(导与练)2020版高考数学一轮复习(文数)习题：第8篇 第2节　圆与方程(含解析)

www.ks5u.com第2节　圆与方程

【选题明细表】

基础巩固(时间:30分钟)

1.(2018·全国名校第四次大联考)若方程4x2+4y2-8x+4y-3=0表示圆,则其圆心为(　D　)

(A)(-1,-) (B)(1,)

(C)(-1,)  (D)(1,-)

解析:圆的一般方程为x2+y2-2x+y-=0,

据此可得,其圆心坐标为(-,-),即(1,-).

故选D.

2.(2018·七台河市高三期末)已知圆C:x2+y2-2x-4y=0,则下列点在圆C内的是(　D　)

(A)(4,1)  (B)(5,0)  (C)(3,4)  (D)(2,3)

解析:圆C化为标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5,

将选项一一代入,可得(2,3)在圆C内,

故选D.

3.(2018·青岛二模)已知圆的方程x2+y2+2ax+9=0,圆心坐标为(5,0),则它的半径为(　D　)

(A)3  (B)   (C)5  (D)4

解析:圆的方程x2+y2+2ax+9=0,即(x+a)2+y2=a2-9,它的圆心坐标为(-a,0),再根据它的圆心坐标为(5,0),可得a=-5,故它的半径为==4,故选D.

4.(2018·兰州市一模)已知圆C:(x-)2+(y-1)2=1和两点A(-t,0), B(t,0)(t>0),若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则t的取值范围是(　D　)

(A)(0,2] (B)[1,2] (C)[2,3] (D)[1,3]

解析:圆C:(x-)2+(y-1)2=1的圆心C(,1),半径为1,因为圆心C到O(0,0)的距离为2,

所以圆C上的点到点O的距离的最大值为3,最小值为1,再由∠APB= 90°,以AB为直径的圆和圆C有交点,可得PO=AB=t,故有1≤t≤3,故选D.

5.(2018·淄博调研)点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　A　)

(A)(x-2)2+(y+1)2=1  (B)(x-2)2+(y+1)2=4

(C)(x+4)2+(y-2)2=4  (D)(x+2)2+(y-1)2=1

解析:设圆上任一点为Q(x0,y0),PQ的中点为M(x,y),则解得

因为点Q在圆x2+y2=4上,

所以+=4,

即(2x-4)2+(2y+2)2=4,

化简得(x-2)2+(y+1)2=1.故选A.

6.(2018·天津卷)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为　                        . 

解析:法一　设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.

因为圆经过点(0,0),(1,1),(2,0),

所以解得

所以圆的方程为x2+y2-2x=0.

法二　画出示意图如图所示,则△OAB为等腰直角三角形,故所求圆的圆心为(1,0),半径为1,所以所求圆的方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0.

答案:x2+y2-2x=0

7.已知圆C的圆心在x轴上,并且经过点A(-1,1),B(1,3),若M(m,)在圆C内,则m的取值范围为　　　　. 

解析:设圆心为C(a,0),由|CA|=|CB|,

得(a+1)2+12=(a-1)2+32,解得a=2.

半径r=|CA|==.

故圆C的方程为(x-2)2+y2=10.

由题意知(m-2)2+()2<10,

解得0<m<4.

答案:(0,4)

8.已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.则M的轨迹方程为　     . 

解析:圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,

所以圆心为C(0,4),半径为4,

设M(x,y),则=(x,y-4),=(2-x,2-y),

由题设知·=0,

故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,

即(x-1)2+(y-3)2=2.

由于点P在圆C内部,所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.

答案:(x-1)2+(y-3)2=2

能力提升(时间:15分钟)

9.(2018·吴忠模拟)与直线x-y-4=0和圆x2+y2+2x-2y=0都相切的半径最小的圆的方程是(　C　)

(A)(x+1)2+(y+1)2=2  (B)(x+1)2+(y+1)2=4

(C)(x-1)2+(y+1)2=2  (D)(x-1)2+(y+1)2=4

解析:由题意圆x2+y2+2x-2y=0的圆心为(-1,1),半径为,

所以过圆心(-1,1)与直线x-y-4=0垂直的直线方程为x+y=0,

所求的圆的圆心在此直线上,排除A,B,

因为圆心(-1,1)到直线x-y-4=0的距离为=3,则所求的圆的半径为,

故选C.

10.若直线ax+2by-2=0(a>0,b>0)始终平分圆x2+y2-4x-2y-8=0的周长,则+的最小值为(　D　)

(A)1 (B)5 

(C)4 (D)3+2

解析:由题意知圆心C(2,1)在直线ax+2by-2=0上,

所以2a+2b-2=0,整理得a+b=1,

所以+=(+)(a+b)=3++

≥3+2=3+2,

当且仅当=,即b=2-,a=-1时,等号成立.

所以+的最小值为3+2.故选D.

11.过圆x2+y2=1上一点作圆的切线与x轴,y轴的正半轴交于A,B两点,则|AB|的最小值为(　C　)

(A)   (B)   (C)2  (D)3

解析:设圆上的点为(x0,y0),其中x0>0,y0>0,则切线方程为x0x+y0y=1.分别令x=0,y=0得A(,0),B(0,),则|AB|==≥=2.当且仅当x0=y0时,等号成立.

12.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1,设点P是圆C上的动点.记d=|PB|2+|PA|2,其中A(0,1),B(0,-1),则d的最大值为　　　　. 

解析:设P(x0,y0),d=|PB|2+|PA|2=+(y0+1)2++(y0-1)2=2(+)+ 2.+为圆上任一点到原点距离的平方,所以(+)max=(5+1)2=36,所以dmax=2×36+2=74.

答案:74

13.已知以点P为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且|CD|=4.

(1)求直线CD的方程;

(2)求圆P的方程.

解:(1)直线AB的斜率k=1,AB的中点坐标为(1,2).

所以直线CD的方程为y-2=-(x-1),

即x+y-3=0.

(2)设圆心P(a,b),则由P在CD上得a+b-3=0.①

又直径|CD|=4,

所以|PA|=2.

所以(a+1)2+b2=40.②

由①②解得或

所以圆心P(-3,6)或P(5,-2),

所以圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40.

14.已知M(m,n)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点.

(1)求m+2n的最大值;

(2)求的最大值和最小值.

解:(1)因为x2+y2-4x-14y+45=0的圆心C(2,7),半径r=2,设m+2n=t,将m+2n=t看成直线方程,

因为该直线与圆有公共点,

所以圆心到直线的距离d=≤2,

解上式得16-2≤t≤16+2,

所以所求的最大值为16+2.

(2)记点Q(-2,3),因为表示直线MQ的斜率k,

所以直线MQ的方程为y-3=k(x+2),

即kx-y+2k+3=0.

由直线MQ与圆C有公共点,

得≤2.

可得2-≤k≤2+,所以的最大值为2+,最小值为2-.