人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线同步测试题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线同步测试题，文件包含32双曲线原卷版docx、32双曲线解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共54页， 欢迎下载使用。

思维导图








新课标要求


了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质。





知识梳理


1．平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．


2．双曲线的标准方程


3.双曲线的简单几何性质


4.直线与双曲线的位置关系及判定


直线：Ax＋By＋C＝0，


双曲线：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，


两方程联立消去y，得mx2＋nx＋q＝0.


则直线与双曲线的位置关系如下表：





名师导学


知识点1 双曲线定义的应用


【例1-1】(1)动点P到点M(－1,0)，N(1,0)的距离之差等于2，则动点P的轨迹是( )


A．双曲线 B．双曲线的一支


C．两条射线 D．一条射线


(2)若方程eq \f(x2,5－k)＋eq \f(y2,k－3)＝1表示双曲线，则k的取值范围是( )


A．(5，＋∞) B．(－∞，3)


C．(3,5) D．(－∞，3)∪(5，＋∞)


【变式训练1-1】(1)(2019·马鞍山高二测试)已知点P的坐标满足eq \r(x－12＋y－12)－eq \r(x＋32＋y＋32)＝4，则动点P的轨迹是( )


A．双曲线 B．双曲线的一支


C．两条射线 D．一条射线


(2)若动点P到F1(－5,0)与F2(5,0)的距离的差为±8，则P点的轨迹方程是( )


A.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1 B．eq \f(x2,25)－eq \f(y2,16)＝1


C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1 D．eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1





知识点2 求双曲线的标准方程


【例2-1】求适合下列条件的双曲线的标准方程．


(1)焦点在x轴上，a＝3，c＝5；


(2)与椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,5)＝1有共同焦点，且过点(3eq \r(2)，eq \r(2))的双曲线的标准方程；


(3)经过两点(3，－4eq \r(2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)，5)).
























































【变式训练2-1】已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,9)＝1(a>0)与双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1有相同的焦点，则a的值为( )


A.eq \r(2) B．eq \r(10)


C．4 D．eq \r(34)





知识点3 双曲线定义及其标准方程的应用


【例3-1】如图所示，若F1，F2是双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的两个焦点．


(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；


(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．






































【变式训练3-1】已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．


(1)求双曲线的标准方程；


(2)若点M在双曲线上，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6eq \r(3)，试判断△MF1F2的形状．















































知识点4 双曲线的简单几何性质


【例4-1】求双曲线4y2－9x2＝－4的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出该双曲线的草图．























【变式训练4-1】(2019·北京卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是________．





知识点5 利用双曲线的性质求双曲线的标准方程


【例5-1】根据下列条件，求双曲线的标准方程．


(1)焦点在y轴上，实轴长为10，离心率为eq \f(12,5)；


(2)焦距为10，实轴长是虚轴长的2倍；


(3)与双曲线eq \f(y2,3)－x2＝1共渐近线，焦点坐标为(±2,0)．


















































【变式训练5-1】求适合下列条件的双曲线的标准方程．


(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为eq \f(5,3)；


(2)两顶点间的距离为6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分．





















































知识点6 双曲线的离心率问题


【例6-1】(1)设F1，F2分别为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，双曲线上存在一点P使得(|PF1|－|PF2|)2＝b2－3ab，则该双曲线的离心率为( )


A.eq \r(2) B．eq \r(15)


C．4 D．eq \r(17)


(2)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是______________．


【变式训练6-1】(1)(2019·北京卷)已知双曲线eq \f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的离心率是eq \r(5)，则a＝( )


A.eq \r(6) B．4 C．2 D．eq \f(1,2)


(2)(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则双曲线C的离心率为( )


A．2sin 40° B．2cs 40°


C.eq \f(1,sin 50°) D．eq \f(1,cs 50°)


知识点7 直线与双曲线的位置关系


【例7-1】已知过点P(0,1)的直线l与双曲线x2－eq \f(y2,4)＝1只有一个公共点，求直线l的斜率k的值．





























【变式训练7-1】 (2019·龙岩一中月考)斜率为2的直线l过双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，且与双曲线的左、右两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是( )


A．[2，＋∞) B．(1，eq \r(3))


C．(1，eq \r(5)) D．(eq \r(5)，＋∞)





知识点8 弦长问题


【例8-1】(2019·福州检测)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \r(5)，虚轴长为4.


(1)求双曲线的标准方程；


(2)过点(0,1)，倾斜角为45°的直线l与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积．

















【变式训练8-1】已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.


(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；


(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为eq \r(2)，求实数k的值．

















知识点9 中点弦问题


【例9-1】(2019·吉林实验中学检测)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \r(3)，且eq \f(a2,c)＝eq \f(\r(2),3).


