初中数学北师大版九年级上册5 一元二次方程的根与系数的关系复习练习题

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北师大版 九上 第二章 2.5一元二次方程的根与系数的关系
测试卷A卷
一．选择题（共30分）
1.已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于x的方程x2+(2m−1)x+m2+3=0的根，则m等于（　　）
A．−3 B．5 C．5或−3 D．−5或3
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：

由直角三角形的三边关系可得：AO2+BO2=25，
又有根与系数的关系可得：AO+BO=−2m+1，AO×BO=m2+3，
∴AO2+BO2=(AO+BO)2−2AO×BO=(−2m+1)2−2(m2+3)=25，
整理得：m2−2m−15=0，
解得：m=−3或5.
又∵Δ>0，
∴(2m−1)2−4(m2+3)>0， 解得m<−114，
∴m=−3.
故答案为：A.
2.规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论
①方程x2+2x﹣8＝0是倍根方程；②若关于x的方程x2+ax+2＝0是倍根方程，则a＝±3；③若（x﹣3）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则n＝6m或3n＝2m；④若点（m，n）在反比例函数y＝ 2x 的图象上，则关于x的方程mx2﹣3x+n＝0是倍根方程.上述结论中正确的有（　　）
A．② B．①③ C．②③④ D．②④
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： ①x2+2x﹣8＝（x+4）(x-2)=0 ,∴x1=-4,x2=2, x1=-2x2, 不是倍根方程，错误；
② 由题意得：2x12=2, ∴x1=±1，∴x1=1,x2=2,x1=-1,x2=-2, 则a＝x1+x2=±3, 正确；
③∵x1=3,x2=nm, 当x1=2x2时，3m=2n, 当x2=2x1时，n=6m, 错误；
④ 由题意得：n=2m, ∴mx2-3x+2m=0, ∴x1+x2=3m,x1x2=2m2, 整理得：2x12-5x1x2+2x22
=0, ∴（x1-2x2）(2x1-x2)=0, ∴x1=2x2, 或x2=2x1，正确；
综上，正确的是②④ .
故答案为：D.

