数学北师大版6 应用一元二次方程教案

这是一份数学北师大版6 应用一元二次方程教案，共16页。教案主要包含了教学建议，知识导图，总结与反思， 等内容，欢迎下载使用。

第6讲


讲























因式分解法解一元二次方程


及根与系数的关系









































概 述














【教学建议】


因式分解法解一元二次方程是三种解法中最简单的一种方法，但是学习的过程是最难的，根与系数的关系也是极为重要的一部分知识，因此在学习本讲之前要求学生做好预习，上课认真听讲是十分有必要的.


【知识导图】











教学过程








一、导入








【教学建议】


在这一部分知识的学习中，要求学生理解因式分解的做题方法，牢记跟与系数判别式的公式，认真细心地多做练习是快速提升对这部分知识掌握程度的最好方法.


因式分解法解一元二次方程是十分便捷的一种解题方法，在学习的时候要注意比较三种解法的优劣，找到最合适的解题方法.





二、知识讲解








考点1 因式分解法解一元二次方程








在方程右边为0的前提下，对左边灵活选用合适的方法因式分解，并体会整体思想.总结用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：首先使方程右边为0，其次将方程的左边分解成两个一次因式的积，再令两个一次因式分别为0，从而实现降次，得到两个一元一次方程，最后解这两个一元一次方程，它们的解就都能是原方程的解.这种解法叫做因式分解法.


配方法要先配方，再降次；公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程. 解一元二次方程的基本思路：化二元为一元，即降次.





考点2 根与系数关系的判别式








两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数；


两根之积等于常数项与二次项系数的比. ；


求根公式是在一般形式下推导得到，根与系数的关系由求根公式得到.














三 、例题精析








类型一 用因式分解法解一元二次方程





例题1








解方程：


【解析】解：2（x－3）=3x（x－3）


移项得：2（x－3）－3x（x－3）=0


提取公因式x－3得：（x－3）（2－3x）=0


∴x－3=0或2－3x=0


解得：x1=3，.


【总结与反思】本题考查了因式分解法法的使用.移项后提取公因式x－3后利用因式分解法求得一元二次方程的解即可.





类型二 一元二次方程根与系数之间关系应用





例题1





已知一元二次方程的两根为，则___________．


【解析】-3


由题意得x1+x2=1.5，x1×x2=-0.5


所以=-3.


【总结与反思】 此题考察根与系数关系的判别式的应用..








类型三 利用根与系数之间的关系求字母的值及方程的解





例题1








已知一元二次方程.


（1）若方程有两个实数根，求m的范围；


（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且，求m的值.


【解析】


（1）











（2）





因解得


所以得


【总结与反思】此题考察了根与系数判别式的灵活运用.








四 、课堂运用








基础








1.三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程的解，则第三边的长为【 】


（A）7 （B）3 （C）7或3 （D）无法确定


2.若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程 _________ ．


3.孔明同学在解一元二次方程x2－3x+c=0时，正确解得x1=1，x2=2，则c的值为 ．





4.（1） 20－9y－20y2=0； （2）x2-5x-6=0





答案与解析


1.【答案】C


【解析】由因式分解得：（x－3）（x－7）=0，解得：x1=3，x2=7.


∵三角形的第三边是的解，∴三角形的第三边为3或7.


当三角形第三边为3时，2+3＜6，不能构成三角形，舍去；


当三角形第三边为7时，三角形三边分别为2，6，7，能构成三角形.


∴第三边的长为7.故选A.


2.【答案】x2-5x+6=0（答案不唯一）


【解析】∵一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，


∴一元二次方程的两个根的乘积为：3×2=6，


∴此方程可以为；x2﹣5x+6=0，


故答案为：x2﹣5x+6=0（答案不唯一）


3.【答案】1、2


【解析】一元二次方程根与系数的关系：，．


由题意得，则．


4.【答案】（1） （2）x1=-1，x2=6


【解析】（1） （2）（x+1）（x-6）=0








巩固








1.已知方程两根的绝对值相等，则m= .