(1)求双曲线C的方程；


(2)已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B且线段AB的中点P在圆x2＋y2＝5上，求m的值．




















【变式训练9-1】双曲线C：x2－y2＝2右支上的弦AB过右焦点F.


(1)求弦AB的中点M的轨迹方程；


(2)是否存在以AB为直径的圆过原点O？若存在，求出直线AB的斜率k的值．若不存在，则说明理由．










































































名师导练


3.2.1 双曲线及其标准方程


A组-[应知应会]


1．双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,m)＝1的焦距为10，则实数m的值为( )


A．4 B．16


C．－16 D．81


2．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )


A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，0)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)，0)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)，0)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，0))


3．若M在双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)＝1上，双曲线的两个焦点分别为F1，F2，且|MF1|＝3|MF2|，则|MF1|的值为( )


A．4 B．8 C．12 D．24


4．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，P点在双曲线C上，∠F1PF2＝60°，则P到x轴的距离为( )


A.eq \f(\r(3),2) B．eq \f(\r(6),2) C.eq \r(3) D．eq \r(6)


5．已知点M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN相切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则点P的轨迹方程为( )


A．x2－eq \f(y2,8)＝1(x>1) B．x2－eq \f(y2,8)＝1(x<－1)


C．x2＋eq \f(y2,8)＝1(x>0) D．x2－eq \f(y2,10)＝1(x>1)


6．已知点F1(－eq \r(2)，0)，F2(eq \r(2)，0)，动点P满足|PF2|－|PF1|＝2，当点P的纵坐标为eq \f(1,2)时，点P到坐标原点的距离是( )


A.eq \f(\r(6),2) B．eq \f(3,2) C.eq \r(3) D．2


7．已知P是双曲线eq \f(x2,64)－eq \f(y2,36)＝1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|＝17，则|PF2|的值为________．


8．中心在原点，实轴在y轴上，一个焦点为直线3x－4y＋24＝0与坐标轴的交点的等轴双曲线方程是________．


9．已知定点A，B，且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为________．


10．(2019·马鞍山测试)已知△ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x2＋5y2＝5的左，右焦点，且三角形三内角A，B，C满足sin B－sin A＝eq \f(1,2)sin C.


(1)求|AB|；


(2)求顶点C的轨迹方程．





























11．求适合下列条件的双曲线的标准方程：


(1)a＝2eq \r(5)，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上；


(2)与椭圆eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,36)＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4.


























12．已知椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1与双曲线eq \f(y2,15)－x2＝1有公共点P，求P与双曲线的两个焦点的连线构成的三角形的面积．











B组-[素养提升]


(2019·广州模拟)若椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1与双曲线eq \f(x2,p)－eq \f(y2,q)＝1(m，n，p，q均为正数)有共同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则|PF1|·|PF2|等于( )


A．p2－m2 B．p－m


C．m－p D．m2－p2


3.2.2 双曲线的简单几何性质


A组-[应知应会]


1．(2019·大庆市模拟)已知双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1，则该双曲线的渐近线方程为( )


A．9x±4y＝0 B．4x±9y＝0


C．3x±2y＝0 D．2x±3y＝0


2．双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \r(3)，则其渐近线方程为( )


A．y＝±eq \r(2)x B．y＝±eq \r(3)x


C．y＝±eq \f(\r(2),2)x D．y＝±eq \f(\r(3),2)x


3．(2019·淮北市第一中学月考)F1，F2分别是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A，B两点，若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )


A.eq \r(2) B．eq \r(3) C.eq \r(5) D．eq \r(7)


4．已知双曲线eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的一条渐近线的交点为(4,3)，则此双曲线的方程为( )


A.eq \f(y2,9)－eq \f(x2,16)＝1 B．eq \f(y2,4)－eq \f(x2,3)＝1


C.eq \f(y2,16)－eq \f(x2,9)＝1 D．eq \f(y2,3)－eq \f(x2,4)＝1


5．点P在双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上，F1，F2是这条双曲线的两个焦点，∠F1PF2＝90°，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是( )


A．2 B．3


C．4 D．5


6．设F1，F2分别是双曲线M：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线M交于A，B两点，若点F2满足eq \(F2A,\s\up6(→))·eq \(F2B,\s\up6(→))<0，则双曲线的离心率e的取值范围是( )


A．1eq \r(2)＋1


C．1eq \r(2)


7．若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,4)＝1(a>0)的离心率为eq \f(\r(5),2)，则a＝________.


8．已知双曲线C1：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)与双曲线C2：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,16)＝1有相同的渐近线，且C1的右焦点F(eq \r(5)，0)，则a＝________，b＝________.


