北师大版九年级上册5 一元二次方程的根与系数的关系精练

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初中数学9年级上册同步培优专题题库（北师大版）
专题2.5一元二次方程的根与系数的关系
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020•从化区一模）已知x1、x2为一元二次方程x2﹣bx﹣3＝0的两个实数根，且x1+x2＝2，则（　　）
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝﹣3
C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝﹣1，x2＝3
【分析】利用根与系数的关系可求出b值，将b值代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论．
【解析】∵x1、x2为一元二次方程x2﹣bx﹣3＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝b＝2，
∴原方程为x2﹣2x﹣3＝0，即（x+1）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3．
故选：D．
2．（2020•五华区模拟）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝4，则m的值为（　　）
A．54 B．12 C．52 D．3
【分析】利用根与系数的关系可得出x1+x2＝3，结合x1+3x2＝4可求出x2的值，再将其代入原方程即可求出m的值．
【解析】∵x1、x2是一元二次方程x2﹣3x+m＝0的解，
∴x1+x2＝3．
∵x1+3x2＝4，即3+2x2＝4，
∴x2=12．
将x2=12代入原方程，得：14-32+m＝0，
∴m=54．
故选：A．
3．（2020春•荔湾区期末）关于x的一元二次方程x2﹣5x+2p＝0的一个根为1，则另一根为（　　）
A．﹣6 B．2 C．4 D．1
【分析】设方程的另外一个根为x2，根据x1+x2=-ba可得关于x2的方程，解之可得答案．
【解析】设方程的另外一个根为x2，
根据题意，得：1+x2＝5，
解得x2＝4，
∴方程的另外一根为4，
故选：C．
4．（2020春•拱墅区期末）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根分别是-32，5，则方程12a（x﹣1）2+bx＝b﹣2c的两根为（　　）
A．-12，6 B．﹣3，10 C．﹣2，11 D．﹣5，21
【分析】由根与系数的关系求得ba和ca，再代入新方程求解便可．
【解析】∵方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根分别是-32，5，
∴-32+5=-ba，-32×5=ca，
∴ba=-72，ca=-152，
解方程12a（x﹣1）2+bx＝b﹣2c得，
（x﹣1）2+2ba（x﹣1）+4ca=0，
∴（x﹣1）2﹣7（x﹣1）﹣30＝0，
（x﹣1+3）（x﹣1﹣10）＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝11，
故选：C．
5．（2020春•西湖区期末）关于x的方程k2x2+（2k﹣1）x+1＝0有实数根，则下列结论正确的是（　　）
A．当k=12时，方程的两根互为相反数
B．当k＝0时，方程的根是x＝﹣1
C．若方程有实数根，则k≠0且k≤14
D．若方程有实数根，则k≤14
【分析】因为已知没有明确此方程是否是一个一元二次方程，所以方程有两种情况，既可以是一元一次方程，也可以一元二次方程，所以分两种情况分别去求k的取值范围，然后结合选项判断选择什么．
【解析】若k＝0，则此方程为﹣x+1＝0，所以方程有实数根为x＝1，则B错误；
若k≠0，则此方程是一元二次方程，由于方程有实数根，
∴△＝（2k﹣1）2﹣4k2＝﹣4k+1≥0，
∴k≤14且k≠0；
综上所述k的取值范围是k≤14．
故A错误，C错误，D正确．
故选：D．
6．（2020•黄冈模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，设两根为x1，x2，则x1•x2的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【分析】根据方程有两个相等的实数根求出m的值，再根据根与系数的关系得出x1•x2的值即可．
【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，
∴△＝0，即△＝（﹣2）2﹣4m＝0，解得m＝1，
∴x1•x2＝1．
故选：A．
7．（2020•湖北）关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且α2+β2＝12，那么m的值为（　　）
A．﹣1 B．﹣4 C．﹣4或1 D．﹣1或4
【分析】根据方程的根的判别式，得出m的取值范围，然后根据根与系数的关系可得α+β＝﹣2（m﹣1），α•β＝m2﹣m，
结合α2+β2＝12即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解析】∵关于x的方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有两个实数根，
∴△＝[2（m﹣1）]2﹣4×1×（m2﹣m）＝﹣4m+4≥0，
解得：m≤1．
∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，
∴α+β＝﹣2（m﹣1），α•β＝m2﹣m，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2α•β＝[﹣2（m﹣1）]2﹣2（m2﹣m）＝12，即m2﹣3m﹣4＝0，
解得：m＝﹣1或m＝4（舍去）．
故选：A．
8．（2020•南京）关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
【分析】先把方程（x﹣1）（x+2）＝p2化为x2+x﹣2﹣p2＝0，再根据方程有两个不相等的实数根可得△＝1+8+4p2＞0，由﹣2﹣p2＞0即可得出结论．
【解析】∵关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数），
∴x2+x﹣2﹣p2＝0，
∴△＝1+8+4p2＝9+4p2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系，方程的两个根的积为﹣2﹣p2＜0，
∴一个正根，一个负根，
故选：C．
9．（2020•平顶山二模）一元二次方程3x2﹣8x﹣a＝0有一个根是x＝3，则a的值及方程的另一个根是（　　）
