初中数学第四章 基本平面图形综合与测试课时练习

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专题(一) 线段的计算


1、如图，点C在线段AB上，点M，N分别是AC，BC的中点．





(1)若AC＝9 cm，CB＝6 cm，则MN＝_____cm；


(2)若AC＝a cm，CB＝b cm，则MN＝_____cm；


(3)若AB＝m cm，求线段MN的长；


(4)若C为线段AB上任意一点，且AB＝n cm，其他条件不变，你能猜想MN的长吗？并用一句简洁的话描述你发现的结论．








2、若MN＝k cm，求线段AB的长．








3、若C在线段AB的延长线上，且满足AB＝p cm，M，N分别为AC，BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，并说明理由．





4、如图，已知点C，D为线段AB上顺次两点，M，N分别是AC，BD的中点．


(1)若AB＝24，CD＝10，求MN的长；


(2)若AB＝a，CD＝b，请用含有a，b的式子表示出MN的长．














5、如图，N为线段AC中点，点M，B分别为线段AN，NC上的点，且满足AM∶MB∶BC＝1∶4∶3.


(1)若AN＝6，求AM的长；


(2)若NB＝2，求AC的长．








6、如图，点B，D在线段AC上，BD＝eq \f(1,3)AB，AB＝eq \f(3,4)CD，线段AB，CD的中点E，F之间的距离是20，求线段AC的长．








7、已知线段AB＝60 cm，在直线AB上画线段BC，使BC＝20 cm，点D是AC的中点，求CD的长．








8、如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为10和15，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q同时从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒．





(1)当0＜t＜5时，用含t的式子填空：


BP＝____，AQ＝____；


(2)当t＝2时，求PQ的值；


(3)当PQ＝eq \f(1,2)AB时，求t的值．





专题(二) 角度的计算


1、如图，已知∠AOB内部有三条射线OE，OC，OF，且OE平分∠BOC，OF平分∠AOC.


(1)若∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，则∠EOF＝____；


(2)若∠AOC＝α，∠BOC＝β，则∠EOF＝____；


(3)若∠AOB＝θ，你能猜想出∠EOF与∠AOB之间的数量关系吗？请说明理由．











2、若∠EOF＝γ，求∠AOB.








3、如图，若射线OC在∠AOB的外部，且∠AOB＝θ，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，则上述(3)中的结论还成立吗？请说明理由．











4、如图，已知∠AOB内部有顺次的四条射线：OE，OC，OD，OF，且OE平分∠AOC，OF平分∠BOD.


(1)若∠AOB＝160°，∠COD＝40°，则∠EOF的度数为____；


(2)若∠AOB＝α，∠COD＝β，求∠EOF的度数；


(3)从(1)(2)的结果中，你能看出什么规律吗？








5、如图，OC平分∠AOB，∠AOD∶∠BOD＝3∶5，已知∠COD＝15°，求∠AOB的度数．








6、如图，OC是∠AOB的平分线．


(1)当∠AOB＝60°时，求∠AOC的度数；


(2)在(1)的条件下，∠EOC＝90°，请在图中补全图形，并求∠AOE的度数；


(3)当∠AOB＝α，∠EOC＝90°时，直接写出∠AOE的度数．(用含α的式子表示)








7、如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝60°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OB上，另一边OM在直线AB的上方．





(1)在图1中，∠COM＝30度；


(2)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得ON在∠BOC的内部，如图2，若∠NOC＝eq \f(1,6)∠MOA，求∠BON的度数；


(3)将图1中的三角板绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当直线ON恰好平分锐角∠BOC时，旋转的时间是____秒；(直接写出结果)


(4)在旋转过程中，∠MOC与∠NOB始终保持的数量关系是____，并请说明理由．

















参考答案


专题(一) 线段的计算


1、如图，点C在线段AB上，点M，N分别是AC，BC的中点．





(1)若AC＝9 cm，CB＝6 cm，则MN＝7.5cm；


(2)若AC＝a cm，CB＝b cm，则MN＝eq \f(1,2)(a＋b)cm；


(3)若AB＝m cm，求线段MN的长；


(4)若C为线段AB上任意一点，且AB＝n cm，其他条件不变，你能猜想MN的长吗？并用一句简洁的话描述你发现的结论．


解：(3)因为点M是AC的中点，所以CM＝eq \f(1,2)AC.


