数学5 一元二次方程的根与系数的关系教学设计

这是一份数学5 一元二次方程的根与系数的关系教学设计，共11页。教案主要包含了教学建议，知识导图，总结与反思， 等内容，欢迎下载使用。

第5讲


讲























公式法解一元二次方程












































概 述














【教学建议】


公式法解一元二次方程是三种解法中最直观的一种方法，仅仅需要将各项系数带入计算即可得到一元二次方程的解，因此在学习本讲的时候，最重要的就是把求根公式记忆牢固，并认真细心地计算.


【知识导图】

















教学过程








一、导入








【教学建议】


在这一部分知识的学习中，牢记公式，认真细心地多做练习是快速提升对这部分知识掌握程度的最好方法.


公式法解一元二次方程和配方法解一元二次方程联系密切，在学习的时候要注意比较两种解法的优劣，找到最简单的解题方法.





二、知识讲解








考点1 公式法解一元二次方程








首先将一元二次方程化为的形式；


然后依据 即可判断此方程根的个数.


>0 两个根；


=0 两个相等的根，或称为一个根；


<0 无解.


求根公式 将各项系数带入，即可求出方程的根.





三 、例题精析








类型一 用公式法解一元二次方程





例题1








解方程：2x2+3x=4(公式法)


【解析】 方程可化为 2x2+3x-4=0.


a = 2 ，b = 3， c= -4；将三个系数带入求根公式


==


，


【总结与反思】本题考查了公式法的求根公式的使用.





类型二 根的判别式的应用





例题1





已知关于x的方程，下列说法正确的是（ ）


A、当k=0时，方程无解


B、当k=1时，方程有一个实数解


C、当k=-1时，方程有两个相等的实数根


D、当k≠0时，方程总有两个不相等的实数根


【解析】C


当k=0时，方程为x-1=0，x=1；


当k=1时，方程为x2-1=0，x=±1；


当k=-1时，方程为-x2+2x-1=0 △=b2-4ac=0，有两个相等的实数根；


【总结与反思】 此题考察根的判别式的应用..











四 、课堂运用








基础








1.以x=为根的一元二次方程可能是（ ）


A. B. C. D.


2.计算


（1）2x2+3x-1=0 （2）-3x2-5x+6=0





答案与解析


1.【答案】C


【解析】根据求根公式即可得出答案.


【答案】（1）x= （2）x=


【解析】按照公式法求解即可得出答案.





巩固








1.已知关于x的一元二次方程(k－2)2x2＋(2k＋1)x＋1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）


(A) k>且k≠2 (B)k≥且k≠2 (C) k >且k≠2 (D)k≥且k≠2


2.已知关于x的一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 .


（1）求证：方程有两个不相等的实数根；


（2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5.当△ABC是等腰三角形时，求k的值.





答案与解析


1.【答案】C


【解析】∵方程为一元二次方程，∴k－2≠0，即k≠2.


∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，


∴（2k＋1）2－4（k－2）2＞0，即（2k＋1－2k＋4）（2k＋1＋2k－4）＞0，


∴5（4k－3）＞0，k＞.


∴k的取值范围是k＞且k≠2.故选C.


2.【答案】（1）证明见解析；（2）5或4．


【解析】（1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论；


（2）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值．


试题解析：（1）证明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0，


∴方程有两个不相等的实数根；


（2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x=，即x1=k，x2=k+1，


∵k＜k+1，


∴AB≠AC．


当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5；


当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4，


所以k的值为5或4．





拔高








1.嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式时，对于b2-4ac＞0的情况，她是这样做的：


由于a≠0，方程ax2+bx+c=0变形为：


x2+x=-，…第一步


x2+x+（）2=-+（）2，…第二步


（x+）2=，…第三步


x+=（b2-4ac＞0），…第四步


x=，…第五步


嘉淇的解法从第 四步开始出现错误；事实上，当b2-4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是 ．


用公式法解方程：x2-2x-24=0．








答案与解析


1.【答案】见解析.


【解析】在第四步中，开方应该是x+=±．所以求根公式为：x=


用公式法解方程：x2-2x-24=0


得x1=6，x2=-4．








五 、课堂小结








本节的重要内容：公式法解一元二次方程.


首先将一元二次方程化为的形式；


然后依据 即可判断此方程根的个数.


>0 两个根；


=0 两个相等的根，或称为一个根；


<0 无解.


求根公式 将各项系数代入，即可求出方程的根.








六 、课后作业











基础








1.如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是【 】


A．k＜ B．k＜且k≠0 C．﹣≤k＜ D．﹣≤k＜且k≠0


2.计算


（1）x2+5x+6=0 （2）3x2-4x+3=0





答案与解析


1.【答案】D


【解析】根据一元二次方程二次项系数不为0定义知： k≠0；根据二次根式被开方数非负数的条件得：2k+1≥0；根据方程有两个不相等的实数根，得△=2k+1﹣4k＞0.三者联立，解得﹣≤k＜且k≠0.


故选D.


2.【答案】（1）x1=-3 x2=-2 （2）无解


【解析】根据公式法即可算出答案.





巩固











1.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根.


（1）求k的取值范围；


（2）求k的负整数值，并选择一个k的负整数值，求出方程的根.


2.关于的一元二次方程，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根．





答案与解析


1.【答案】见解析


【解析】（1） =9 + 4k〉0,k〉.


k的负整数值可取-2，-1.


当k= -1时，=.


2.【答案】见解析


【解析】=（3m-1）2-4m（2m-1）=1，m=0或2. m是二次项系数不为零


因此m=2.


= x1=1 x2=.





拔高





1.已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值





答案与解析


1.【答案】见解析


【解析】 ∵一元二次方程有两个相等的实数根


∴，即








七 、教学反思











适用学科
初中数学
适用年级
初三
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.用公式法解一元二次方程


2.根的判别式的应用
教学目标
1.掌握公式法解一元二次方程.


2.掌握根的判别及应用.
教学重点
能应用公式法求解一元二次方程并熟练应用系数判别根的情况.
教学难点
根的判别及应用.