(导与练)2020版高考数学一轮复习(文数)习题：第5篇 第1节　数列的概念与简单表示法(含解析)

www.ks5u.com数列的概念与简单表示法

【选题明细表】

基础巩固(时间:30分钟)

1.数列,,,,…的一个通项公式为(　C　)

(A)an=    (B)an=

(C)an= (D)an=

解析:观察知an==.

2.数列,-,,-,…的第10项是(　C　)

(A)- (B)- (C)- (D)-

解析:所给数列呈现分数形式,且正负相间,求通项公式时,我们可以把每一部分进行分解:符号、分母、分子.很容易归纳出数列{an}的通项公式an=(-1)n+1·,故a10=-.

3.(2018·济宁模拟)若Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=,则等于(　D　)

(A) (B) (C) (D)30

解析:因为当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=,所以=5×(5+1)=30.

4.若数列{an}满足a1=2,an+1an=an-1,则a2 018的值为(　B　)

(A)-1 (B) (C)2 (D)3

解析:因为数列{an}满足a1=2,an+1an=an-1,

所以an+1=1-,

所以a2=,a3=1-2=-1,a4=1+1=2,

可知数列{an}的周期为3.而2 018=3×672+2,

所以a2 018=a2=.故选B.

5.数列{an}满足an+1+an=2n-3,若a1=2,则a8-a4等于(　D　)

(A)7 (B)6 (C)5 (D)4

解析:依题意得(an+2+an+1)-(an+1+an)=[2(n+1)-3]-(2n-3),即an+2-an=2,所以a8-a4=(a8-a6)+(a6-a4)=2+2=4.

6.(2018·辽宁省实验中学月考)设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2(an-1),则an等于(　C　)

(A)2n (B)2n-1 (C)2n (D)2n-1

解析:当n=1时,a1=S1=2(a1-1),可得a1=2;

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,

所以an=2an-1,

所以数列{an}为等比数列,公比为2,首项为2,

所以通项公式为an=2n.故选C.

7.用火柴棒按如图的方法搭三角形:

按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是　　　　　. 

解析:由题意,三角形的个数增加一个,火柴棒个数就增加2个.火柴棒的个数依次为3,3+2=2×2+1,5+2=2×3+1,7+2=2×4+1,…所以第n个三角形的火柴棒个数an=2×n+1=2n+1.

答案:an=2n+1

8.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n+1(n∈N*),则an=　　　　　. 

解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1,

当n=1时,a1=S1=4≠2×1+1,

因此an=

答案:

能力提升(时间:15分钟)

9.设函数f(x)=-x2+14x+15,数列{an}满足an=f(n),n∈N+,数列{an}的前n项和Sn最大时,n等于(　C　)

(A)14 (B)15

(C)14或15 (D)15或16

解析:由题意,an=-n2+14n+15,令-n2+14n+15≥0,

所以-1≤n≤15,

所以数列{an}的前n项和Sn最大时,n=14或15.

10.已知数列{an}满足a1=15,且3an+1=3an-2.若ak·ak+1<0,则正整数k等于(　C　)

(A)21 (B)22 (C)23 (D)24

解析:由3an+1=3an-2得an+1=an-,

所以an=a1-(n-1),又a1=15,

所以an=-n.

因为ak·ak+1<0,

即(-k)·(15-k)<0,

所以<k<,

又k∈N*,所以k=23.故选C.

11.已知Sn是各项均为正数的数列{an}的前n项和,Sn>1且Sn=(n∈N*),则an等于(　A　)

(A)4n-1          (B)4n-3

(C)4n-3或4n-1    (D)n+2

解析:当n=1时,a1=S1=,

解得a1=1或a1=3,

因为Sn>1,所以a1=3,

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-,

即(an+an-1)(an-an-1-4)=0,

因为an>0,故an-an-1=4,

所以{an}是首项为3,公差为4的等差数列,

所以an=3+4(n-1)=4n-1.

12.(2017·河北唐山三模)数列{an}的前n项和为Sn,若Sn+an=4-(n∈N*),则an=　　　　. 

解析:因为Sn+an=4-,

所以Sn-1+an-1=4-,

两式相减得,2an-an-1=-=,

两边同乘以2n-1得2nan-2n-1an-1=2,

所以{2nan}是等差数列,

又令n=1,得a1=1,

所以2nan=2+2(n-1)=2n.

所以an=(a1=1也符合此式).

答案:

13.已知数列{an}的通项公式是an=n2+kn+4.

(1)若k=-5,则数列中有多少项是负数?n为何值时,an有最小值?并求出最小值;

(2)对于n∈N*,都有an+1>an,求实数k的取值范围.

解:(1)由n2-5n+4<0,解得1<n<4.

因为n∈N*,所以n=2,3,

所以数列中有两项是负数,即为a2,a3.

因为an=n2-5n+4=(n-)2-,

由二次函数性质,得当n=2或n=3时,an有最小值,其最小值为a2=a3=-2.

(2)由对于n∈N*,都有an+1>an知该数列是一个递增数列,又因为通项公式an=n2+kn+4,可以看作是关于n的二次函数,考虑到n∈N*,所以-<,

即得k>-3.

所以实数k的取值范围为(-3,+∞).

14.(2018·全国Ⅰ卷)已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an,设bn=.

(1)求b1,b2,b3;

(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;

(3)求{an}的通项公式.

解:(1)由条件可得=an.

将n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.

将n=2代入得,a3=3a2,

所以a3=12.

从而b1=1,b2=2,b3=4.

(2){bn}是首项为1,公比为2的等比数列.

由条件可得=,

即=2bn,又b1=1,

所以{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.

(3)由(2)可得=2n-1,

所以an=n·2n-1.