因为点N是BC的中点，所以CN＝eq \f(1,2)BC.


所以MN＝CM＋CN＝eq \f(1,2)AC＋eq \f(1,2)BC＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)m cm.


(4)猜想：MN＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)n cm.


结论：当C为线段AB上一点，且M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝eq \f(1,2)AB一定成立．





2、若MN＝k cm，求线段AB的长．


解：因为点M是AC的中点，所以CM＝eq \f(1,2)AC.


因为点N是BC的中点，所以CN＝eq \f(1,2)BC.


所以MN＝CM＋CN＝eq \f(1,2)AC＋eq \f(1,2)BC＝eq \f(1,2)AB.


所以AB＝2MN＝2k cm.





3、若C在线段AB的延长线上，且满足AB＝p cm，M，N分别为AC，BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，并说明理由．


解：猜想：MN＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)p cm.理由如下：


当点C在线段AB的延长线上时，如图．





因为点M是AC的中点，所以CM＝eq \f(1,2)AC.


因为点N是BC的中点，所以CN＝eq \f(1,2)BC.


所以MN＝CM－CN＝eq \f(1,2)(AC－BC)＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)p cm.


4、如图，已知点C，D为线段AB上顺次两点，M，N分别是AC，BD的中点．


(1)若AB＝24，CD＝10，求MN的长；


(2)若AB＝a，CD＝b，请用含有a，b的式子表示出MN的长．





解：(1)因为AB＝24，CD＝10，


所以AC＋DB＝AB－CD＝14.


因为M，N分别是AC，BD的中点，


所以MC＋DN＝eq \f(1,2)(AC＋DB)＝7.


所以MN＝MC＋DN＋CD＝17.


(2)因为AB＝a，CD＝b，


所以AC＋DB＝AB－CD＝a－b.


因为M，N分别是AC，BD的中点，


所以MC＋DN＝eq \f(1,2)(AC＋DB)＝eq \f(1,2)(a－b)．


所以MN＝MC＋DN＋CD＝eq \f(1,2)(a－b)＋b＝eq \f(1,2)(a＋b)．





5、如图，N为线段AC中点，点M，B分别为线段AN，NC上的点，且满足AM∶MB∶BC＝1∶4∶3.


(1)若AN＝6，求AM的长；


(2)若NB＝2，求AC的长．





解：设AM＝x，则MB＝4x，BC＝3x，


所以AC＝AM＋MB＋BC＝8x.


因为N为线段AC中点，


所以AN＝NC＝eq \f(1,2)AC＝4x.


(1)因为AN＝6，


所以4x＝6.解得x＝eq \f(3,2).


所以AM＝eq \f(3,2).


(2)NB＝NC－BC＝4x－3x＝2，解得x＝2.


所以AC＝8x＝16.





6、如图，点B，D在线段AC上，BD＝eq \f(1,3)AB，AB＝eq \f(3,4)CD，线段AB，CD的中点E，F之间的距离是20，求线段AC的长．





解：设BD＝x，则AB＝3x，CD＝4x，


因为线段AB，CD的中点分别是E，F，


所以BE＝eq \f(1,2)AB＝1.5x，DF＝eq \f(1,2)CD＝2x.


因为EF＝BE＋DF－BD＝20，


所以1.5x＋2x－x＝20.解得x＝8.


所以AC＝AE＋EF＋CF＝1.5x＋20＋2x＝12＋20＋16＝48.


7、已知线段AB＝60 cm，在直线AB上画线段BC，使BC＝20 cm，点D是AC的中点，求CD的长．


解：当点C在线段AB上时，如图1.





