(导与练)2020版高考数学一轮复习(文数)习题:第8篇 第4节 椭 圆(含解析)
展开www.ks5u.com第4节 椭 圆
【选题明细表】
知识点、方法 | 题号 |
椭圆的定义与标准方程 | 1,2,3,7 |
椭圆的几何性质 | 4,6,8,9 |
直线与椭圆的位置关系 | 5,10,11,12,13 |
基础巩固(时间:30分钟)
1.已知椭圆+=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m等于( B )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)9
解析:4=(m>0)⇒m=3,
故选B.
2.(2018·宝鸡三模)已知椭圆的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),P是椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|,|PF2|的等差中项,则椭圆的方程是( C )
(A)+=1 (B)+=1
(C)+=1 (D)+=1
解析:因为F1(-1,0),F2(1,0),
所以|F1F2|=2,
因为|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,
所以2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,
即|PF1|+|PF2|=4,
所以点P在以F1,F2为焦点的椭圆上,
因为2a=4,a=2,c=1,所以b2=3.
所以椭圆的方程是+=1.故选C.
3.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(,0),直线y=x与椭圆的一个交点的横坐标为2,则椭圆方程为( C )
(A)+y2=1 (B)x2+=1
(C)+=1 (D)+=1
解析:依题意,设椭圆方程为+=1(a>b>0),则有由此解得a2=20,b2=5,因此所求的椭圆方程是+=1,选C.
4.(2018·广西柳州市一模)已知点P是以F1,F2为焦点的椭圆+
=1(a>b>0)上一点,若PF1⊥PF2,tan∠PF2F1=2,则椭圆的离心率e等于( A )
(A) (B) (C) (D)
解析:因为点P是以F1,F2为焦点的椭圆+=1(a>b>0)上一点,PF1⊥PF2,tan∠PF2F1=2,
所以=2,
设|PF2|=x,则|PF1|=2x,
由椭圆定义知x+2x=2a,
所以x=,
所以|PF2|=,
则|PF1|=,
由勾股定理知|PF2|2+|PF1|2=|F1F2|2,
所以解得c=a,
所以e==,选A.
5.过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为( B )
(A) (B) (C) (D)
解析:由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0),则直线AB的方程为y=2x-2.
联立椭圆方程解得交点为(0,-2),(,),
所以S△OAB=·|OF|·|yA-yB|
=×1×
=,
故选B.
6.若椭圆的方程为+=1,且此椭圆的焦距为4,则实数a= .
解析:由题可知c=2. ①
当焦点在x轴上时,10-a-(a-2)=22,解得a=4. ②
当焦点在y轴上时,a-2-(10-a)=22,
解得a=8.
故实数a=4或8.
答案:4或8
7.已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P1(,1),P2(-,-),则椭圆的方程为 .
解析:设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n).
因为椭圆经过点P1,P2,所以点P1,P2的坐标适合椭圆方程.
则得
所以所求椭圆方程为+=1.
答案:+=1
8.(2018·安徽模拟)已知F1,F2是长轴长为4的椭圆C:+=1(a>b>0)的左右焦点,P是椭圆上一点,则△PF1F2面积的最大值为 .
解析:F1,F2是长轴长为4的椭圆C:+=1(a>b>0)的左右焦点,a=2,b2+c2=4,P是椭圆上一点,△PF1F2面积最大时,P在椭圆的短轴的端点,此时三角形的面积最大,S=bc≤=2,当且仅当b=c=时,三角形的面积最大.
答案:2
能力提升(时间:15分钟)
9.(2018·河南一模)已知两定点A(-1,0)和B(1,0),动点P(x,y)在直线l:y=x+3上移动,椭圆C以A,B为焦点且经过点P,则椭圆C的离心率的最大值为( A )
(A) (B) (C) (D)
解析:设点A(-1,0)关于直线l:y=x+3的对称点为A′(m,n),则
得所以A′(-3,2).
连接A′B,则|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|≥|A′B|=2,
所以2a≥2.
所以椭圆C的离心率的最大值为==.故选A.
10.(2018·临沂三模)直线x+4y+m=0交椭圆+y2=1于A,B,若AB中点的横坐标为1,则m等于( A )
(A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2
解析:由题意,设点A(x1,y1),B(x2,y2),则
+=1,+=1两式相减,
=-·,
结合直线的斜率为-,AB中点横坐标为1,
所以AB中点纵坐标为,
将点(1,)代入直线x+4y+m=0得m=-2.故选A.
11.(2018·珠海一模)过点M(1,1)作斜率为-的直线l与椭圆C:
+=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为 .
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则
x1+x2=2,y1+y2=2,kAB==-,
+=1, ①
+=1, ②
①-②整理,得=-·,
即=,
所以离心率e===.
答案:
12.(2018·天津卷)设椭圆+=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,|AB|=.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线l:y=kx(k<0)与椭圆交于P,Q两点,l与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限.若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,求k
的值.
解:(1)设椭圆的焦距为2c,由已知有=,
又由a2=b2+c2,可得2a=3b.
又|AB|==,
从而a=3,b=2.
所以,椭圆的方程为+=1.
(2)设点P的坐标为(x1,y1),点M的坐标为(x2,y2) ,
由题意知,x2>x1>0,点Q的坐标为(-x1,-y1).
由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,
可得|PM|=2|PQ|,
从而x2-x1=2[x1-(-x1)],即x2=5x1.
易知直线AB的方程为2x+3y=6,
由方程组
消去y,可得x2=.
由方程组
消去y,可得x1=.
由x2=5x1,可得=5(3k+2),
两边平方,整理得18k2+25k+8=0,
解得k=-或k=-.
当k=-时,x2=-9<0,不合题意,舍去;
当k=-时,x2=12,x1=,符合题意.
所以k的值为-.
13.(2018·和平区校级一模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为(,0),且经过点(-1,-),点M是y轴上的一点,过点M的直线l与椭圆C交于A,B两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若=2,且直线l与圆O:x2+y2=相切于点N,求|MN|的长.
解:(1)由题意知,
即(a2-4)(4a2-3)=0,
因为a2=3+b2>3,
解得a2=4,b2=1,
故椭圆C的方程为+y2=1.
(2)显然直线l的斜率存在,设M(0,m),直线l:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),
直线l与圆O:x2+y2=相切,
所以=,即m2=(k2+1), ①
由得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,
由韦达定理,得x1+x2=-,
x1x2=,
由=2,有x1=-2x2,
解得x1=-,x2=,
所以-=,
化简得-=m2-1, ②
把②代入①可得48k4+16k2-7=0,
解得k2=,m2=,
在Rt△OMN中,可得|MN|==.
故|MN|的长为.