





人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.3 空间向量及其运算的坐标表示达标测试
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新课标要求
①了解空间向量基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。
②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。
③掌握空间向量的数量积及其坐标表示。
知识梳理
1.空间向量运算的坐标表示
若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则:
(1)a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);
(2)a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3);
(3)λa=(λa1,λa2,λa3)(λ∈R);
(4)a·b=a1b1+a2b2+a3b3;
(5)a∥b ⇔a=λb⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R);
(6)a⊥b⇔a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0;
(7)|a|=eq \r(a·a)= eq \r(a\\al(2,1)+a\\al(2,2)+a\\al(2,3));
(8)cs〈a,b〉=eq \f(a·b,|a||b|)=eq \f(a1b1+a2b2+a3b3,\r(a\\al(2,1)+a\\al(2,2)+a\\al(2,3))·\r(b\\al(2,1)+b\\al(2,2)+b\\al(2,3))) .
2.空间中向量的坐标及两点间的距离公式
在空间直角坐标系中,设A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2),则:
(1)eq \(AB,\s\up6(→))=(a2-a1,b2-b1,c2-c1);
(2)dAB=|eq \(AB,\s\up6(→))|= eq \r(a2-a12+b2-b12+c2-c12) .
名师导学
知识点1 空间直角坐标系
【例1-1】(2019秋•武汉期末)点,2,关于平面对称的点的坐标是
A.,2,B.,,C.,2,D.,,
【分析】点,2,关于平面对称的点,即,不变,变为相反数.
【解答】解:点,2,关于平面对称的点,
即,不变,变为相反数,
点,2,关于平面对称的点的坐标是,,.
故选:.
【变式训练1-1】(2019秋•河南月考)在空间直角坐标系中,点,,关于轴对称的点为
A.,,B.,,C.,2,D.,2,
【分析】空间直角坐标系中,点关于轴对称,则值不变,和的值改变符号.
【解答】解:空间直角坐标系中,点,,关于轴对称的点为,,.
故选:.
知识点2 空间向量的坐标运算
【例2-1】(2019秋•钦州期末)已知,2,,,,,则等于
A.,,B.,0,C.,0,D.,0,
【分析】利用向量坐标运算性质即可得出.
【解答】解:,2,,,,0,,
故选:.
【例2-2】(2019·济南模拟)已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=eq \(AB,\s\up6(→)),b=eq \(AC,\s\up6(→)).
(1)求a与b夹角的余弦值;
(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k的值;
(3)设|c|=3,c∥eq \(BC,\s\up6(→)),求c.
【分析】对于(1)直接套两向量的夹角公式即可;对于(2)将向量垂直,转化为数量积为0求解;对于(3)利用共线向量求解.
【解答】 (1)∵a=eq \(AB,\s\up6(→))=(1,1,0),b=eq \(AC,\s\up6(→))=(-1,0,2),
∴a·b=1×(-1)+1×0+0×2=-1,|a|=eq \r(2),|b|=eq \r(5),cs〈a,b〉=eq \f(a·b,|a||b|)=-eq \f(\r(10),10).
(2)ka+b=k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2),
ka-2b=k(1,1,0)-2(-1,0,2)=(k+2,k,-4).
∵(ka+b)⊥(ka-2b),
∴(k-1)(k+2)+k2-8=0,
即2k2+k-10=0,得k=2或k=-eq \f(5,2).
(3)∵c∥eq \(BC,\s\up6(→)),又eq \(BC,\s\up6(→))=(-2,-1,2),
∴设c=(-2λ,-λ,2λ),又|c|=3,
∴(-2λ)2+(-λ)2+(2λ)2=9,得λ=±1.
∴c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2).
【变式训练2-1】(2019·菏泽期末模拟)已知a=(2,-1,3),b=(0,-1,2).求:
(1)a+b;
(2)2a-3b;
(3)a·b;
(4)(a+b)·(a-b).
【分析】利用空间向量坐标运算公式计算即可.
【解答】(1)∵a=(2,-1,3),b=(0,-1,2).
∴a+b=(2+0,-1-1,3+2)=(2,-2,5).
(2)2a-3b=2(2,-1,3)-3(0,-1,2)=(4,-2,6)+(0,3,-6)=(4,1,0).
(3)a·b=(2,-1,3)·(0,-1,2)=2×0+(-1)×(-1)+3×2=7.
(4)∵|a|=eq \r(22+-12+32)=eq \r(14),
|b|=eq \r(02+-12+22)=eq \r(5),
∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=14-5=9.
【变式训练2-2】(20120·烟台期末)已知A(1,0,0),B(0,-1,1),若eq \(OA,\s\up6(→))+λeq \(OB,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))(O为坐标原点)的夹角为120°,则λ的值为( )
A.eq \f(\r(6),6) B.-eq \f(\r(6),6)
C.±eq \f(\r(6),6) D.±eq \r(6)
【分析】利用向量数量积的计算公式变形和已知条件,将坐标带代入计算即可.