A．a＝3，x＝1 B．a＝3，x=-13 C．a＝﹣3，x=-53 D．a＝﹣1，x＝﹣3
【分析】首先利用方程的一个根是x＝3求得a的值，然后利用两根之和求得另一根即可．
【解析】∵一元二次方程3x2﹣8x﹣a＝0有一个根是x＝3，
∴3×32﹣8×3﹣a＝0，
解得a＝3；
设方程的另一个根为x2，
则x2+3=83，
解得：x2=-13．
故选：B．
10．（2020•文登区模拟）已知a，b是方程x2+3x﹣5＝0的两个实数根，则a2﹣3b+2020的值是（　　）
A．2016 B．2020 C．2025 D．2034
【分析】利用根与系数的关系，求出a2+3a＝5，a+b＝﹣3，再代入计算即可求解．
【解析】∵a，b是方程x2+3x﹣5＝0的两个实数根，
∴a2+3a＝5，a+b＝﹣3，
则a2﹣3b+2020＝a2+3a﹣3（a+b）+2020＝5+9+2020＝2034．
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020春•崇川区期末）若方程x2﹣3x+2＝0的两根是α、β，则α+αβ+β＝　5　．
【分析】利用根与系数的关系可得出α+β＝3，αβ＝2，将其代入α+αβ+β中即可求出结论．
【解析】∵方程x2﹣3x+2＝0的两根是α、β，
∴α+β＝3，αβ＝2，
∴α+αβ+β＝α+β+αβ＝3+2＝5．
故答案为：5．
12．（2020•玄武区二模）设x1、x2是方程x2+mx﹣5＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝1，则m＝　4　．
【分析】利用根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣5，结合x1+x2﹣x1x2＝1，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．
【解析】∵x1、x2是方程x2+mx﹣5＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣5．
∵x1+x2﹣x1x2＝1，即﹣m﹣（﹣5）＝1，
∴m＝4．
故答案为：4．
13．（2020•眉山）设x1，x2是方程2x2+3x﹣4＝0的两个实数根，则1x1+1x2的值为　34　．
【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2=-32，x1x2＝﹣2，再把1x1+1x2通分得到x1+x2x1⋅x2，然后利用整体代入的方法计算．
【解析】根据题意得x1+x2=-32，x1x2＝﹣2，
所以1x1+1x2=x1+x2x1⋅x2=-32-2=34．
故答案为34．
14．（2020•青海）在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝2，x2＝3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝1，x2＝5．请你写出正确的一元二次方程　x2﹣6x+6＝0　．
【分析】利用根与系数的关系得到2×3＝c，1+5＝﹣b，然后求出b、c即可．
【解析】根据题意得2×3＝c，
1+5＝﹣b，
解得b＝﹣6，c＝6，
所以正确的一元二次方程为x2﹣6x+6＝0．
故答案为x2﹣6x+6＝0．
15．（2020•黄冈）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则1x1x2=　﹣1　．
【分析】根据x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时x1x2＝q，得出x1x2＝﹣1，代入计算可得答案．
【解析】∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，
∴x1x2＝﹣1，
则1x1x2=-1，
故答案为：﹣1．
16．（2020•南通）若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于　2028　．
【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x12﹣4x1＝2020，x1+x2＝4，代入原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2＝x12﹣4x1+2（x1+x2）计算可得．
【解析】∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020，
则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2
＝x12﹣4x1+2（x1+x2）
＝2020+2×4
＝2020+8
＝2028，
故答案为：2028．
17．（2020•荆门）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0（m＞0）的一个根比另一个根大2，则m的值为　1　．
【分析】设方程的两根分别为t，t+2，利用根与系数的关系得到t+t+2＝4m，t（t+2）＝3m2，利用代入消元法得到（2m﹣1）（2m+1）＝3m2，然后解关于m的方程得到满足条件的m的值．
【解析】设方程的两根分别为t，t+2，
根据题意得t+t+2＝4m，t（t+2）＝3m2，
把t＝2m﹣1代入t（t+2）＝3m2得（2m﹣1）（2m+1）＝3m2，
整理得m2﹣1＝0，解得m＝1或m＝﹣1（舍去），
所以m的值为1．
故答案为1．
18．（2020•内江）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）2x2+3mx+3＝0有一实数根为﹣1，则该方程的另一个实数根为　-13　．
【分析】把x＝﹣1代入原方程求出m的值，进而确定关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系可求出方程的另一个根．
【解析】把x＝﹣1代入原方程得，
（m﹣1）2﹣3m+3＝0，即：m2﹣5m+4＝0，
解得，m＝4，m＝1（不合题意舍去），
当m＝4时，原方程变为：9x2+12x+3＝0，即，3x2+4x+1＝0，
由根与系数的关系得：x1•x2=13，又x1＝﹣1，
∴x2=-13
故答案为：-13．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020春•溧水区期末）已知：关于x的一元二次方程x2+mx＝3（m为常数）．
（1）证明：无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为2，求方程的另一个根．