图1


CD＝eq \f(1,2)AC＝eq \f(1,2)(AB－BC)＝eq \f(1,2)×(60－20)＝eq \f(1,2)×40＝20(cm)．


当点C在线段AB的延长线上时，如图2.





图2


CD＝eq \f(1,2)AC＝eq \f(1,2)(AB＋BC)＝eq \f(1,2)×(60＋20)＝eq \f(1,2)×80＝40(cm)．


所以CD的长为20 cm或40 cm.





8、如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为10和15，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q同时从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒．





(1)当0＜t＜5时，用含t的式子填空：


BP＝5－t，AQ＝10－2t；


(2)当t＝2时，求PQ的值；


(3)当PQ＝eq \f(1,2)AB时，求t的值．


解：(2)当t＝2时，AP＜5，点P在线段AB上，OQ＜10，点Q在线段OA上，如图1.





图1


此时PQ＝OP－OQ＝(OA＋AP)－OQ＝(10＋t)－2t＝10－t＝8.


(3)①当点P在点Q右边时，如图2.





图2


此时，AP＝t，OQ＝2t，OA＝10，AB＝5.


所以PQ＝OA＋AP－OQ＝10＋t－2t＝10－t.


当PQ＝eq \f(1,2)AB时，即10－t＝2.5，解得t＝7.5.


②当点P在点Q左边时，如图3.





图3


此时，OQ＝2t，AP＝t，OA＝10，AB＝5.


所以PQ＝OQ－OA－AP＝2t－10－t＝t－10.


当PQ＝eq \f(1,2)AB时，即t－10＝2.5，解得t＝12.5.


综上所述，当PQ＝eq \f(1,2)AB时，t＝7.5或12.5.





专题(二) 角度的计算


1、如图，已知∠AOB内部有三条射线OE，OC，OF，且OE平分∠BOC，OF平分∠AOC.


(1)若∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，则∠EOF＝45°；


(2)若∠AOC＝α，∠BOC＝β，则∠EOF＝eq \f(α＋β,2)；


(3)若∠AOB＝θ，你能猜想出∠EOF与∠AOB之间的数量关系吗？请说明理由．





解：∠EOF与∠AOB之间的数量关系是∠EOF＝eq \f(1,2)∠AOB＝eq \f(1,2)θ.


理由：因为OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，


所以∠EOC＝eq \f(1,2)∠BOC，∠COF＝eq \f(1,2)∠AOC.


所以∠EOF＝∠EOC＋∠COF＝eq \f(1,2)∠BOC＋eq \f(1,2)∠AOC＝eq \f(1,2)(∠BOC＋∠AOC)＝eq \f(1,2)∠AOB＝eq \f(1,2)θ.





2、若∠EOF＝γ，求∠AOB.


解：因为OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，


所以∠EOC＝eq \f(1,2)∠BOC，∠COF＝eq \f(1,2)∠AOC.


所以∠EOF＝∠EOC＋∠COF＝eq \f(1,2)∠BOC＋eq \f(1,2)∠AOC＝eq \f(1,2)(∠BOC＋∠AOC)＝eq \f(1,2)∠AOB.


因为∠EOF＝γ，


所以∠AOB＝2γ.





3、如图，若射线OC在∠AOB的外部，且∠AOB＝θ，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，则上述(3)中的结论还成立吗？请说明理由．





解：∠EOF＝eq \f(1,2)θ成立，


理由：因为OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，


所以∠EOC＝eq \f(1,2)∠BOC，∠COF＝eq \f(1,2)∠AOC.


所以∠EOF＝∠COF－∠EOC＝eq \f(1,2)∠AOC－eq \f(1,2)∠BOC＝eq \f(1,2)(∠AOC－∠BOC)＝eq \f(1,2)∠AOB＝eq \f(1,2)θ.


4、如图，已知∠AOB内部有顺次的四条射线：OE，OC，OD，OF，且OE平分∠AOC，OF平分∠BOD.