3．关于x的一元二次方程 x2+2mx+2n=0 有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程 y2+2ny+2m=0 同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；②(m−1)2+(n−1)2≥2 ；③−1≤2m−2n≤1 ．其中正确结论的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解法一：因为关于 x 的一元二次方程 x2+2mx+2n=0 有两个整数根且乘积为正，由韦达定理得 x1x2=2n>0 ，所以 x1，x2 同号；同理 y1，y2 为同号。根据 x1+x2=−2m<0，y1+y2=−2n<0 得 x1，x2，y1，y2 均为负整数，因此结论①正确；又由题意得 △=m2−2n≥0 ， △=n2−2m≥0 ，则 m2+n2−2n−2m≥0 ， (m−1)2+(n−1)2≥2 ，故结论②正确；因为 x1，x2，y1，y2 均为负整数，则它们均小于等于 −1 。设 X=x2+2mx+2n ， Y=y2+2ny+2m ，则 X，Y 分别为 x，y 的二次函数，其图象开口向上，与横轴的交点坐标均小于或等于 −1 且为整数，因此当 x=−1 时， X=1−2m+2n≥0，m−n≤12 。当 y=−1 时， Y=1−2n+2m≥0，m−n≥−12 ，即 −12≤m−n≤12 ，故结论③正确。
应选D。
解法二：设 x2+2mx+2n=0 的两个整数根为 x1 、 x2 ，
y2+2ny+2m=0 的两个整数根为 y1 、 y2 ，
则 x1+x2=−2mx1x2=2n ， y1+y2=−2ny1y2=2m ，
由题意得： x1x2=2n>0 ， y1y2=2m>0 ，
∴x1+x2=−2m<0 ， y1+y2=−2n<0 ，
∴x1<0 ， x2<0 ， y1<0 ， y2<0 ，∴①正确；
∵x2+2mx+2n=0 的两个整数根为 x1 、 x2 ，
∴Δ=(2m)2−4×2n≥0 ，即 m2≥2n ，
∴m2−2n≥0 ，同理： n2−2m≥0 。
∴(m−1)2+(n−1)2=(m2−2n)
+(n2−2m)+2≥2 ，∴②正确；
∵y1 、 y2 为负整数，∴y1+1≤0 、 y2+1≤0 ，
∴(y1+1)(y2+1)≥0 ，∵y1y2=2m>0 ， y1+y2=−2n<0 ，
∴y1y2+y1+y2=2m−2n ，∴2m−2n+1=y1y2+y1+y2+1
=(y1+1)(y2+1)≥0 ，∴−1≤2m−2n ，
同理： −1≤2n−2m ，即 2m−2n≤1 ，
∴−1≤2m−2n≤1 ，∴③正确；
故答案为：D.
4.已知x1，x2是方程x2−x−10=0的两个实根，则x13−10x1+x2的值为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．21
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1，x2是方程x2−x−10=0的两个实根，
∴x12−x1−10=0，x1+x2=1；
∴x12=x1+10，
∴x13−10x1+x2
=(x13−x12−10x1)+x12+x2
=x1(x12−x1−10)+x1+x2+10
=0+1+10
=11.
故答案为：C.
5.三角形两直角边是方程x2−8x+14=0的两根，则它的斜边为（　　）
A．8 B．7 C．6 D．27
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系；勾股定理
【解析】【解答】解：设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b，
∵直角三角形两直角边是方程x2−8x+14=0的两根，
∴a+b=8，ab=14，
根据勾股定理可得：c2=a2+b2=(a+b)2−2ab=64−28=36，
∴c=6.
故答案为：C.
6.已知关于x的方程x2+kx+2＝0的两个根为x1，x2，且，则k的值为（　　）
A．0 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【分析】
根据根与系数关系列出方程求解即可．
【详解】
解：由题意知，x1+x2＝﹣k，x1•x2＝2．
则由得，
，即．
解得k＝4．
故选：C．
7．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
【答案】B
【分析】
利用判别式大于零和二次项系数不为零求解即可．
【详解】
∵方程有两个不相等的实数根，
∴m≠0，且△＞0，
∴m≠0，且＞0，
∴且，
故选B．
8．如果方程的两个根为，，那么的值为（ ）
A．7 B．6 C． D．0
【答案】A
【分析】
将代入方程，即可得，即可推出，再由韦达定理即可求出结果．
【详解】
将代入方程得：，即
∴．
∵、是方程的两个根，
∴，．
∴．
故选：A．
9．一元二次方程的两根为、，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】
解：由一元二次方程根与系数的关系得：
= ==-2．
故选：C．
10．关于x的方程（a为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根一个负根 D．无实数根
【答案】C
【分析】
先将方程整理为一般形式，计算，得到方程有两个不相等的实数根，再根据两根之积为负数即可求解．
【详解】
解：整理关于x的方程得
，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴方程了两个根一正一负．
故选：C

二． 填空题（共24分）
11.设是关于x的方程的两个根，且，则_______．
【答案】2
【分析】
先利用根与系数的关系中两根之和等于3，求出该方程的两个根，再利用两根之积得到k的值即可．
【详解】
解：由根与系数的关系可得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴;
故答案为：2．
12．已知、是方程的两个实数根，则代数式______．
【答案】
【分析】
利用韦达定理可得出，，再通过代入移项可得到，分别代入运算即可．
【详解】
解：∵，和是方程的两个根
∴，，
∴
故答案为：
13．已知关于的一元二次方程有两个不等的实数根，．若，则的值为______．
【答案】2
【分析】
根据根的判别式先求出“△”的值，再根据根与系数的关系得出x1+x2=2（m+2），x1•x2=，变形后代入，即可求出答案．
【详解】
解：∵，且，
∴，且，
∵是方程有两个实数根，
∴，，
∵，
∴，即，
整理得：，
解得：．
∵，且，
∴．
故答案为：．
三．解答题（共46分）
17.（8分）已知关于x的方程x2−(k+1)x+14k2+1=0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2恰好是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为5，求k．
【答案】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ>0 ，即[−(k+1)]2−4(14k2+1)>0 ，
解得：k>32 ；
（2）解：根据题意得：x1+x2=k+1，x1⋅x2=14k2+1 ，
∴x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(k+1)2−2(14k2+1)=12k2+2k−1 ，
∵方程的两根x1，x2恰好是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为5，
∴x12+x22=(5)2 ，
即12k2+2k−1=5 ，
整理得：k2+4k−12=0 ，
解得：k=2 或-6，
当k=−6 时，x1+x2=k+1=−5<0 ，不合题意，舍去
∴k=2．

