人教A版高中数学(选择性必修第一册)同步讲义第01讲 1.1.1空间向量及其线性运算（2份打包，原卷版+含解析）

第01讲 1.1.1空间向量及其线性运算知识点01：空间向量的有关概念1、空间向量的有关概念（1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等．（2）几类特殊的空间向量2、空间向量的表示表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法：（1）几何表示法：用有向线段 SKIPIF 1 < 0 来表示， SKIPIF 1 < 0 叫向量的起点， SKIPIF 1 < 0 叫向量的终点；（2）字母表示法：用 SKIPIF 1 < 0 表示．向量 SKIPIF 1 < 0 的起点是 SKIPIF 1 < 0 ，终点是 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 也可以记作 SKIPIF 1 < 0 ，其模记为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .【即学即练1】（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，在平行六面体 SKIPIF 1 < 0 的棱中，与向量 SKIPIF 1 < 0 模相等的向量有______个.【答案】7【详解】与 SKIPIF 1 < 0 模长相等的向量有： SKIPIF 1 < 0 共有7个.故答案为：7知识点02：空间向量的加法、减法运算1、空间向量的位置：已知空间向量 SKIPIF 1 < 0 ，可以把它们平移到同一平面 SKIPIF 1 < 0 内，以任意点 SKIPIF 1 < 0 为起点，作向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 叫做向量 SKIPIF 1 < 0 的和．记作 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量 SKIPIF 1 < 0 叫做 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 差，记作 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 4、空间向量的加法运算律（1）加法交换律： SKIPIF 1 < 0 （2）加法结合律： SKIPIF 1 < 0 【即学即练2】（2023秋·浙江台州·高二期末）如图，在平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中，E是 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 （    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【答案】A【详解】 SKIPIF 1 < 0 ．故选：A.知识点03：空间向量的数乘运算1、定义：与平面向量一样，实数 SKIPIF 1 < 0 与空间向量 SKIPIF 1 < 0 的乘积 SKIPIF 1 < 0 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．2：数乘向量 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 的关系3、对数乘向量 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 的关系的进一步理解：（1）可以把向量 SKIPIF 1 < 0 模扩大（当 SKIPIF 1 < 0 时），也可缩小（当 SKIPIF 1 < 0 时）；可以不改变向量 SKIPIF 1 < 0 的方向（当 SKIPIF 1 < 0 时），也可以改变向量 SKIPIF 1 < 0 的方向（当 SKIPIF 1 < 0 时）．（2）实数与向量的积的特殊情况：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 没有意义，无法运算．【即学即练3】（2023春·高一课时练习）如图，已知四棱柱 SKIPIF 1 < 0 的底面 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，E为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 交于点M，则 SKIPIF 1 < 0 ＝________.【答案】 SKIPIF 1 < 0 【详解】由题可设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， 所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为M，E，F，G四点共面，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .知识点04：共线向量与共面向量1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是共线向量，则记为 SKIPIF 1 < 0 ．在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点：（1）零向量和空间任一向量是共线向量．（2）共线向量不具有传递性，如 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 不一定成立，因为当 SKIPIF 1 < 0 时，虽然 SKIPIF 1 < 0 ，但 SKIPIF 1 < 0 不一定与 SKIPIF 1 < 0 共线（特别注意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与任何向量共线）．2、共线向量定理：对空间任意两个向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的充要条件是存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ．2.1共线向量定理推论：如果 SKIPIF 1 < 0 为经过点 SKIPIF 1 < 0 平行于已知非零向量 SKIPIF 1 < 0 的直线,那么对于空间任一点 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上的充要条件是存在实数 SKIPIF 1 < 0 ,使 SKIPIF 1 < 0 ①，若在 SKIPIF 1 < 0 上取 SKIPIF 1 < 0 ，则①可以化作： SKIPIF 1 < 0 2.2拓展(高频考点）：对于直线外任意点 SKIPIF 1 < 0 ，空间中三点 SKIPIF 1 < 0 共线的充要条件是 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．3.1共面向量定理：如果两个向量 SKIPIF 1 < 0 不共线，那么向量 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 3.2空间共面向量的表示如图空间一点 SKIPIF 1 < 0 位于平面 SKIPIF 1 < 0 内的充要条件是存在有序实数对 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ．或者等价于：对空间任意一点 SKIPIF 1 < 0 ，空间一点 SKIPIF 1 < 0 位于平面 SKIPIF 1 < 0 内（ SKIPIF 1 < 0 四点共面）的充要条件是存在有序实数对 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，该式称为空间平面 SKIPIF 1 < 0 的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．3.3拓展对于空间任意一点 SKIPIF 1 < 0 ，四点 SKIPIF 1 < 0 共面（其中 SKIPIF 1 < 0 不共线）的充要条件是 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ）．【即学即练4】（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 为空间任意一点， SKIPIF 1 < 0 四点共面，但任意三点不共线．如果 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（    ）A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】A【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 为空间任意一点， SKIPIF 1 < 0 满足任意三点不共线，且四点共面，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.题型01 空间向量的有关概念 【典例1】（2023春·高二课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 为三维空间中的非零向量，下列说法不正确的是（　　）A．与 SKIPIF 1 < 0 共面的单位向量有无数个B．与 SKIPIF 1 < 0 垂直的单位向量有无数个C．与 SKIPIF 1 < 0 平行的单位向量只有一个D．与 SKIPIF 1 < 0 同向的单位向量只有一个【典例2】（2023春·高二课时练习）给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；③在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，必有 SKIPIF 1 < 0 ；④若空间向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．其中正确的个数为（    ）．A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【变式1】（2023春·高二课时练习）下列命题中为真命题的是（    ）A．空间向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的长度相等B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C．空间向量就是空间中的一条有向线段D．