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    (导与练)2020版高考数学一轮复习(文数)习题:第5篇 第1节 数列的概念与简单表示法(含解析)

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    www.ks5u.com数列的概念与简单表示法

    【选题明细表】

    知识点、方法

    题号

    观察法求通项公式

    1,2,7

    递推公式的应用

    5,10,14

    an与Sn的关系

    3,6,8,11,12

    数列的单调性、最值、周期性

    4,9,13

    基础巩固(时间:30分钟)

    1.数列,,,,的一个通项公式为( C )

    (A)an=    (B)an=

    (C)an= (D)an=

    解析:观察知an==.

    2.数列,-,,-,的第10项是( C )

    (A)- (B)- (C)- (D)-

    解析:所给数列呈现分数形式,且正负相间,求通项公式时,我们可以把每一部分进行分解:符号、分母、分子.很容易归纳出数列{an}的通项公式an=(-1)n+1·,故a10=-.

    3.(2018·济宁模拟)若Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=,则等于( D )

    (A) (B) (C) (D)30

    解析:因为当n2时,an=Sn-Sn-1=-=,所以=5×(5+1)=30.

    4.若数列{an}满足a1=2,an+1an=an-1,则a2 018的值为( B )

    (A)-1 (B) (C)2 (D)3

    解析:因为数列{an}满足a1=2,an+1an=an-1,

    所以an+1=1-,

    所以a2=,a3=1-2=-1,a4=1+1=2,

    可知数列{an}的周期为3.而2 018=3×672+2,

    所以a2 018=a2=.故选B.

    5.数列{an}满足an+1+an=2n-3,若a1=2,则a8-a4等于( D )

    (A)7 (B)6 (C)5 (D)4

    解析:依题意得(an+2+an+1)-(an+1+an)=[2(n+1)-3]-(2n-3),即an+2-an=2,所以a8-a4=(a8-a6)+(a6-a4)=2+2=4.

    6.(2018·辽宁省实验中学月考)设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2(an-1),则an等于( C )

    (A)2n (B)2n-1 (C)2n (D)2n-1

    解析:当n=1时,a1=S1=2(a1-1),可得a1=2;

    当n2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,

    所以an=2an-1,

    所以数列{an}为等比数列,公比为2,首项为2,

    所以通项公式为an=2n.故选C.

    7.用火柴棒按如图的方法搭三角形:

    按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是     . 

    解析:由题意,三角形的个数增加一个,火柴棒个数就增加2个.火柴棒的个数依次为3,3+2=2×2+1,5+2=2×3+1,7+2=2×4+1,所以第n个三角形的火柴棒个数an=2×n+1=2n+1.

    答案:an=2n+1

    8.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n+1(nN*),则an=     . 

    解析:当n2时,an=Sn-Sn-1=2n+1,

    当n=1时,a1=S1=42×1+1,

    因此an=

    答案:

    能力提升(时间:15分钟)

    9.设函数f(x)=-x2+14x+15,数列{an}满足an=f(n),nN+,数列{an}的前n项和Sn最大时,n等于( C )

    (A)14 (B)15

    (C)14或15 (D)15或16

    解析:由题意,an=-n2+14n+15,令-n2+14n+150,

    所以-1n15,

    所以数列{an}的前n项和Sn最大时,n=14或15.

    10.已知数列{an}满足a1=15,且3an+1=3an-2.若ak·ak+1<0,则正整数k等于( C )

    (A)21 (B)22 (C)23 (D)24

    解析:由3an+1=3an-2得an+1=an-,

    所以an=a1-(n-1),a1=15,

    所以an=-n.

    因为ak·ak+1<0,

    (-k)·(15-k)<0,

    所以<k<,

    又kN*,所以k=23.故选C.

    11.已知Sn是各项均为正数的数列{an}的前n项和,Sn>1且Sn=(nN*),则an等于( A )

    (A)4n-1          (B)4n-3

    (C)4n-34n-1    (D)n+2

    解析:n=1,a1=S1=,

    解得a1=1a1=3,

    因为Sn>1,所以a1=3,

    n2,an=Sn-Sn-1=-,

    (an+an-1)(an-an-1-4)=0,

    因为an>0,an-an-1=4,

    所以{an}是首项为3,公差为4的等差数列,

    所以an=3+4(n-1)=4n-1.

    12.(2017·河北唐山三模)数列{an}的前n项和为Sn,Sn+an=4-(nN*),an=    . 

    解析:因为Sn+an=4-,

    所以Sn-1+an-1=4-,

    两式相减得,2an-an-1=-=,

    两边同乘以2n-12nan-2n-1an-1=2,

    所以{2nan}是等差数列,

    又令n=1,a1=1,

    所以2nan=2+2(n-1)=2n.

    所以an=(a1=1也符合此式).

    答案:

    13.已知数列{an}的通项公式是an=n2+kn+4.

    (1)若k=-5,则数列中有多少项是负数?n为何值时,an有最小值?并求出最小值;

    (2)对于nN*,都有an+1>an,求实数k的取值范围.

    解:(1)由n2-5n+4<0,解得1<n<4.

    因为nN*,所以n=2,3,

    所以数列中有两项是负数,即为a2,a3.

    因为an=n2-5n+4=(n-)2-,

    由二次函数性质,得当n=2或n=3时,an有最小值,其最小值为a2=a3=-2.

    (2)由对于nN*,都有an+1>an知该数列是一个递增数列,又因为通项公式an=n2+kn+4,可以看作是关于n的二次函数,考虑到nN*,所以-<,

    即得k>-3.

    所以实数k的取值范围为(-3,+).

    14.(2018·全国卷)已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an,设bn=.

    (1)求b1,b2,b3;

    (2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;

    (3)求{an}的通项公式.

    解:(1)由条件可得=an.

    将n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.

    将n=2代入得,a3=3a2,

    所以a3=12.

    从而b1=1,b2=2,b3=4.

    (2){bn}是首项为1,公比为2的等比数列.

    由条件可得=,

    =2bn,又b1=1,

    所以{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.

    (3)(2)可得=2n-1,

    所以an=n·2n-1.

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