(导与练)2020版高考数学一轮复习(文数)习题：第5篇 第2节　等差数列(含解析)

www.ks5u.com第2节　等差数列

【选题明细表】

基础巩固(时间:30分钟)

1.(2018·广西三校联考)已知等差数列{an}满足:a3=13,a13=33,则a7等于(　C　)

(A)19 (B)20 (C)21 (D)22

解析:设等差数列{an}的公差为d,d==2,

则a7=a3+4d=13+8=21,故选C.

2.已知数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,若a3=6,S3=12,则公差d等于(　C　)

(A)1 (B) (C)2 (D)3

解析:由等差数列的性质知得S3=3a2=12,即a2=4,所以d=a3-a2=6-4=2.

3.(2018·洛阳模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2+a7+a12=24,则S13等于(　C　)

(A)52 (B)78 (C)104 (D)208

解析:依题意得3a7=24,a7=8,S13==13a7=104,选C.

4.(2018·合肥市第二次教学质量检测)中国古代词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子做盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言.”题意是把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是(　B　)

(A)174斤 (B)184斤 (C)191斤 (D)201斤

解析:用a1,a2,…,a8表示8个儿子按照年龄从大到小所得的绵数.

由题意得数列a1,a2,…,a8是公差为17的等差数列,且这8项和为996.

所以8a1+×17=996,得a1=65.

所以a8=65+7×17=184.故选B.

5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=-11,a5+a9=-2,则当Sn取最小值时,n等于(　C　)

(A)9 (B)8 (C)7 (D)6

解析:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,

由

得

解得

所以an=-15+2n.

由an=-15+2n≤0,解得n≤.

又n为正整数,

所以当Sn取最小值时,n=7.故选C.

6.已知在等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差d<0,Sn是数列{an}的前n项和,则(　D　)

(A)S5>S6 (B)S5<S6

(C)S6=0 (D)S5=S6

解析:因为d<0,|a3|=|a9|,

所以a3>0,a9<0,且a3+a9=2a6=0.

所以a6=0,a5>0,a7<0.

所以S5=S6.故选D.

7.(2017·江西南昌市二模)《九章算术》卷第六《均输》中,有问题“今有竹九节,下三节容量四升,上四节容量三升.问中间二节欲均容,各多少?”其中“欲均容”的意思是使容量变化均匀,即由下往上均匀变细.在这个问题中的中间两节容量和是(　C　)

(A)1升 (B)2升 (C)2升 (D)3升

解析:由题设可知容量成等差数列,设其公差为d,

且

即

解之得

所以a5+a6=2a1+9d==2.故选C.

8.正项数列{an}满足a1=1,a2=2,2=+(n∈N*,n≥2),则a7=

　　　　. 

解析:由2=+(n∈N*,n≥2),

可得数列{}是等差数列,公差d=-=3,

首项=1,

所以=1+3(n-1)=3n-2,

所以an=,

所以a7=.

答案:

9.已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和,若a1=,S2=a3,则a2=

　　　　　,Sn=　　　　　. 

解析:设公差为d,则由S2=a3,得2a1+d=a1+2d,

所以d=a1=,

故a2=a1+d=1,Sn=na1+d=.

答案:1　

能力提升(时间:15分钟)

10.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a4<0,a5>|a4|,则使Sn>0成立的最小正整数n为(　C　)

(A)6 (B)7 (C)8 (D)9

解析:在等差数列{an}中,因为a4<0,a5>|a4|,所以a5>0,a5+a4>0,S7===7a4<0,S8===4(a4+a5)>0.

所以使Sn>0成立的最小正整数n为8,故选C.

11.设等差数列{an}的前n项和为Sn,Sm-1=13,Sm=0,Sm+1=-15,其中m∈N*且m≥2.则数列{}的前n项和的最大值为(　D　)

(A) (B) (C) (D)

解析:因为Sm-1=13,Sm=0,Sm+1=-15,

所以am=Sm-Sm-1=0-13=-13,am+1=Sm+1-Sm=-15-0=-15,

因为数列{an}为等差数列,设其公差为d,

所以d=am+1-am=-15-(-13)=-2,

所以

解得a1=13.

所以an=a1+(n-1)d=13-2(n-1)=15-2n,

当an≥0时,n≤7.5,

当an+1≤0时,n≥6.5,

所以数列{}的前6项为正数,

因为=

=(-),

所以数列{}的前n项和的最大值为×(-+-+-+…+

1-)=×(1-)=.故选D.

12.已知在等差数列{an}中,Sn=33,S2n=44,则这个数列的前3n项和S3n为　　　　　. 

解析:由等差数列前n项和的性质可知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等差数列.

所以2(S2n-Sn)=Sn+(S3n-S2n)

即S3n=3S2n-3Sn=33.

答案:33

13.已知数列{an}满足a1=1,an=(n∈N*,n≥2),数列{bn}满足关系式bn=(n∈N*).

(1)求证:数列{bn}为等差数列;

(2)求数列{an}的通项公式.

(1)证明:因为bn=,且an=,

所以bn+1===,

所以bn+1-bn=-=2.

又因为b1==1,

所以数列{bn}是以1为首项,2为公差的等差数列.

(2)解:由(1)知数列{bn}的通项公式为bn=1+(n-1)×2=2n-1,

又bn=,所以an==.

所以数列{an}的通项公式为an=.

14.已知数列{an}满足,an+1+an=4n-3(n∈N*).

(1)若数列{an}是等差数列,求a1的值;

(2)当a1=2时,求数列{an}的前2n项和S2n.

解:(1)因为数列{an}是等差数列,

所以an=a1+(n-1)d,an+1=a1+nd.

由an+1+an=4n-3,

得a1+nd+a1+(n-1)d=4n-3,

所以2dn+(2a1-d)=4n-3,

即2d=4,2a1-d=-3,

解得d=2,a1=-.

(2)由题意知,S2n=a1+a2+a3+…+a2n-1+a2n

=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n)

=1+9+…+(8n-7)

=4n2-3n.