高中数学1.1 空间向量及其运算同步练习题

1.1-1.3阶段巩固提高练习

一．单项选择题

1．（2019秋•铜陵期末）空间直角坐标系中，已知点，，，点与点关于平面对称，则点的坐标是　　

A．，2， B．，， C．，2， D．，，

【分析】点与点关于平面对称，由此能求出点的坐标．

【解答】解：空间直角坐标系中，点，，，

点与点关于平面对称，，2，，

点的坐标是，2，．

故选：．

2．（2019秋•河西区期末）若向量，0，，向量，1，，则　　

A．，1， B．，1， C．，， D．，，

【分析】利用向量坐标运算性质即可得出．

【解答】解：，0，，1，，，，

故选：．

3．（2020•江苏模拟）若向量，，和，，满足条件，则的值是　　

A． B．0 C．1 D．2

【分析】直接代入数量积求解即可．

【解答】解：因为，，和，，满足条件，

即；

故选：．

4．（2020春•启东市校级月考）已知点，，，向量，则点坐标是　　

A．，2， B．，2， C．，8， D．，，

【分析】根据空间向量的线性运算与坐标表示，计算即可．

【解答】解：点，，，向量，

又，，，，

所以，，，

则点坐标是，，．

故选：．

5．（2019秋•吉安期末）在四面体中，空间的一点满足，若共面，则　　

A． B． C． D．

【分析】利用向量共面基本定理即可得出结论．

【解答】解：由共面知，，解得．

故选：．

6．（2019秋•成都期末）在空间直角坐标系中，点，，到点，0，和点，，的距离相等，则实数的值为　　

A． B． C．1 D．2

【分析】利用两点间距离公式直接求解．

【解答】解：在空间直角坐标系中，点，，到点，0，和点，，的距离相等，

，

解得．

实数的值为．

故选：．

7．（2019秋•朝阳区期末）若向量，，不共面，则下列选项中三个向量不共面的是　　

A． B． 

C． D．

【分析】利用向量共面定理即可判断出结论．

【解答】解：向量，，不共面，

则下列选项中三个向量，与共面，进而得出三个向量共面．

，因此三个向量共面．

．三个向量不共面；

．不含有，三个向量一定共面．

故选：．

8．（2019秋•驻马店期末）已知空间三点，1，，，3，，，5，在一条直线上，则实数的值是　　

A．2 B．4 C． D．

【分析】空间三点，1，，，3，，，5，在一条直线上，可得存在实数，使得，即可得出．

【解答】解：，2，，，4，，

空间三点，1，，，3，，，5，在一条直线上，

则存在实数，使得，

，解得，．

故选：．

9．（2019秋•龙岩期末）在空间直角坐标系中，，为的中点，为空间一点且满足，若，，则　　

A．9 B．7 C．5 D．3

【分析】设，，，，根据题意，得到关于，的方程组，求出，，代入即可．

【解答】解：设，，，，

，，，

由，

，

由，得，

化简得，

以上方程组联立得，

则，，，，，

故选：．

10．（2019秋•百色期末）在正四面体中，，，，为的中点，为的中点，则用，，表示为　　

A． B． 

C． D．

【分析】根据向量加法与减法法则可以直接得到结果．

【解答】解：，

．

故选：．

11．（2019秋•东城区期末）结晶体的基本单位成为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体），其中白点〇代表钠原子，黑点●代表氯原子．建立空间直角坐标系后，图中最上层中心的钠原子所在位置的坐标是　　