不相等的两个空间向量的模必不相等【变式2】（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，已知 SKIPIF 1 < 0 为平行六面体，若以此平行六面体的顶点为向量的起点、终点，求：（1）与 SKIPIF 1 < 0 相等的向量；  （2）与 SKIPIF 1 < 0 相反的向量；  （3）与 SKIPIF 1 < 0 平行的向量．题型02 空间向量加减运算及几何表示 【典例1】（2023秋·湖南湘潭·高二校联考期末）已知在空间四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【典例2】（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）正方体 SKIPIF 1 < 0 中，化简 SKIPIF 1 < 0 （    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【变式1】（2023春·安徽亳州·高二统考开学考试）在长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 （    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【变式2】（2023秋·北京大兴·高二统考期末）空间向量 SKIPIF 1 < 0 （    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 题型03空间向量的共线定理（空间向量共线的判定）【典例1】（2023·江苏·高二专题练习）如图，四边形 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 都是平行四边形且不共面， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 的中点，判断 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是否共线？【变式1】（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在体对角线 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ．求证： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线．题型04空间向量的共线定理（由空间向量共线求参数）【典例1】（2023春·江苏南京·高二南京市第一中学校考阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 是空间的一个基底，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C．3 D． SKIPIF 1 < 0 【典例2】（2023春·高二课时练习）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是两个不共线的空间向量，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为______.【变式1】（2023春·高二课时练习）设 SKIPIF 1 < 0 是空间两个不共线的非零向量，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且A， B， D三点共线，求实数k的值．【变式2】（2023春·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校考阶段练习）设 SKIPIF 1 < 0 是空间中两个不共线的向量，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 三点共线，则实数 SKIPIF 1 < 0 ______．．题型05空间向量共面（空间向量共面的判定）【典例1】（多选）（2023秋·江西吉安·高二井冈山大学附属中学校考期末）空间四点 SKIPIF 1 < 0 及空间任意一点 SKIPIF 1 < 0 ，由下列条件一定可以得出 SKIPIF 1 < 0 四点共面的有（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【典例2】（2023春·高二课时练习）设空间任意一点 SKIPIF 1 < 0 和不共线的三点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 满足向量关系 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ），试问： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四点是否共面？【变式1】（2023春·高一课时练习）下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【变式2】（2023秋·高二课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 是不共面向量， SKIPIF 1 < 0 ，证明这三个向量共面.题型06空间向量共面（由空间向量共面求参数）【典例1】（2023春·高一课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 三点不共线， SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 外任意一点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 四点共面的充要条件是（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【典例2】（2023春·高二课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 为空间中一点， SKIPIF 1 < 0 四点共面且任意三点不共线，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为______．【变式1】（2023春·高二课时练习）如图,平面 SKIPIF 1 < 0 内的小方格均为正方形,点 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 内的一点, SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 外一点,设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的值为（    ）A．1 B． SKIPIF 1 < 0  C．2 D． SKIPIF 1 < 0 【变式2】（2023秋·湖北黄冈·高二统考期末） SKIPIF 1 < 0 是空间向量的一组基底， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，已知点 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内，则 SKIPIF 1 < 0 ______.题型07空间向量共面（推论及其应用）【典例1】（2023春·江苏淮安·高二校联考期中）已知 SKIPIF 1 < 0 三点不共线， SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 外任意一点，若由 SKIPIF 1 < 0 确定的一点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 三点共面，则 SKIPIF 1 < 0 等于（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【典例2】（2023春·高一课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 为空间中任意一点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为_________.【变式1】（2023秋·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，M是平面ABC上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0  （    ）A．1 B．2 C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【变式2】（2022秋·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）已知点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 确定的平面内， SKIPIF 1 < 0 是空间任意一点，实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C．1 D．2题型08空间向量数乘运算及几何表示【典例1】（2023秋·新疆昌吉·高二校考期末）已知正方体 SKIPIF 1 < 0 ，点E是 SKIPIF 1 < 0 的中点，点F是 SKIPIF 1 < 0 的三等分点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（    ）．A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【典例2】（2023春·高二课时练习）如图，已知 SKIPIF 1 < 0 为空间的9个点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .求证：（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .【变式1】（2023春·云南迪庆·高二迪庆藏族自治州民族中学校考阶段练习）在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，D是四边形 SKIPIF 1 < 0 的中心，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【变式2】（2023秋·北京·高二中央民族大学附属中学校考期末）在平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中，点M满足 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，则下列向量中与 SKIPIF 1 < 0 相等的是（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 1.1.1空间向量及其线性运算A夯实基础 B能力提升 C综合素养A夯实基础 一、单选题1．