(导与练)2020版高考数学一轮复习(文数)习题：第5篇 第3节　等比数列(含解析)

www.ks5u.com第3节　等比数列

【选题明细表】

基础巩固(时间:30分钟)

1.在等比数列{an}中,a1=,q=,an=,则项数n为(　C　)

(A)3 (B)4 (C)5 (D)6

解析:由an=a1·qn-1,得=×()n-1.所以n=5.故选C.

2.在等比数列{an}中,a2a3a4=8,a7=8,则a1等于(　A　)

(A)1 (B)±1 (C)2 (D)±2

解析:由a2a3a4==8,得a3=2,所以a7=a3·q4=2q4=8,则q2=2,因此a1==1.

3.(2018·广东广州市一模)已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则{an}前6项的和为(　B　)

(A)-20 (B)-18 (C)-16 (D)-14

解析:因为a1,a3,a4成等比数列,

所以=a1·a4,

所以(a1+4)2=a1(a1+6),解得a1=-8,

所以S6=6×(-8)+×2=-18,选B.

4.(2018·辽宁大连八中模拟)若记等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S3=6,则S4等于(　C　)

(A)10或8 (B)-10

(C)-10或8 (D)-10或-8

解析:因为a1=2,S3=a1+a2+a3=6.

所以当q=1时,S4=S3+a4=S3+a1=8.

当q≠1时,

由等比数列求和公式,得

S3===6,

所以q2+q-2=0,

所以q=-2或q=1(舍去),

S4==-10.

选C.

5.设等比数列{an}中,前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9等于(　A　)

(A) (B)- (C) (D)

解析:因为a7+a8+a9=S9-S6,且公比不等于-1,在等比数列中,S3,S6-S3,S9-S6也成等比数列,即8,-1,S9-S6成等比数列,则8(S9-S6)=(-1)2,S9-S6=,即a7+a8+a9=.

6.(2017·全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯(　B　)

(A)1盏 (B)3盏 (C)5盏 (D)9盏

解析:依题意可知,S7=381,q=2,

所以S7==381,

解得a1=3.故选B.

7.(2018·湖南省永州市一模)在等比数列{an}中,已知a1=1,a4=8,若a3,a5分别为等差数列{bn}的第2项和第6项,则数列{bn}的前7项和为(　B　)

(A)49 (B)70 (C)98 (D)140

解析:在等比数列{an}中,

因为a4=a1·q3,即8=1×q3,所以q=2,

所以a5=16,a3=4,

根据题意,等差数列{bn}中,

b2=4,b6=16,

因为b6=b2+4d,

所以16=4+4d,所以d=3,

所以b1=1,b7=19,

{bn}前7项和S7==70,选B.

8.在等比数列{an}中,若a1a5=16,a4=8,则a6=　　　　. 

解析:因为a1a5=16,所以=16,所以a3=±4.

又a4=8,所以q=±2.

所以a6=a4q2=8×4=32.

答案:32

9.(2018·山东、湖北部分重点中学模拟)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若S1+2S5=3S3,则{an}的公比等于　　　　. 

解析:由S1+2S5=3S3得2(S5-S3)=S3-S1,

所以2(a5+a4)=a3+a2,

所以=q2=,

因为{an}的各项均为正数,

所以q>0,所以q=.

答案:

能力提升(时间:15分钟)

10.(2018·大庆一模)数列{an}为正项递增等比数列,满足a2+a4=10,=16,则loa1+loa2+…+loa10等于(　D　)

(A)-45 (B)45 (C)-90 (D)90

解析:因为{an}为正项递增等比数列,

所以an>an-1>0,公比q>1.

因为a2+a4=10,①

且=16=a3·a3=a2·a4,②

由①②解得a2=2,a4=8.

又因为a4=a2·q2,得q=2或q=-2(舍去).

则得a5=16,a6=32,

所以loa1+loa2+…+loa10=lo(a1a2…a10)=5lo(a5a6)=

5lo(16×32)=5×9lo2=45×2lo=90.故选D.

11.数列{an}中,已知对任意n∈N*,a1+a2+a3+…+an=3n-1,则+++…+等于(　B　)

(A)(3n-1)2 (B)(9n-1) 

(C)9n-1     (D)(3n-1)

解析:因为a1+a2+…+an=3n-1,n∈N*,n≥2时,a1+a2+…+an-1=3n-1-1,

所以当n≥2时,an=3n-3n-1=2·3n-1,

又n=1时,a1=2适合上式,所以an=2·3n-1,

故数列{}是首项为4,公比为9的等比数列.

因此++…+==(9n-1).

12.在等比数列{an}中,若a1=,a4=-4,则公比q=　　　　;|a1|+

|a2|+…+|an|=　                . 

解析:设等比数列{an}的公比为q,则a4=a1q3,代入数据解得q3=-8,所以q=-2;等比数列{|an|}的公比为|q|=2,则|an|=×2n-1,所以|a1|+|a2|+

|a3|+…+|an|=(1+2+22+…+2n-1)=(2n-1)=2n-1-.

答案:-2　2n-1-

13.(2017·福建漳州质检)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn是{an}的前n项和,已知a2a4=16,S3=28,则a1a2…an最大时,n的值为　  　. 

解析:由等比数列的性质可得:a2a4==16,

解得a3=4,

则S3=a3(++1)=28,

++1=7,

(-2)(+3)=0,

由数列的公比为正数可得:=2,q=,

数列的通项公式为:an=a3qn-3=25-n,

据此:a1a2…an=24×23×…×25-n=,

a1a2…an最大时,有最大值,据此可得n的值为4或5.

答案:4或5

14.已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}中,b1=a1,bn=an-an-1(n≥2),且an+Sn=n.

(1)设cn=an-1,求证:{cn}是等比数列;

(2)求数列{bn}的通项公式.

(1)证明:因为an+Sn=n①,

所以an+1+Sn+1=n+1②.

②-①得an+1-an+an+1=1,

所以2an+1=an+1,所以2(an+1-1)=an-1,

当n=1时,a1+S1=1,所以a1=,a1-1=-,

所以=,又cn=an-1,

所以{cn}是首项为-,公比为的等比数列.

(2)解:由(1)可知cn=(-)·()n-1=-()n,

所以an=cn+1=1-()n.

所以当n≥2时,bn=an-an-1=1-()n-[1-()n-1］=()n-1-()n=()n.

又b1=a1=也符合上式,所以bn=()n.