(导与练)2020版高考数学一轮复习(文数)习题：第8篇 第1节　直线与方程(含解析)

www.ks5u.com第1节　直线与方程

【选题明细表】

基础巩固(时间:30分钟)

1.(2018·北京模拟)已知直线l经过两点P(1,2),Q(4,3),那么直线l的斜率为(　C　)

(A)-3  (B)-   (C)  (D)3

解析:直线l的斜率k==,

故选C.

2.直线3x+y-1=0的倾斜角是(　C　)

(A) (B) (C) (D)

解析:直线3x+y-1=0的斜率k=-,所以tan α=-.又0≤α<π,所以倾斜角为.故选C.

3.(2018·西城区模拟)点(1,-1)到直线x+y-1=0的距离是(　B　)

(A)  (B)   (C)   (D)

解析:点(1,-1)到直线x+y-1=0的距离d==.故选B.

4.(2017·遂宁期末)直线l1,l2的斜率是方程x2-3x-1=0的两根,则l1与l2的位置关系是(　D　)

(A)平行         (B)重合 

(C)相交但不垂直 (D)垂直

解析:设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,

因为直线l1,l2的斜率是方程x2-3x-1=0的两根,

所以k1k2=-1.所以l1⊥l2.故选D.

5.(2018·四川宜宾一诊)过点P(2,3),且在坐标轴上截距相等的直线的方程是(　B　)

(A)x+y-5=0 

(B)3x-2y=0或x+y-5=0

(C)x-y+1=0 

(D)2x-3y=0或x-y+1=0

解析:当直线过原点时,方程为3x-2y=0,

当直线不过原点时,两截距相等,

设直线方程为+=1,

所以+=1,即a=5,

所以x+y-5=0,

所以所求直线的方程为x+y-5=0或3x-2y=0,故选B.

6.若直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为(　C　)

(A)1 (B)2 (C)4 (D)8

解析:显然直线ax+by=ab在x轴上的截距为b,在y轴上的截距为a.因为ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),所以a+b=ab,即+=1,所以a+b=(a+b)(+)=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=2时等号成立,所以直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为4.故选C.

7.(2018·绍兴二模)设直线l1:(a+1)x+3y+2-a=0,直线l2:2x+(a+2)y+1=0.若l1⊥l2,则实数a的值为　　　　,若l1∥l2,则实数a的值为　　　　. 

解析:直线l1:(a+1)x+3y+2-a=0,

直线l2:2x+(a+2)y+1=0.若l1⊥l2,

则2(a+1)+3(a+2)=0,解得a=-,

若l1∥l2,则(a+1)(a+2)=2×3,

解得a=-4或a=1,

当a=1时,两直线重合,舍去,故a=-4.

答案:-　-4

8.已知直线l的斜率为,且和坐标轴围成面积为3的三角形,则直线l的方程为　　　　. 

解析:设所求直线l的方程为+=1.

因为k=,即=-,所以a=-6b.

又三角形面积S=3=|a|·|b|,所以|ab|=6.

则当b=1时,a=-6;当b=-1时,a=6.

所以所求直线方程为+=1或+=1.

即x-6y+6=0或x-6y-6=0.

答案:x-6y+6=0或x-6y-6=0

9.在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于　　　　. 

解析:以AB,AC所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示平面直角坐标系,

则A(0,0),B(4,0),C(0,4), 得△ABC的重心D(,),

设AP=x,P(x,0),x∈(0,4),

由光的反射定理, 知点P关于直线BC,AC的对称点

P1(4,4-x),P2(-x,0),

与△ABC的重心D(,)共线,

所以=,求得x=,AP=.

答案:

能力提升(时间:15分钟)

10.已知点M是直线x+y=2上的一个动点,且点P(,-1),则|PM|的最小值为(　B　)

(A) (B)1 (C)2 (D)3

解析:|PM|的最小值即点P(,-1)到直线x+y=2的距离,又=1.故|PM|的最小值为1.

故选B.

11.(2018·南昌检测)直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线的方程是(　A　)

(A)3x+4y+5=0 (B)3x+4y-5=0

(C)-3x+4y-5=0 (D)-3x+4y+5=0

解析:在所求直线上任取一点P(x,y),则点P关于x轴的对称点P′(x,-y)在已知的直线3x-4y+5=0上,所以3x-4(-y)+5=0,即3x+4y+5=0,故选A.

12.过两直线7x+5y-24=0与x-y=0的交点,且与点P(5,1)的距离为的直线的方程为　　　　. 

解析:设所求的直线方程为7x+5y-24+λ(x-y)=0,即(7+λ)x+(5-λ) y-24=0.

所以=,

解得λ=11.

故所求直线方程为3x-y-4=0.

答案:3x-y-4=0

13.定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离.已知曲线C1:y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离,则实数a=　　　　. 

解析:因为曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离为-=2-=,则曲线C1与直线l不能相交,即x2+a>x,所以x2+a-x>0.设C1:y=x2+a上一点(x0,y0),则点(x0,y0)到直线l的距离d===≥=,所以a=.

答案:

14.过点P(1,2)作直线l,与x轴,y轴正半轴分别交于A,B两点,求  △AOB面积的最小值及此时直线l的方程.

解:设直线l的方程为y-2=k(x-1),

令y=0,得x=,令x=0,得y=2-k.

所以A,B两点坐标分别为A(,0),B(0,2-k).

因为A,B是l与x轴,y轴正半轴的交点,

所以所以k<0.

S△AOB=·|OA|·|OB|=··(2-k)

=(4--k).

由->0,-k>0,

得S△AOB≥(4+2)=4.

当且仅当k=-2时取“=”.

所以S△AOB最小值为4,此时直线l的方程为

2x+y-4=0.