初中数学第三章 概率的进一步认识综合与测试教学设计及反思

这是一份初中数学第三章 概率的进一步认识综合与测试教学设计及反思，共16页。教案主要包含了教学建议，知识导图，总结与反思等内容，欢迎下载使用。










第8讲


讲























概率















































概 述














【教学建议】


公式法解一元二次方程是三种解法中最直观的一种方法，仅仅需要将各项系数带入计算即可得到一元二次方程的解，因此在学习本讲的时候，最重要的就是把求根公式记忆牢固，并认真细心地计算.


【知识导图】











教学过程








一、导入








【教学建议】


在这一讲知识的学习中，让学生经历计算理论概率的过程，更能进一步发展学生的合作交流意识及反思的习惯.


概率是中考中每年必考的部分，其中概率的计算、树状图（列表）是热门考点，在这一部分，我们要充分理解概率的含义，进而掌握这一部分的知识





二、知识讲解








考点1 树状图（或列表法）的使用








对于简单的概率类题型我们可以通过列举法，计算事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率，但是对于可能情况较多的事件，我们可以通过用树状图 或列表法来解决


树状图法：


①分层.分清事件发生的层次，哪些情况是第一层（第一次）发生的，哪些是第二层（第二次）发生的；


②根据分层用树状图把每一层（每一次）表示出来，然后计算事件发生的概率；


列表法：


将前后两次发生的事件在表格中全部表达出来，在其中计算事件发生的次数，进而计算频率.





三 、例题精析








类型一 简单事件概率的计算





例题1








一只蚂蚁在如图所示的矩形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为





【解析】


阴影部分的交点是矩形对角线的交点，因此阴影所占面积是整个矩形面积的一半.


【总结与反思】本题较为简单，通过计算阴影面积所占矩形面积的比例即可.





类型二 树状图或列表法计算概率





例题1











在某电视台的一档选秀节目中，有三位评委，每位评委在选手完成才艺表演后，出示“ 通过”(用√表示)或“ 淘汰”(用×表示)的评定结果.节目组规定：每位选手至少获得两位评委的“通过”才能晋级.


(1)请用树形图列举出选手A 获得三位评委评定的各种可能的结果；


(2)求选手A 晋级的概率.


【解析】（1）树状图如图所示，选手一共有8种等可能的结果，分别为(√,√,√)、(√,√,×)、(√,×,√)、(√,×,×)、(×,√,√)、(×,√,×)、(×,×,√)、(×,×,×).


开始





（2）由（1）得选手A的结果共有8种等可能情况，其中晋级的情况有4种，故其概率为


【总结与反思】 此题只要掌握树状图的画法，就比较简单了.





类型三：概率与代数、几何知识结合





例题1








在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为3，2，2+6．（卡片除了实数不同外，其余均相同）


（1）从盒子中随机抽取一张卡片，请直接写出卡片上的实数是无理数的概率；


（2）先从盒子中随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为被减数；卡片不放回，再随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为减数，请你用列表法或树状图的方法列出所有等可能的结果，并求出两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率．


【解析】（1）∵在一个不透明的盒子中放有三张卡片,每张卡片上写有一个实数,分别为3，2，2+6


∴从盒子中随机抽取一张卡片,卡片上的实数是无理数的概率是：


（2）画树状图得：





∵共有6种等可能的结果，两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数的有2种情况，


∴两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率为：


【总结与反思】 此题根据事件的发生情况，采用树状图解题即可.





类型四：用平均频率估计概率





例题1








“中国梦”关乎每个人的幸福生活.为进一步感知我们身边的幸福,展现成都人追梦的风采,我市某校开展了以“梦想中国,逐梦成都”为主题的摄影大赛,要求参赛学生每人交一件作品.现将参赛的50件作品的成绩(单位:分)进行统计如下:





请根据上表提供的信息,解答下列问题:


(1)表中x的值为 ,y的值为 ;


(2)将本次参赛作品获得A等级的学生依次用表示,现该校决定从本次参赛作品获得A等级的学生中,随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会,请用树形图或列表法求恰好抽到学生和的概率.


【解析】（1）4，0.7；（2）.