9．设双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)经过点(4,1)，且与y2－eq \f(x2,4)＝1具有相同渐近线，则C的方程为________；渐近线方程为______________．


10．求满足下列条件的双曲线的标准方程．


(1)已知双曲线的一条渐近线方程为x－eq \r(3)y＝0，且与椭圆x2＋4y2＝64共焦点；


(2)与双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1有共同渐近线，且经过点(－3，2eq \r(3))．






































11．(1)已知双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(3,4)x，求双曲线的离心率；


(2)双曲线的离心率为eq \r(2)，求双曲线的两渐近线的夹角．


















































12．设双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(b>a>0)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，且原点到直线l的距离为eq \f(\r(3),4)c，求双曲线的离心率．


















































B组-[素养提升]


(2019·全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则双曲线C的离心率为( )


A.eq \r(2) B．eq \r(3)


C．2 D．eq \r(5)


3.2.3 直线与双曲线的位置关系


A组-[应知应会]


1．(2019·哈尔滨三中二模)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线经过圆E：x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心，则双曲线C的离心率为( )


A.eq \r(5) B．eq \f(\r(5),2)


C．2 D．eq \r(2)


2．过双曲线x2－eq \f(y2,2)＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l有( )


A．1条 B．2条


C．3条 D．4条


3．(2019·龙岩一中月考)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个顶点分别为A，B，点P为双曲线上除A，B外任意一点，且点P与点A，B连线的斜率分别为k1、k2，若k1k2＝3，则双曲线的渐近线方程为( )


A．y＝±x B．y＝±eq \r(2)x


C．y＝±eq \r(3)x D．y＝±2x


4．若圆(x－eq \r(3))2＋(y－1)2＝3与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线相切，则此双曲线的离心率为( )


A.eq \f(2\r(3),3) B．eq \f(\r(7),2)


C．2 D．eq \r(7)


5．若斜率存在且过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(b,a)))的直线l与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)有且仅有一个公共点，且这个公共点恰是双曲线的左顶点，则双曲线的实轴长等于( )


A．2 B．4


C．1或2 D．2或4


6．已知直线y＝eq \f(1,2)x与双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1交于A，B两点，P为双曲线上不同于A，B的点，当直线PA，PB的斜率kPA，kPB存在时，kPA·kPB＝( )


A.eq \f(4,9) B．eq \f(1,2)


C.eq \f(2,3) D．与P点位置有关


7．已知直线l：y＝kx与双曲线4x2－y2＝16，若直线l与双曲线有两个公共点，则实数k的取值范围是________．


8．(2019·北京西城区二模)双曲线C：eq \f(y2,9)－eq \f(x2,16)＝1的焦距是________；若圆(x－1)2＋y2＝r2(r>0)与双曲线C的渐近线相切，则r＝________.


9．(2019·吉林实验中学期中)已知直线y＝eq \f(\r(3),3)x－2与双曲线eq \f(x2,12)－eq \f(y2,3)＝1的右支交于A，B两点，且在双曲线的右支上存在点C，使eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝teq \(OC,\s\up6(→))，则t的值________．


10．已知双曲线eq \f(x2,3)－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的右焦点为(2,0)．


(1)求双曲线的方程；


(2)求双曲线的渐近线与直线x＝－2围成的三角形的面积．












































11．(2019·平顶山期末调研)已知双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x，右焦点坐标为(2,0)，O为坐标原点．


(1)求双曲线C的标准方程；


(2)若直线l：y＝kx＋eq \r(2)与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))>0，试求实数k的取值范围．
































12．已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点．


(1)求线段|AB|的长；


(2)当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？












































B组-[素养提升]


(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点．若eq \(F1A,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(F1B,\s\up6(→))·eq \(F2B,\s\up6(→))＝0，则双曲线C的离心率为________．


焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1


(a＞0，b＞0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1


(a＞0，b＞0)
焦点坐标
(±c,0)
(0，±c)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1


(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1


(a>0，b>0)
范围
x≤－a或x≥a
y≥a或y≤－a
顶点
(－a,0)，(a,0)
(0，a)，(0，－a)
轴长
虚轴长＝2b，实轴长＝2a
焦点
(－c,0)，(c,0)
(0，－c)，(0，c)
焦距
2c
对称性
对称轴为坐标轴，对称中心为坐标原点
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(1，＋∞)
渐近线
y＝eq \f(b,a)x，y＝－eq \f(b,a)x
y＝eq \f(a,b)x，y＝－eq \f(a,b)x
位置关系
公共点个数
判定方法
相交
2个或1个
m＝0或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≠0,Δ＞0))
相切
1个
m≠0且Δ＝0
相离
0个
m≠0且Δ＜0