(导与练)2020版高考数学一轮复习(文数)习题：第8篇 第5节 双曲线(含解析)
展开www.ks5u.com第5节 双曲线
【选题明细表】
知识点、方法 | 题号 |
双曲线的定义和标准方程 | 1,2,7,10 |
双曲线的几何性质 | 3,4,5,8,11 |
双曲线的综合问题 | 6,9,12,13 |
基础巩固(时间:30分钟)
1.已知F1,F2是双曲线x2-=1的两个焦点,过F1作垂直于x轴的直线与双曲线相交,其中一个交点为P,则|PF2|等于( A )
(A)6 (B)4 (C)2 (D)1
解析:由题意令|PF2|-|PF1|=2a,由双曲线方程可以求出|PF1|=4,a=1,所以|PF2|=4+2=6.故选A.
2.(2018·黑龙江模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点坐标为(2,0),则双曲线的方程为( C )
(A)-=1 (B)-=1
(C)x2-=1 (D)-y2=1
解析:双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,可得=,它的一个焦点坐标为(2,0),
可得c=2,即a2+b2=4,
解得a=1,b=,
所求双曲线方程为x2-=1.故选C.
3.(2018·辽宁辽南协作校一模)设F1和F2为双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点,若F1,F2,(0,2b)是正三角形的三个顶点,则双曲线的渐近线方程是( B )
(A)y=±x (B)y=±x
(C)y=±x (D)y=±x
解析:因为|F1F2|=2c,点(0,2b)到F2的距离为,
所以2c=,
所以4c2=4b2+c2,
即3c2=4b2,
所以3c2=4(c2-a2),
得c=2a,
所以b==a.
所以双曲线的渐近线方程为y=±x,
即y=±x,选B.
4.(2018·全国Ⅲ卷)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距离为( D )
(A) (B)2 (C) (D)2
解析:由题意,得e==,c2=a2+b2,得a2=b2.又因为a>0,b>0,所以a=b,渐近线方程为x±y=0,点(4,0)到渐近线的距离为=2.故选D.
5.(2017·湖南娄底二模)给出关于双曲线的三个命题:
①双曲线-=1的渐近线方程是y=±x;
②若点(2,3)在焦距为4的双曲线-=1上,则此双曲线的离心率e=2;
③若点F,B分别是双曲线-=1的一个焦点和虚轴的一个端点,则线段FB的中点一定不在此双曲线的渐近线上.
其中正确的命题的个数是( C )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析:双曲线-=1的渐近线方程是y=±x,故①错误;双曲线的焦点为(-2,0),(2,0),2a=|-|=2,a=1,从而离心率e==2,所以②正确;F(±c,0),B(0,±b),FB的中点坐标(±,±)均不满足渐近线方程,所以③正确.故选C.
6.(2018·四川成都二诊)已知A,B是双曲线E的左、右焦点,点C在E上,∠ABC=,若(+)·=0,则E的离心率为( D )
(A)-1 (B)+1
(C) (D)
解析:因为(+)·=0,
所以=,
又∠ABC=π,
所以BC=2c,AC=2c,
所以2c-2c=2a,
所以e===.
故选D.
7.已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为 .
解析:如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件,
MC2-MC1=BC2-AC1=2,
所以点M到两定点C1,C2的距离的差是常数且小于C1C2.
又根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小),
其中a=1,c=3,则b2=8.
故点M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1).
答案:x2-=1(x≤-1)
8.(2018·湖南两市九月调研)已知F为双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点,定点A为双曲线虚轴的一个端点,过F,A两点的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B,若=3,则此双曲线的离心率为 .
解析:根据题意知F(-c,0),A(0,b).设B(x0,y0),
由=3得(x0,y0-b)=3(c,b),
则4b=·3c.
所以e==.
答案:
能力提升(时间:15分钟)
9.(2018·四川模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点到抛物线y2=2px(p>0)的准线的距离为2,点(5,2)是双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点,则双曲线的标准方程为( B )
(A)-=1 (B)-=1
(C)-=1 (D)-=1
解析:双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为(-c,0),
双曲线的左焦点到抛物线y2=2px(p>0)的准线l:x=-的距离为2,
可得c-=2,
点(5,2)是双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点,可得20=10p,即p=2,c=3,
双曲线的渐近线方程为y=±x,
可得2a=5b,
且a2+b2=c2=9,
解得a=,b=2,
则双曲线的标准方程为-=1.故选B.
10.(2018·云南五市联考)设P为双曲线x2-=1右支上一点,M,N分别是圆(x+4)2+y2=4和(x-4)2+y2=1上的点,设|PM|-|PN|的最大值和最小值分别为m,n,则|m-n|等于( C )
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
解析:易知双曲线的两个焦点分别为F1(-4,0),F2(4,0),恰为两个圆的圆心,两个圆的半径分别为2,1,
所以|PM|max=|PF1|+2,|PN|min=|PF2|-1,
故|PM|-|PN|的最大值为(|PF1|+2)-(|PF2|-1)=(|PF1|-|PF2|)+3=5,同理|PM|-|PN|的最小值为(|PF1|-2)-(|PF2|+1)=(|PF1|-|PF2|)-3=-1,所以|m-n|=6,故选C.
11.(2018·湖北省重点高中联考)已知双曲线C∶-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若|PF1|-|PF2|=2a,=,且△OMF2为等腰直角三角形,则双曲线C的离心率为( B )
(A) (B)+1
(C) (D)
解析:双曲线中,|PF1|-|PF2|=2a,
所以P点在双曲线右支上,
=,
则M为PF2的中点,
所以在△OMF2中,
|OM|>|MF2|,
所以∠MF2O=90°,
又△OMF2为等腰直角三角形,
所以|PF2|=|F1F2|=2c,|PF1|=2c,
所以2c-2c=2a,所以e=+1.故选B.
12.(2018·天津卷)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为( C )
(A)-=1 (B)-=1
(C)-=1 (D)-=1
解析:如图,不妨设A在B的上方,
则A(c,),B(c,-).
其中的一条渐近线为bx-ay=0,
则d1+d2=
==2b=6,
所以b=3.
又由e==2,知a2+b2=4a2,
所以a=.
所以双曲线的方程为-=1.故选C.
13.(2018·沈阳质量监测)已知P是双曲线-y2=1上任意一点,过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线,垂足分别为A,B,则·的值是 .
解析:设P(x0,y0),
因为该双曲线的渐近线分别是-y=0,+y=0,
所以可取|PA|=,|PB|=,
又cos∠APB=-cos∠AOB=-cos=-,
所以·=||·||·cos∠APB
=·(-)
=×(-)
=-.
答案:-