（1）∵x+35+11=50，∴x=4，或x=50×0.08=4；


y==0.7，或y=1-0.08-0.22=0.7；


（2）依题得获得A等级的学生有4人，用A1，A2，A3，A4表示，画树状图如下：





由上图可知共有12种结果，且每一种结果可能性都相同，其中抽到学生A1和A2的有两种结果，


所以从本次参赛作品中获得A等级学生中，随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会，恰好抽到学生A1和A2的概率为：P=.


【总结与反思】使用平均概率来估算其他事件的概率.





类型五：用实验频率估计概率





例题1








为了估计湖中有多少条鱼．先从湖中捕捞n条鱼作记号，然后放回湖里，经过一段时间，等带记号的鱼完全混于鱼群中之后再捕捞，第二次捕鱼m共条，有k条带记号，则估计湖里有鱼（ ）


A.条 B.条 C.条 D.条


【解析】B


第一次和第二次的概率相同，因此可以通过第二次的概率来估算整个湖里的鱼数量，得到B的答案.


【总结与反思】通过实验频率概率来估算整体的数量.








四 、课堂运用








基础








1.将五张分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、等腰梯形、正六边形的卡片任意摆放，将有图形的一面朝下，从中任意翻开一张卡片，图形一定是中心对称图形的概率是（ ）


A． B． C． D．


2.如图，管中放置着三根同样的绳子AA1,BB1,CC1;


(1)小明从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子AA1的概率是多少？


(2)小明先从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端A1、B1、C1三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子能连结成一根长绳的概率．











答案与解析


1.【答案】C


【解析】等边三角形，矩形，正六边形是中心对称的.


2.【答案】见解析


【解析】(1)三种等可能的情况数，


则恰好选中绳子AA1的概率是；


(2)列表如下


所有等可能的情况有9种，其中这三根绳子能连结成一根长绳的情况有6种，


则P=








巩固








有9张卡片，分别写有1～9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽取一张，记卡片上的数字为a，





则使关于x的不等式组有解的概率为 .





2.一养鱼专业户为了估计池塘里有多少条鱼，先捕上100条鱼做上标记，然后放回湖里，过了一段时间，待带标记的鱼完全混合于鱼群后，再捕捞了五次，记录如下：第一次捕上90条鱼，其中带标记的有11条；第二次捕上100条鱼，其中带标记的鱼有9条；第三次捕上120条鱼，其中带有标记的鱼有12条；第四次捕上100条鱼，其中带标记的鱼有9条；第五次捕上80条鱼，其中带标记的鱼有8条.问池塘里大约有多少条鱼?





答案与解析


1.【答案】


【解析】不等式的解集为：x≥3，x＜，要使不等式有解，


则＞3，则a＞5


即6,7,8,9四个数.


2.【答案】见解析


【解析】=1000





拔高








1.九年级（1）班要举行一场毕业联欢会，规定每个同学同时转动下图中①、②两个转盘（两个转盘分别被二等分和三等分），若两个转盘停止后指针所指的数字之和为奇数，则这个同学要表演唱歌节目；若数字之和为偶数，则要表演其他节目．试求出这个同学表演唱歌节目的概率（要求用画树状图或列表方法求解）．


1


2


2


3


1


转盘②


转盘①











答案与解析


1.【答案】


【解析】列表如下：





由上表可知，所有等可能结果共有6种，其中数字之和为奇数的有3种，


∴P（表演唱歌）=








五 、课堂小结








本节的重要内容：树状图或列表法解答概率题.


树状图和列表法其实质是一样的，但是树状图法较为便捷一些，观察起来也更为直观，因此要牢固掌握树状图这种解概率题的方法.








六 、课后作业











基础








1.如图，转盘中8个扇形的面积都相等．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向大于6的数的概率为 ．

















2.第17届亚亚运会正在韩国仁川如火如荼的进行，爸爸想通过一个游戏决定小明能否看今晚的比赛，在一个不透明的盒子中放入三张卡片，每张卡片上写着一个实数，分别为3，（每张卡片除了上面的实数不同以外其余均相同），爸爸让小明从中任意取一张卡片，如果抽到的卡片上的数是有理数，就让小明看比赛，否则就不能看，


（1）请直接写出按照爸爸的规则小明能看比赛的概率；


（2）小明想了想，和爸爸重新约定游戏规则：自己从盒子里随机抽取两次，每次抽取一张卡片，第一次抽取后记下卡片上的数，再将卡片放回盒中抽取第二次，如果抽取的两个数字之积是有理数，自己就看比赛，否则就不看，请你用列表法或树状图法求出按照此规则小明看比赛的概率.