【解答】∵eq \(OA,\s\up6(→))+λeq \(OB,\s\up6(→))=(1,-λ,λ),eq \(OB,\s\up6(→))=(0,-1,1),
∴cs 120°=eq \f(\(OA,\s\up6(→))+λ\(OB,\s\up6(→))·\(OB,\s\up6(→)),|\a\vs4\al(\(OA,\s\up6(→))+λ\(OB,\s\up6(→))||\(OB,\s\up6(→))|))=eq \f(2λ,\r(2λ2+1)×\r(2))=-eq \f(1,2),可得λ<0,解得λ=-eq \f(\r(6),6).
知识点3 空间两点间的距离
【例3-1】(2019·淄博调研)已知△ABC的三个顶为A(3,3,2),B(4,-3,7),C(0,5,1),则BC边上的中线长为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
【分析】先求出BC中点D的坐标,再代入两点间距离公式即可计算.
【解答】∵B(4,-3,7),C(0,5,1),
∴BC边上的中点D(2,1,4).又A(3,3,2),
∴|AD|= eq \r(2-32+1-32+4-22)=3.
【变式训练3-1】(2019秋•温州期中)点,2,是空间直角坐标系中的一点,点关于轴对称的点的坐标为 , .
【分析】点,,关于轴对称的点的坐标为,,,利用两点间距离公式能求出.
【解答】解:点,2,是空间直角坐标系中的一点,
点关于轴对称的点的坐标为,,,
.
故答案为:,,,
名师导练
A组-[应知应会]
1.(2019秋•安徽期末)空间直角坐标系中,点,,关于点,2,的对称点的坐标为
A.,1,B.,5,C.,,D.,3,
【分析】利用对称的性质和中点坐标公式直接求解.
【解答】解:设空间直角坐标系中,点,,关于点,2,的对称点的坐标为,,,
则,解得,,,
点坐标为,5,.
故选:.
2.(2019秋•金牛区校级期中)点,2,关于平面的对称点为
A.,,B.,2,C.,,D.,2,
【分析】根据点,,关于平面的对称点为,,,写出即可.
【解答】解:点,2,关于平面的对称点为,2,.
故选:.
3.(2019春•东阳市校级月考)已知点,,,则点关于原点的对称点坐标为
A.,2,B.,2,C.,,D.,2,
【分析】点,,关于原点对称的点的坐标为,,.
【解答】解:点,,,
点关于原点的对称点坐标为,2,.
故选:.
4.(2019秋•茂名期末)已知向量及则等于
A.,1,B.,5,C.,,D.,,
【分析】根据空间向量的坐标运算,求和即可.
【解答】解:由向量,,
所以,1,.
故选:.
5.(2019春•高安市校级期末)已知空间向量
A.B.C.2D.0
【分析】利用空间向量运算法则、向量相等的性质直接求解.
【解答】解:空间向量,,,,1,,,0,,,
,,,0,,
,解得,,,
.
故选:.
6.(2019秋•丰台区期末)已知,3,,,5,,那么向量
A.,,B.,2,C.,8,D.,15,
【分析】利用向量即可得出.
【解答】解:向量,5,,3,,2,,
故选:.
7.(多选)(2019秋•三明期末)如图,在长方体中,,,,以直线,,分别为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系,则
A.点的坐标为,5,
B.点关于点对称的点为,8,
C.点关于直线对称的点为,5,
D.点关于平面对称的点为,5,
【分析】利用空间点的对称性即可得出.
【解答】解:由图形及其已知可得:点的坐标为,5,,点,5,关于点对称的点为,5,,
点关于直线对称的点为,5,,
点,5,关于平面对称的点为,5,.
因此正确.
故选:.
8.(2019秋•公安县期末)在空间直角坐标系中,已知两点,1,与,,关于坐标平面对称,则 .
【分析】根据空间直角坐标系坐标的对称的结论:点,,关于平面对称的点坐标为,,,可知答案.
【解答】解:在空间直角坐标系中,
两点,1,与,,关于坐标平面对称,
,,
.
故答案为:.
9.(2019秋•温州期末)在平面直角坐标系中,点关于轴的对称点为,那么,在空间直角坐标系中,,2,关于轴的对称轴点坐标为 ,若点,,关于平面的对称点为点,则 .
【分析】在空间直角坐标系中,,2,关于轴的对称轴点坐标为横坐标不变,纵坐标和竖坐标变为原不的相反数,若点,,关于平面的对称点为点,横、纵坐标均不变,竖坐标变为原不的相反数,再由两点间距离公式能求出.
【解答】解:在空间直角坐标系中,,2,关于轴的对称轴点坐标为,,,
若点,,关于平面的对称点为点,
则,,,
.
故答案为:,,,.