(1)若∠AOB＝160°，∠COD＝40°，则∠EOF的度数为100°；


(2)若∠AOB＝α，∠COD＝β，求∠EOF的度数；


(3)从(1)(2)的结果中，你能看出什么规律吗？





解：(2)因为∠EOF＝∠COE＋∠COD＋∠FOD＝eq \f(1,2)∠AOC＋∠COD＋eq \f(1,2)∠BOD＝eq \f(1,2)(∠AOC＋∠BOD)＋∠COD＝eq \f(1,2)(∠AOB－∠COD)＋∠COD＝eq \f(1,2)∠AOB＋eq \f(1,2)∠COD，∠AOB＝α，∠COD＝β，


所以∠EOF＝eq \f(1,2)α＋eq \f(1,2)β＝eq \f(1,2)(α＋β)．


(3)若∠AOB内部有顺次的四条射线：OE，OC，OD，OF，且OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，


则∠EOF＝eq \f(1,2)(∠AOB＋∠COD)．


5、如图，OC平分∠AOB，∠AOD∶∠BOD＝3∶5，已知∠COD＝15°，求∠AOB的度数．





解：设∠AOD＝3x，则∠BOD＝5x.


所以∠AOB＝∠AOD＋∠BOD＝3x＋5x＝8x.


因为OC平分∠AOB，


所以∠AOC＝eq \f(1,2)∠AOB＝eq \f(1,2)×8x＝4x.


所以∠COD＝∠AOC－∠AOD＝4x－3x＝x.


因为∠COD＝15°，


所以x＝15°.


所以∠AOB＝8x＝8×15°＝120°.


6、如图，OC是∠AOB的平分线．


(1)当∠AOB＝60°时，求∠AOC的度数；


(2)在(1)的条件下，∠EOC＝90°，请在图中补全图形，并求∠AOE的度数；


(3)当∠AOB＝α，∠EOC＝90°时，直接写出∠AOE的度数．(用含α的式子表示)





解：(1)因为OC是∠AOB的平分线，


所以∠AOC＝eq \f(1,2)∠AOB.


因为∠AOB＝60°，


所以∠AOC＝30°.


(2)如图1，∠AOE＝∠EOC＋∠AOC＝90°＋30°＝120°.





如图2，∠AOE＝∠EOC－∠AOC＝90°－30°＝60°.


所以∠AOE的度数为120°或60°.


(3)90°＋eq \f(α,2)或90°－eq \f(α,2).


7、如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝60°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OB上，另一边OM在直线AB的上方．





(1)在图1中，∠COM＝30度；


(2)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得ON在∠BOC的内部，如图2，若∠NOC＝eq \f(1,6)∠MOA，求∠BON的度数；


(3)将图1中的三角板绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当直线ON恰好平分锐角∠BOC时，旋转的时间是3或21秒；(直接写出结果)


(4)在旋转过程中，∠MOC与∠NOB始终保持的数量关系是∠MOC－∠NOB＝30°，并请说明理由．


解：(2)设∠NOC＝x°，则∠MOA＝6x°，∠BON＝60°－x°.


由题意，得6x°＋90°＋60°－x°＝180°，解得x＝6.


所以∠BON＝60°－x°＝60°－6°＝54°.





图3


(4)∠MOC－∠NOB＝30°，


①当ON在∠BOC的内部时，如图3，


因为∠MOC＋∠CON＝∠NOM＝90°，所以∠MOC＋(∠BOC－∠NOB)＝90°.


所以∠MOC＋60°－∠NOB＝90°.所以∠MOC－∠NOB＝30°.





图4


②当ON在∠BOC的外部时，如图4，


因为∠MOC－∠CON＝∠NOM＝90°，


所以∠MOC－(∠NOB－∠BOC)＝90°.


所以∠MOC－∠NOB＋60°＝90°.


所以∠MOC－∠NOB＝30°.


综上所述，∠MOC－∠NOB＝30°.