2.一个数平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数


3.已知是一元二次方程的两个实数根，且 ，求和的值.





答案与解析


1.【答案】见解析.


【解析】























2.【答案】见解析.


【解析】由题意可列方程为：





3.【答案】见解析.


【解析】














∴ ①





②


将①代入②，得：





；




















拔高








1.已知关于x的方程，根据下列条件，分别求出m的值：①两根互为相反数；②两根互为倒数；③有一根为零；④有一根为1.





答案与解析


1.【答案】见解析


【解析】①，，解得；


②，，解得；


③当时，，解得；


④当时，，解得








五 、课堂小结








用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：首先使方程右边为0，其次将方程的左边分解成两个一次因式的积，再令两个一次因式分别为0，从而实现降次，得到两个一元一次方程，最后解这两个一元一次方程


两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数；


两根之积等于常数项与二次项系数的比. ；








六 、课后作业











基础








1.设是方程的两根，则的值是（ ）


（A）15 （B）12 （C）6 （D）3


2.如果是两个不相等实数，且满足，，那么等于（ ）


（A）2 （B）－2 （C） 1 （D）－1


3.若关于的方程的两个根互为倒数，则＝ .


4.设关于的方程的两根是和，且，则值为 .


5.已知是方程2x2-2x+1-3m=0的两个实数根，且x1x2+2（x1+x2）>0，那么实数m的取值范围是


6. (1) 2x2+3x+1=0； (2) 2y2+y－6=0；





答案与解析


1.【答案】B


【解析】








2.【答案】D


【解析】








3.【答案】见解析


【解析】























4.【答案】见解析


【解析】


①


②


③


①×2-③，得：





①，得：，③，得：





5.【答案】见解析


【解析】





∴





∵方程有解，∴





∴








∴





6.【答案】（1） （2）





【解析】（1）（2x+1）（x+1）=0 （2）（2y-3）（y+2）=0





巩固








1.设是方程的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：





2.关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2.


（1）求k的取值范围；


（2）如果且为整数，求的值.


3.已知关于的方程有两个实数根，当时，求的值





答案与解析


1.【答案】见解析


【解析】




















2.【答案】(1)k≤0;(2)-1和0.


【解析】∵（1）方程有实数根


∴⊿=22-4k+1）≥0.


解得 k≤0.


K的取值范围是k≤0.


（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=-2, x1x2=k+1


x1+x2-x1x2=-2,+ k+1


由已知，得-2-（k+1）＜-1 解得 k＞-2


又由（1）k≤0


∴-2＜k≤0


∵k为整数


∴k的值为-1和0.


2.【答案】(见解析


【解析】∵


且


所以








所以





又因为方程有解，所以





所以则








拔高








1.若果方程的两个实数根，满足，那么的值为6，已知关于的一元二次方程


(1)求证:不论为何值,方程总有两不相等实数根.


(2)设,是方程的根,且 ,求的值.





答案与解析


1.【答案】(1)证明见解析(2)


【解析】 解：（1）已知关于x的一元二次方程x2-2kx+k2-2=0，


∴△=（-2k）2-4×（k2-2）=2k2+8，


∵2k2+8＞0恒成立，


∴不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根．


（2）∵x1、x2是方程的两个根，


∴x1+x2=2k，x1•x2=k2-2，


∴x12-2kx1+2x1x2=x12-（x1+x2）x1+2x1x2=x1x2=k2-2=5，


解得k=±




















七 、教学反思











适用学科
初中数学
适用年级
初三
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
因式分解法解一元二次方程


一元二次方程根与系数之间关系应用


利用根与系数之间的关系求字母的值及方程的解


4、根与系数之间关系的易错题
教学目标
1、掌握解一元如此方程的方法.


2、应用根与系数直接的关系解题.
教学重点
能熟练掌握求解一元二次方程的方法.
教学难点
根与系数之间的关系.