【分析】（1）先把方程化为一般式，再计算判别式的值得到△＝m2+12＞0，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）利用两根之积为﹣2确定方程的另一根．
【解答】（1）证明：x2+mx﹣3＝0，
∵a＝1，b＝m，c＝﹣3
∴△＝b2﹣4ac＝m2﹣4×1×（﹣3）＝m2+12，
∵m2≥0，
∴m2+12＞0，
∴△＞0，
∴无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）设方程的另一个根为x1，
则 2•x1=ca=-31=-3，
∴x1=-32
∴方程的另一个根为-32．
20．（2020•随州）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m的值．
【分析】（1）根据根的判别式得出△＝（2m+1）2﹣4×1×（m﹣2）＝4m2+9＞0，据此可得答案；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m﹣2，代入x1+x2+3x1x2＝1得出关于m的方程，解之可得答案．
【解答】（1）证明：∵△＝（2m+1）2﹣4×1×（m﹣2）
＝4m2+4m+1﹣4m+8
＝4m2+9＞0，
∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：由根与系数的关系得出x1+x2=-(2m+1)x1x2=m-2，
由x1+x2+3x1x2＝1得﹣（2m+1）+3（m﹣2）＝1，
解得m＝8．
21．（2020•玉林）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两个不相等的实数根是a，b，求aa+1-1b+1的值．
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根可得△＝4+4k＞0，解不等式求出k的取值范围；
（2）由根与系数的关系可得a+b＝﹣2，a•b＝﹣k，代入整理后的代数式，计算即可．
【解析】（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝4+4k＞0，
解得k＞﹣1．
∴k的取值范围为k＞﹣1；
（2）由根与系数关系得a+b＝﹣2，a•b＝﹣k，
aa+1-1b+1=ab-1ab+a+b+1=-k-1-k-2+1=1．
22．（2020•黄石）已知：关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设方程的两根为x1、x2，且满足（x1﹣x2）2﹣17＝0，求m的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝m+8≥0，根据二次根式的意义即可得出m≥0，从而得出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=-m，x1•x2＝﹣2，结合（x1﹣x2）2﹣17＝0即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解析】（1）∵关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0有两个实数根，
∴△＝[m]2﹣4×1×（﹣2）＝m+8≥0，且m≥0，
解得：m≥0．
（2）∵关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0有两个实数根x1、x2，
∴x1+x2=-m，x1•x2＝﹣2，
∴（x1﹣x2）2﹣17＝（x1+x2）2﹣4x1•x2﹣17＝0，即m+8﹣17＝0，
解得：m＝9．
23．（2020•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+12k2﹣2＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝3，求k的值．
【分析】（1）根据根的判别式得出△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（12k2﹣2）＝2（k+1）2+7＞0，据此可得答案；
（2）先根据根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，x1x2=12k2﹣2，由x1﹣x2＝3知（x1﹣x2）2＝9，即（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，从而列出关于k的方程，解之可得答案．
【解析】（1）∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（12k2﹣2）
＝4k2+4k+1﹣2k2+8
＝2k2+4k+9
＝2（k+1）2+7＞0，
∵无论k为何实数，2（k+1）2≥0，
∴2（k+1）2+7＞0，
∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；

（2）由根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，x1x2=12k2﹣2，
∵x1﹣x2＝3，
∴（x1﹣x2）2＝9，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，
∴（2k+1）2﹣4×（12k2﹣2）＝9，
化简得k2+2k＝0，
解得k＝0或k＝﹣2．
24．（2020•广东）已知关于x，y的方程组ax+23y=-103，x+y=4与x-y=2，x+by=15的解相同．
（1）求a，b的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为26，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b＝0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
【分析】（1）关于x，y的方程组ax+23y=-103，x+y=4与x-y=2，x+by=15的解相同．实际就是方程组x+y=4x-y=2的解，可求出方程组的解，进而确定a、b的值；
（2）将a、b的值代入关于x的方程x2+ax+b＝0，求出方程的解，再根据方程的两个解与26为边长，判断三角形的形状．
【解析】（1）由题意得，关于x，y的方程组的相同解，就是方程组x+y=4x-y=2的解，
解得，x=3y=1，代入原方程组得，a＝﹣43，b＝12；
（2）当a＝﹣43，b＝12时，关于x的方程x2+ax+b＝0就变为x2﹣43x+12＝0，
解得，x1＝x2＝23，
又∵（23）2+（23）2＝（26）2，
∴以23、23、26为边的三角形是等腰直角三角形．
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