10.(2019秋•浙江期中)空间直角坐标系中,点,,关于轴的对称点坐标是 ; .
【分析】根据空间直角坐标系中,点,,关于轴的对称点坐标是,,;
以及两点间的距离公式,计算即可.
【解答】解:空间直角坐标系中,点,,关于轴的对称点坐标是,1,;
.
故答案为:,1,,.
11.(2019秋•兴庆区校级期末)已知,,,,0,,,0,,则 .
【分析】进行向量坐标的加法和数乘运算即可.
【解答】解:,0,,,.
故答案为:,,.
12.(2019秋•辽阳期末)已知向量,,则 .
【分析】利用空间向量坐标运算法则直接求解.
【解答】解:,,
,1,.
故答案为:,1,.
13.(2019秋•越秀区期末)已知点,2,和向量,4,,若,则点的坐标是 .
【分析】设,,,由向量坐标运算法则和向量相等的定义得,,,8,,由此能求出点坐标.
【解答】解:点,2,和向量,4,,,
设,,,则,,,8,,
解得,,,
点的坐标,10,.
故答案为:,10,.
14.(2019秋•黄浦区校级月考)已知向量,则
【分析】先利用向量坐标运算法则求出,由此能求出.
【解答】解:向量,
,3,,
.
故答案为:13.
15.(2018秋•青铜峡市校级月考)已知点,关于点,2,的对称点分别为,,若,3,,,1,,求点的坐标.
【分析】由题意可知,且是线段和的中点,根据向量坐标运算性质即可得出.
【解答】解:由题意可知,且是线段和的中点,
设,,,则
所以,解得.
点的坐标为,2,.
16.(2019秋•福建期中)已知空间三点,2,,,1,,,0,
(1)求向量的夹角的余弦值,
(2)若向量垂直,求实数的值.
【分析】(1),,,,,,计算可得.
(2)向量垂直,可得,即可得出.
【解答】解:(1),,,,,,
,.
.
.
(2)向量垂直,
,
,
解得.
17.(2019秋•扶余县校级月考)(Ⅰ)设向量,5,,,0,,,0,,求:、.
(Ⅱ)已知点,,和向量,2,求点坐标,使向量与同向,且.
【分析】(Ⅰ)利用空间向量运算法则能求出、.
(Ⅱ)点,,和向量,2,,设点,,,由向量与同向,且,列出方程组能求出点坐标.
【解答】解:(Ⅰ)向量,5,,,0,,,0,,
,5,,0,
,5,.
,5,,0,,0,,5,.
(Ⅱ)点,,和向量,2,,设点,,,
向量与同向,且,
,
解得,,,
点坐标为,2,.
B组-[素养提升]
1.(2019秋•襄阳期中)已知向量,,是空间的一个单位正交基底,向量,,是空间的另一个基底,若向量在基底,,下的坐标为,2,,则它在,,下的坐标为
A.B.C.D.
【分析】可设向量,0,,,1,,,0,;由此求出向量、,再设,列方程组求出、和即可.
【解答】解:设向量,0,,,1,,,0,;
则向量,1,,,,,
又向量,2,,
不妨设,
则,2,,,,
即,
解得,
所以向量在,,下的坐标为,,.
故选:.
2. (2019·安庆质检)已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).
(1)若eq \(AP,\s\up6(→))∥eq \(BC,\s\up6(→)),且|eq \(AP,\s\up6(→))|=2eq \r(14),求点P的坐标;
(2)求以eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(AC,\s\up6(→))为邻边的平行四边形的面积.
【解析】(1)∵eq \(AP,\s\up6(→))∥eq \(BC,\s\up6(→)),
∴设eq \(AP,\s\up6(→))=λeq \(BC,\s\up6(→)),
又eq \(BC,\s\up6(→))=(3,-2,-1),
∴eq \(AP,\s\up6(→))=(3λ,-2λ,-λ),
又|eq \(AP,\s\up6(→))|= eq \r(9λ2+4λ2+λ2)=2eq \r(14),得λ=±2,
∴eq \(AP,\s\up6(→))=(6,-4,-2)或eq \(AP,\s\up6(→))=(-6,4,2).
又A(0,2,3),
设P(x,y,z),
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x-0=6,,y-2=-4,,z-3=-2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x-0=-6,,y-2=4,,z-3=2,))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=6,,y=-2,,z=1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=-6,,y=6,,z=5.))
∴P(6,-2,1)或(-6,6,5).
(2)∵eq \(AB,\s\up6(→))=(-2,-1,3),eq \(AC,\s\up6(→))=(1,-3,2),
cs〈eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(AC,\s\up6(→))〉=eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\(AB,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|))=eq \f(-2+3+6,\r(14)×\r(14))=eq \f(1,2),
∴∠BAC=60°.
∴以eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(AC,\s\up6(→))为邻边的平行四边行的面积
S=|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|sin 60°=14×eq \f(\r(3),2)=7eq \r(3).
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