答案与解析


1.【答案】


【解析】大于6的有两个数：7、8.


2.【答案】见解析


【解析】(1)按照爸爸的规则小明能看比赛的概率P=；


(2)列表如下：





所有等可能的情况有9种，其中抽取的两数之积是有理数的情况有5种，


则按照此规则小明看比赛的概率P=.





巩固











1.在一个不透明的口袋里装有四个分别标有1、2、3、4的小球，它们的形状、大小等完全相同.小明先从口袋里随机不放回地取出一个小球，记下数字为x；小红在剩下有三个小球中随机取出一个小球，记下数字y.


（1）计算由x、y确定的点（x，y）在函数图象上的概率；


（2）小明、小红约定做一个游戏，其规则是：若x、y满足xy>6，则小明胜；若x、y满足xy<6,则小红胜.这个游戏规则公平吗?说明理由;若不公平,怎样修改游戏规则才对双方公平?























2.如图，有一个可以自由转动的转盘被平均分成3个扇形，分别标有1、2、3三个数字，小王和小李各转动一次转盘为一次游戏，当每次转盘停止后，指针所指扇形内的数为各自所得的数，一次游戏结束得到一组数（若指针指在分界线时重转）．


（1）请你用树状图或列表的方法表示出每次游戏可能出现的所有结果；


（2）求每次游戏结束得到的一组数恰好是方程x2-3x+2=0的解的概率．





答案与解析


1.【答案】见解析


【解析】(1)画树形图：





所以共有12个点：(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)，


其中满足y=−x+6的点有(2,4),(4,2)，


所以点(x,y)在函数y=−x+6图象上的概率=


(2)满足xy>6的点有(2,4),(4,2),(4,3),(3,4)，共4个；


满足xy<6的点有(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(3,1),(4,1)，共6个，


所以P(小明胜)= ;P(小红胜)= ；


∵


∴游戏规则不公平.


游戏规则可改为：若x、y满足xy⩾6，则小明胜；若x、y满足xy<6，则小红胜.


2.【答案】见解析


【解析】(1)列表如下：


(2)所有等可能的情况数为9种，其中是x2−3x+2=0的解的为(1,2)，(2,1)共2种，


则P是方程解= .








拔高








1.2014年西宁市教育局建立了“西宁招考信息网”，实现了“网上二填报三公开三查询”，标志着西宁中考迈出网络化管理第一步，在全市第二次模拟考试实战演练后，通过网上查询，某校数学教师对本班数学成绩（成绩取整数，满分为120分）作了统计分析，绘制成频数分布步和频数分布直方图，请你根据图表提供的信息，解答下列问题：


频数分布表：


（1）频数分布表中a= ，b= ；


（2）补全频数分布直方图；


（3）为了激励学生，教师准备从超过108分的学生中选2人介绍学习经验，那么取得118分的小红和112分的小明同时被选上的概率是多少？请用列表法或画树形图加以说明，并列出所有可能的结果．








答案与解析


1.【答案】见解析


【解析】（1）1-0.04-0.08-0.16-0.32=0.4， 2÷0.04×0.08=4；


（2）











（3）讲超过108的4人分别用ABCD来代替，小明为A，小红为B.




















P（恰好抽到小明，小红）==．








七 、教学反思











适用学科
初中数学
适用年级
初三
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
简单事件概率的计算


树状图或列表法计算概率


概率与代数、几何知识结合


用平均频率估计概率


用实验频率估计概率
教学目标
1、掌握计算概率的方法.


2、应用概率解决实际问题.
教学重点
能熟练掌握计算概率的方法.
教学难点
概率综合题.
等级
成绩(用s表示)
频数
频率
A
x
0.08
B
35
y
C
11
0.22
合计
50
1
AB
AC
BC
A1B1
×
√
√
A1C1
√
×
√
B1C1
√
√
×
1
2
3
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
分组
频数
频率
60＜x≤72
2
0.04
72＜≤84
8
0.16
84＜x≤96
20
a
96＜x≤108
16
0.32
108＜x≤120
b
0.08
合计
50
1
A
B
C
D
A
AB
AC
AD
B
BA
BC
BD
C
CA
CB
CD
D
DA
DB
DC