满足|x1|=x2.

解:(1)因为方程两实根的积为5,

所以

⇒k≥,k=±4,

所以,当k=4时,方程两实根的积为5.

(2)由|x1|=x2得

①当x1≥0时,x1=x2,

所以方程有两相等实数根,

故Δ=0⇒k=;

②当x1<0时,-x1=x2⇒x1+x2=0⇒k+1=0⇒k=-1,

由于Δ>0⇒k>,故k=-1不合题意,舍去.

综上可得,k=时,方程的两实根x1,x2满足|x1|=x2.

根据一元二次方程两实根满足的条件,求待定字母的值,务必要注意所求的字母应满足Δ≥0.本例中易忽略此点,而只利用韦达定理,导致增根.所以在今后的解题过程中,如果仅仅由韦达定理解题时,还要考虑到根的判别式Δ是否大于或等于零.因为韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根.

已知函数f(x)=其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m

的取值范围是　　　　. 

解析:当x>m时,f(x)=x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2;

使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,只要4m-m2<m即可,解得m>3.

答案:(3,+∞)