初中数学北师大版七年级上册第四章 基本平面图形综合与测试知识点教案

专题07 角度有关计算与证明

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重难突破

知识点一  角的有关概念

1．角的定义

静态定义：角是由两条具有公共端点的射线组成的图形，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射线是角的两边．

动态定义：角也可以看做一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边．

注意：(1)角的大小与角两边的长短没有关系，只与构成角的两边的张开幅度有关；

(2)没有特殊说明，角都是指小于平角的角.

2．角的表示

(1)用三个大写字母表示(注意把顶点字母写在中间)；

(2)当顶点处只有一个角时，也可以用一个大写字母(角的顶点处的字母)来表示角；

(3)用一个数字或希腊字母表示角.

3．角的分类

角的分类：锐角、直角、钝角

注：当一条射线绕着它的端点旋转时，角逐渐由小变大，依次形成锐角、直角、钝角、平角、周角.

4．角的单位换算

我们常用量角器量角，度、分、秒是常用的角的度量单位．

把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作；

把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作；

把的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作．

，，，

5．方向角

方向角的常用表示方法：

(1)北偏东，北偏西；南偏东，南偏西；(2)东北，东南，西北，西南；(3)正东，正西，正南，正北.

典例1

(2019秋•孝南区期末)如图所示，能用，，三种方法表示同一个角的图形是　　

A． B． 

C． D．

典例2

(2019秋•成都期末)　 　　 　度．

典例3

(2019•闵行区一模)如果从甲船看乙船，乙船在甲船的南偏东方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的　　

A．北偏东 B．北偏西 C．北偏东 D．北偏西

知识点二  角平分线及计算

1．角平分线

一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，平分，则，另外角还有三等分线、四等分线等．

2．双角分线

(1)如图1，OP为内一条射线，OM平分，ON平分，结论：．

(2)如图2，OP为外一条射线，OM平分，ON平分，结论：．

2．综合：角度的旋转

(1)角旋转后的度数角的旋转速度时间；

(2)注意位置所产生的多解问题；

(3)利用角度的和差关系．

典例1

(2019秋•福田区校级期末)射线在内部，下列条件不能说明是的平分线的是　　

A． B． 

C． D．

典例2

(2018春•高密市期末)如图，两块直角三角板的直角顶点重合在一起，若，则的度数为　　

A． B． C． D．

典例3

(2019秋•甘州区期末)已知，，平分，平分，则的度数是　　

A．或 B．或 C．或 D．或

典例4

(2019秋•成华区期末)如图，射线平分，以为一边作，

则　　

A． B． C．或 D．或

知识点三  多边形和圆

1．多边形及其相关概念

(1)由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形叫作多边形.

(2)在多边形内部，相邻两边所夹的角叫作多边形的内角.

(3)连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线.

注：从n边形每一个顶点出发都能引出(n-3)条对角线，共有n个顶点，共能引出条对角线.但每条对角线都重复计算了一次，从而n边形的对角线共有条.

2．正多边形

各边相等，各角也相等的多边形叫作正多边形.

3．圆

(1)平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫作圆.

(2)圆上任意两点A，B间的部分叫作圆弧，简称弧.

(3)扇形弧长公式：；扇形面积公式：.

典例1

(2019秋•龙华区期末)若经过边形的一个顶点的所有对角线可以将该边形分成7个三角形，则的值是　　

A．7 B．8 C．9 D．10

典例2

(2019秋•龙岗区期末)扇子是引风用品，夏令营必备之物，纸扇在与之间糊有纸条，可以题字或者作画．如图，竹条的长为，贴纸的部分的长为．扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，则纸扇贴纸部分的面积为　　

A． B． C． D．

巩固训练

一、单选题(共6小题)

1．(2019秋•南山区期末)已知三条不同的射线、、，有下列条件，其中能确定平分的有　　

①

②

③

④

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．(2019秋•鹿邑县期末)如图，下列说法中错误的是　　

A．方向是北偏东 B．方向是北偏西 

C．方向是南偏西 D．方向是东南方向

3．(2019秋•福田区期末)下图中是圆心角的是　　

A． B． C． D．

4．(2019秋•成都期末)如图，和都是直角，如果，那么的度数

是　　

A． B． C． D．

5．(2019秋•金牛区期末)如图，是的平分线，平分，且，则的度数是　　

A． B． C． D．

6．(2019秋•武侯区期末)已知，，射线平分，则的度数为　　

A． B． C．或 D．或

二、填空题(共5小题)

7．(2019秋•龙泉驿区期末)如图，直线，相交于点，，，则等

于　  　度．

8．(2019秋•龙岗区校级期末)在时钟的钟面上，时的分针与时针夹角是　   　度．

9．(2019秋•罗湖区校级期末)如图①，在长方形中，点在上，并且，分别以、为折痕进行折叠并压平，如图②，若图②中，则的度数为　　    度．

10．(2019秋•新都区期末)如图，已知，自点引射线，若，与的平分线所成的角的度数为　　．

11．(2019秋•龙华区期末)将两个形状、大小完全相同的含有、的三角板与如图1放置，、、三点在同一直线上，现将三角板绕点沿顺时针方向旋转一定角度，如图2，若平分，平分，则的度数是　  　．

三、解答题(共2小题)

12．(2018秋•兰陵县期末)已知，为直线上一点，．

(1)如图1，若，平分．

①求的度数；

②请通过计算说明是否平分．

(2)如图2，若，求的度数．

13．(2019秋•龙岗区校级期末)如图所示，已知，是内部的两条射线，平分，平分．

(1)若，，，求的大小；

(2)若，，求的大小；

(3)若，，求的大小(用含，的式子表示)．