18.（8分）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2−(2m+4)x+m2=0的两个实数根．
（1）当m=0时，求方程的根；
（2）若(x1−2)(x2−2)=8，求m的值；
（3）若等腰△ABC的腰长为9，x1、x2恰好是△ABC另外两边的长，求这个等腰三角形的周长．
【答案】（1）解：将m=0代入原方程，得x2−4x=0
即x(x−4)=0
解得x1=0，x2=4
（2）解：∵x2−(2m+4)x+m2=0
∴a=1，b=−(2m+4)，c=m2，x1+x2=2m+4，x1x2=m2
Δ=b2−4ac=[−(2m+4)]2−4m2≥0
解得m≥−1
∵(x1−2)(x2−2)=8
∴x1x2−2(x1+x2)+4=8
即m2−2(2m+4)+4=8
(m−6)(m+2)=0
解得m1=6，m2=−2（舍）
∴m=6
（3）解：①当9为底边时，此时方程x2−(2m+4)x+m2=0有两个相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=[−(2m+4)]2−4m2=0，
解得：m=−1，
∴方程变为x2−2x+1=0，
解得：x1=x2=1，
∵1+1＜9，
∴不能构成三角形；
②当9为腰时，设x1＝9，
代入方程得：81−(2m+4)×9+m2=0，
解得：m＝15或3，
当m＝15时方程变为x2﹣34x+225＝0，
解得：x＝9或25，
∵9+9＜25，不能组成三角形；
当m＝3时方程变为x2﹣10x+9＝0，
解得：x＝1或9，
此时三角形的周长为9+9+1＝19．
19.（10分）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根是1，求方程的另一个根．
【答案】（1）证明见解析；（2）该方程的另一个根式-3．
【分析】
（1）判断即可证明；
（2）根据韦达定理即可得出另一根．
【详解】
解：（1），
∵，
∴，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的另一个根为x，则
，解得，
故该方程的另一个根式-3．

20.（10分）．已知关于x的方程x2（2a+2）xa220的两根是一个矩形两邻边的长．
（1）a取何值时，方程有两个实数根；
（2）当矩形的对角线长为时，求a的值；
（3）当a为何值时，矩形变为正方形？
【答案】（1）；（2）1；（3）
【分析】
（1）根据根的判别式找出∆=8a4，结合方程有两个实数根即可得出关于a的一元一次不等式，解不等式即可得出a的取值范围；
（2）由根与系数的关系即可得出x1+x22a2， x1x2a22，再根据x12x2210即可得出关于a的一元二次方程，解方程即可求出a的值，结合（1）的结论即可确定a值；
（3）当矩形变为正方形时，方程的两根相等，即∆=8a4=0，解方程即可得出a的值．
【详解】
解：（1）∆[- (2a+2)]241（ a2+2）8a4，
∵方程有两个实数根，
∴∆≥0
即 8a4≥0，
解得：a≥；
（2）设方程的两个根为x1、x2，则x1x22a2， x1x2a22，
∵ 矩形的对角线长为，
∴ x12x2210，
即x12x22(x1x2)22x1x2(2a2)22(a22)10，
整理得：2a28a100，
解得：a11，a25(舍去) ，
因此，当矩形的对角线长为时，a的值是1．
（3）当矩形变为正方形时，方程有两个相等的实数根，
∴∆8a40，
解得：a=．

21.（10分）甲、乙两人同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为
（1）求a，b的值；
（2）若关于x的一元二次方程两实数根为，，且满足，求实数m的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）将代入方程②求出b的值，将代入方程①求得a的值，即可得出答案，
（2）再将a，b的值代入中，再利用根与系数的关系得到方程组，解出两个根，即可得出m的值．
【详解】
解：（1）根据题意得解得
（2）当时，一元二次方程化为，
由根与系数关系得，
联成方程组得，解得