A．，， B．，0， C．，， D．，，

【分析】设图中最上层中间的钠原子所在位置为点，以、为相对顶点，作出长方体，分别找出点在轴、轴和轴上射影点及其坐标，即可得出点的坐标．

【解答】解：设图中最上层中间的钠原子所在位置为点，以、为相对顶点，

作出长方体，如图所示：

平面经过点与轴垂直，

点在轴上的射影为点，结合，0，得的横坐标为；

同理可得，点在轴上的射影为点，结合，，得的纵坐标为；

点在轴上的射影为点，结合，0，得的竖坐标为1；

由此可得点的坐标为，，．

故选：．

二．多项选择题

12．（2019秋•苏州期末）已知向量，2，，，0，，，5，，下列等式中正确的是　　

A． B． 

C． D．

【分析】．左边为向量，右边为实数，显然不相等．

．利用向量运算性质、数量积运算性质即可得出．

．利用向量运算性质、数量积运算性质即可得出．

．利用向量运算性质、数量积运算性质即可得出．

【解答】解：．左边为向量，右边为实数，显然不相等，不正确；

．左边，2，，5，，右边，2，，5，，左边右边，因此正确．

．，7，，左边，右边，左边右边，因此正确．

．由可得：左边；，，，，左边右边，因此正确．

综上可得：正确．

故选：．

三．填空题

13．（2018秋•诸暨市期末）已知，1，，，2，，则　　      ，　　．

【分析】，利用数量积运算性质可得．

【解答】解：，2，，1，，1，，

．

故答案为：，1，，．

14．（2019秋•镇海区校级期中）已知向量，，是空间的一组单位正交基底，向量，，是空间的另一组基底，若向量在基底，，下的坐标为，1，，在基底，，下的坐标为，，，则　 　，　　．

【分析】由题意可得：，，利用向量相等即可得出．

【解答】解：由题意可得：，

，

，解得，，．

．

故答案为：1，3．

15．（2019秋•濮阳期末）在空间四边形中，和为对角线，为的重心，是上一点，，以，，为基底，则　　             ．

【分析】把向量放在封闭图形中，根据向量加法的三角形法则和共线向量定理即可求得结果．

【解答】解析：由题意，连接，

则

．

故答案为：

16．（2019秋•未央区校级期末）为空间中任意一点，，，三点不共线，且，若，，，四点共面，则实数　　．

【分析】利用空间向量基本定理，及向量共面的条件，即可得到结论．

【解答】解：由题意得，，且，，，四点共面，

，

故答案为：．

四．解答题

17．（2019秋•阳泉期末）已知向量，4，，，0，，，2，．

（1）若，求；

（2）若，求的值．

【分析】（1）由，可得存在实数使得，可得：，解得；

（2），可得，解得．可得，．

【解答】解：（1），存在实数使得，可得：，解得．

；

（2），，解得．

，2，．

，2，，2，．

18．（2019春•东阳市校级月考）如图，正三棱柱中，底面边长为．

（1）设侧棱长为1，求证：；

（2）设与的夹角为，求侧棱的长．

【分析】（1）推导出，，由平面，为正三角形，得到，．从而，由此能证明．

（2）推导出，．，从而，，由此能求出侧棱长．

【解答】证明：（1），．

因为平面，

所以，．

又为正三角形，

所以，，．

因为

，

，

所以．

解：（2）由（1）知，．

又，

所以，，

所以，

即侧棱长为2．

19．（2020春•杭州期中）在平行六面体中，，，，，．若，，

（1）用基底表示向量；

（2）求向量的长度．

【分析】（1）利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义可得，把已知的条件代入化简可得结果．

（2）利用两个向量的数量积的定义求出基底中每个向量的模以及每两个向量的数量积，由

运算求得结果．

【解答】解：（1）由题意可得，

故．

（2）由条件得，，．，．

．

故．

20．（2019秋•乐山期中）如图，在平行六面体中，，，，，，且点为与的交点，点在线段上，有．

（1）求的长；

（2）将用基向量来进行表示．设，求，，的值．

【分析】（1），利用数量积运算性质即可得出．

（2），再利用平行六面体、空间向量基本定理即可得出．

【解答】解：（1），

，

．

（2）

，

．

21．（2020春•武邑县校级期末）三棱柱中，、分别是、上的点，且，．设，，．

（Ⅰ）试用表示向量；

（Ⅱ）若，，，求的长．

【分析】（Ⅰ）由图形知再用表示出来即可

（Ⅱ）求的长，即求，利用求向量模的方法，求即可求得的长

【解答】解：（Ⅰ）由图形知．

（Ⅱ）由题设条件

，

，．

22．（2019秋•岳麓区校级期末）棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，在棱上，且，是的中点．

（1）证明：．

（2）求．

（3）求的长．

【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，表示出各点的坐标；

（1）利用，证明；

（2）利用空间向量的数量积求出，；

（3）利用空间向量的模长公式计算的值．

【解答】解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示；

则，0，，，1，，，2，，，2，，，2，；

（1），1，，，0，，

，

，

；

（2）由知，，2，，，，，，，，

，

，，

，；

（3）为的中点，，，，，1，，

，，，

，

即的长为．