（2023秋·高二课时练习）当 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 不共线时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系是（    ）A．共面 B．不共面 C．共线 D．无法确定2．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）如图，在长方体 SKIPIF 1 < 0 中，化简 SKIPIF 1 < 0 （    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 3．（2023秋·河北石家庄·高二石家庄二十三中校考期末）如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则 SKIPIF 1 < 0 等于（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 4．（2023秋·江西吉安·高二江西省万安中学校考期末）已知在长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （    ）A．3 B．2 C．1 D． SKIPIF 1 < 0 5．（2023秋·山东威海·高二统考期末）在平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中，点E满足 SKIPIF 1 < 0 ，则（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 6．（2023·全国·高二专题练习）已知点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 确定的平面内， SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 外任意一点，实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C．1 D．27．（2023·江苏·高二专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 为空间任一点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四点满足任意三点不共线，但四点共面，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（    ）A．1 B． SKIPIF 1 < 0  C．2 D． SKIPIF 1 < 0 8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点，过 SKIPIF 1 < 0 的平面 SKIPIF 1 < 0 分别交棱 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 （不同于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ）， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是棱 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上的动点，则下列命题错误的是（    ）A．存在平面 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 B．存在平面 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 C．对任意的平面 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 平分线段 SKIPIF 1 < 0 D．对任意的平面 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 平分线段 SKIPIF 1 < 0 二、多选题9．（2023春·高二课时练习）下列说法错误的是（    ）A．空间的任意三个向量都不共面B．空间的任意两个向量都共面C．三个向量共面，即它们所在的直线共面D．若三向量两两共面，则这三个向量一定也共面10．（2023·全国·高二专题练习）下列命题中正确的是（    ）A．若 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 共线的必要条件C． SKIPIF 1 < 0 三点不共线，对空间任一点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 四点共面D．若 SKIPIF 1 < 0 为空间四点，且有 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 不共线），则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 三点共线的充要条件三、填空题11．（2023·全国·高二专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 是不共面向量， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 三个向量共面，则实数 SKIPIF 1 < 0 ______.12．（2023·江苏·高二专题练习）已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由 SKIPIF 1 < 0 确定的一点P与A，B，C三点共面，则 SKIPIF 1 < 0 _________．四、解答题13．（2023·江苏·高二专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为空间的 SKIPIF 1 < 0 个点（如图所示），并且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．求证： SKIPIF 1 < 0 ．14．（2023春·高二课时练习）如图所示，已知矩形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 外一点，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求满足 SKIPIF 1 < 0 的实数 SKIPIF 1 < 0 的值．B能力提升 1．（2023春·江苏淮安·高二淮阴中学校联考阶段练习）四面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 2．（2023春·高二课时练习）已知长方体 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，M是 SKIPIF 1 < 0 的中点，点P满足 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D．23．（2023春·高二课时练习）在正三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点P满足 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则三角形 SKIPIF 1 < 0 周长最小值是___________.C综合素养1．（多选）（2023春·高二课时练习）如图，在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，P为空间一点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（　　）A．当 SKIPIF 1 < 0 时，点P在棱 SKIPIF 1 < 0 上 B．当 SKIPIF 1 < 0 时，点P在棱 SKIPIF 1 < 0 上C．当 SKIPIF 1 < 0 时，点P在线段 SKIPIF 1 < 0 上 D．当 SKIPIF 1 < 0 时，点P在线段 SKIPIF 1 < 0 上2．（2023·全国·高三专题练习）如图所示的平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为__；若 SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为__．3．（2023·江苏·高二专题练习）如图，在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 任意作一个平面分别交线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 为定值，并求出该定值.课程标准学习目标①理解空间向量的概念，空间向量的共线定理、共面定理及推论.②会进行空间向量的线性运算，空间向量的数量积，空间向量的夹角的相关运算.1．理解空间向量的相关概念的基础上进行与向量的加、减运算、数量积的运算、夹角的相关运算及空间距离的求解.2．利用空间向量的相关定理及推论进行空间向量共线、共面的判断.名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为 SKIPIF 1 < 0 单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量 SKIPIF 1 < 0 长度相等而方向相反的向量，称为 SKIPIF 1 < 0 的相反向量，记为 SKIPIF 1 < 0 相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量 SKIPIF 1 < 0 的范围 SKIPIF 1 < 0 的方向 SKIPIF 1 < 0 的模 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 的方向相同 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，其方向是任意的 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 的方向相反