(导与练)2020版高考数学一轮复习(文数)习题：第4篇 第2节　平面向量基本定理及其坐标表示(含解析)

www.ks5u.com第2节　平面向量基本定理及其坐标表示

【选题明细表】

基础巩固(时间:30分钟)

1.下列各组向量中,可以作为基底的是(　B　)

(A)e1=(0,0),e2=(1,-2)

(B)e1=(-1,2),e2=(5,7)

(C)e1=(3,5),e2=(6,10)

(D)e1=(2,-3),e2=(,-)

解析:两个不共线的非零向量构成一组基底,故选B.

2.已知向量a=(1,2x+1),b=(2,3).若a∥b,则x等于(　B　)

(A)-  (B) (C)- (D)-

解析:因为a∥b,所以1×3=2×(2x+1),所以x=.故选B.

3.如果e1,e2是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中不正确的是(　B　)

①a=λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量;②对于平面α内任一向量a,使a=λe1+μe2的实数对(λ,μ)有无穷多个;③若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则=.④若实数λ,μ使得λe1+μe2=0,则λ=μ=0.

(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)②④

解析:由平面向量基本定理可知,①④是正确的.对于②,由平面向量基本定理可知,一旦一个平面的基底确定,那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的.对于③,当λ1λ2=0或μ1μ2=0时不一定成立,应为λ1μ2-λ2μ1=0.故选B.

4.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a,3b-2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c为(　D　)

(A)(1,-1) (B)(-1,1)

(C)(-4,6) (D)(4,-6)

解析:4a=(4,-12),3b-2a=(-6,12)-(2,-6)=(-8,18),由4a+(3b-2a)+c=0得c=(4,-6),选D.

5.设a=(x,-4),b=(1,-x).若a与b同向,则x等于(　B　)

(A)-2 (B)2 (C)±2 (D)0

解析:由a∥b得-x2=-4,所以x=±2.又因为a与b同向,若x=-2,则a=(-2,-4),b=(1,2),a与b反向,故舍去,所以x=2.故选B.

6.在△ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点,若=

(4,3),=(1,5),则等于(　B　)

(A)(-2,7) (B)(-6,21)

(C)(2,-7) (D)(6,-21)

解析:=-=(-3,2),

因为Q是AC的中点,

所以=2=(-6,4),=+=(-2,7),

因为=2,

所以=3=(-6,21).

7.在平面直角坐标系中,已知向量a=(1,2),a-b=(3,1),c=(x,3),若(2a+b)∥c,则x等于(　D　)

(A)-2 (B)-4 (C)-3 (D)-1

解析:因为a-b=(3,1),

所以a-(3,1)=b,则b=(-4,2).

所以2a+b=(-2,6).

又(2a+b)∥c,所以-6=6x,x=-1.故选D.

8.在▱ABCD中,AC为一条对角线,=(2,4),=(1,3),则向量的坐标为　　　　　. 

解析:因为+=,

所以=-=(-1,-1),

所以=-=-=(-3,-5).

答案:(-3,-5)

9.已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(k+1,k-2),若A,B,C三点能构成三角形,则实数k应满足的条件是　　　　. 

解析:若点A,B,C能构成三角形,则向量,不共线.

因为=-=(2,-1)-(1,-3)=(1,2),

=-=(k+1,k-2)-(1,-3)=(k,k+1),

所以1×(k+1)-2k≠0,解得k≠1.

答案:k≠1

能力提升(时间:15分钟)

10.已知点M是△ABC的边BC的中点,点E在边AC上,且=2,则等于(　C　)

(A)+ (B)+

(C)+ (D)+

解析: 如图,因为=2,

所以=,

所以=+

=+

=+(-)

=+.

故选C.

11.(2017·河南洛阳模拟)在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为(　A　)

(A)  (B)  (C)1 (D)-1

解析:设正方形的边长为2,以点A为原点,AB,AD分别为x,y轴,建立平面直角坐标系,A(0,0),B(2,0),C(2,2),M(2,1),N(1,2),

所以=(2,2),=(2,1),=(-1,2),

所以

解得λ=,μ=,所以λ+μ=,故选A.

12.(2018·南昌二模)已知在平面直角坐标系xOy中,P1(3,1),P2(-1,3),P1,P2,P3三点共线且向量与向量a=(1,-1)共线,若=λ+(1-λ)(λ∈R),则λ等于(　D　)

(A)-3 (B)3 (C)1 (D)-1

解析:设=(x,y),

则由∥a得x+y=0,

于是=(x,-x).若=λ+(1-λ),则有(x,-x)=λ(3,1)+(1-λ)(-1,3)=(4λ-1,3-2λ),

即

所以4λ-1+3-2λ=0,解得λ=-1,故选D.

13.(2018·沈阳质检)设点A(1,2),B(3,5),将向量按向量a=(-1,-1)平移后得到的向量=　            . 

解析:因为A(1,2),B(3,5),所以=(2,3),向量平移后向量的坐标不变,故==(2,3).

答案:(2,3)

14.(2018·河北联盟二模)已知点A(1,0),B(1,),点C在第二象限,且∠AOC=150°,=-4+λ,则λ=　　　　　. 

解析:因为点A(1,0),B(1,),点C在第二象限,=-4+λ,所以C(λ-4,λ).

因为∠AOC=150°,

所以tan 150°==-,解得λ=1.

答案:1

15.(2018·长沙一模)矩形ABCD中,AB=3,AD=2,P为矩形内部一点,且AP=1,若=x+y,则3x+2y的取值范围是　　　　. 

解析:设点P在AB上的射影为Q,∠PAQ=θ,

则=+,

且||=cos θ,||=sin θ.

又与共线,与共线,

故=,=,

从而=+,

故x=,y=,

因此3x+2y=cos θ+sin θ=sin θ+,

又θ∈0,,故3x+2y的取值范围是(1,].

答案:(1,]