高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用当堂达标检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用当堂达标检测题，文件包含14空间向量的应用原卷版docx、14空间向量的应用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共61页， 欢迎下载使用。

思维导图








新课标要求


①能用向量语言指述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量。


②能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系。


③能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理。


④能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用。





知识梳理


1．空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点以及一个向量确定，这个向量叫做直线的方向向量．


2．若直线l垂直于平面α，取直线l的方向向量a，则a⊥α，则a叫做平面α的法向量．


3.(1)线线垂直：设直线l，m的方向向量分别为a，b，则l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0.


(2)线面垂直：设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R.


(3)面面垂直：若平面α的法向量为u，平面β的法向量为ν，则α⊥β⇔u⊥ν⇔u·ν＝0.


4．设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量分别为a，b，则cs θ＝eq \f(|a·b|,|a||b|).


5．设直线l与平面α所成的角为θ，直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cs〈a，n〉|＝eq \f(|a·n|,|a||n|).


6．设二面角α－l－β的平面角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则|cs θ|＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|).





名师导学


知识点1 直线的方向向量与平面的法向量


【例1-1】（2020春·焦作期末）若点，在直线l上，则直线l的一个方向向量为


A. B. C. D.


【分析】


本题考查直线的方向向量，向量的共线定理，属于基础题．


先由题意求出2，，再由选项判断与共线的向量即可．


【解答】


解：因为2，，而2，，


所以是直线l的一个方向向量．


故选A．


【例1-2】（2020春•广州期末）（2020春•武侯区校级期末）设是直线l的方向向量，是平面的法向量，则


A. B. C. 或D. 或


【分析】本题考查空间线面位置关系、法向量的性质，属于基础题．


利用空间线面位置关系、法向量的性质即可判断出结论．


【解答】


解：，


，


或，


故选D．


【变式训练1-1】（2020•沙坪坝区校级模拟）若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是


A. B.


C. D.


【分析】本题考查了运用空间向量判断线面平行，属于基础题．


根据时，，分别判断A、B、C、D是否满足条件即可．


【解答】


解：若，则，


而A中，不满足条件；


B中，不满足条件；


C中，不满足条件；


D中，满足条件．


故选D．


【变式训练1-2】（2020•东阳市模拟）已知，，分别是平面，，的法向量，则，，三个平面中互相垂直的有


A. 3对B. 2对C. 1对D. 0对


【分析】


本题考查利用空间向量研究平面垂直问题，属基础题．


依题意，分别求出，，即可求得结果．


【解答】


解：，，，


，所以与不垂直，


，所以与不垂直，


，所以与不垂直，


故选D．











知识点2 用空间向量研究直线、平面的平行关系


【例2-1】（2020•浙江模拟）已知在正四棱柱中，，，点E为的中点，点F为的中点．求证：．


【分析】本题考查利用空间向量法判定线性垂直及平行，属于基础题．


建立空间直角坐标系，写出坐标，得，EF与AC不共线，故．


【解答】证明：建立如图所示的空间直角坐标系，


则0，，，0，，1，．


，


由于，显然，


故．


又EF与AC不共线，故．














【例2-2】（2020•柯城区校级模拟）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面ABCD，且，点E是PD的中点．





求证：平面AEC．


【解答】证明 如图，以A为坐标原点，AC，


AB，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，


建立空间直角坐标系Axyz，





设，，则有0，，b，，0，，0，，


0，，b，，


由已知得，，，


设平面AEC的一个法向量为，


则且，可得1，，


，，


又平面AEC，平面AEC．


【例2-3】（2020春•金华期末）如图，已知棱长为4的正方体中，M，N，E，F分别是棱，，，的中点，求证：平面平面EFBD．





【分析】本题考查的知识点是平面与平面平行的判断，利用向量证明面面平行，难度中档．


建立空间直角坐标系，利用向量法，可证得：平面EFBD，平面EFBD，进而得到平面平面EFBD．


【解答】证明：由题意，正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，





则0，，0，，0，，


2，，4，，2，，4，．


取MN的中点K，EF的中点G，BD的中点O，


则2，，1，，3，．


2，，2，，1，，1，，


，，


，，


平面EFBD，平面EFBD，


平面平面EFBD．


【变式训练2-1】（2020春•宿迁期末）如图，在长方体中，，，，点P在棱上，且，点S在棱上，且，点Q、R分别是棱、AE的中点．





求证：．


【分析】本题考查了利用空间向量平行的判断，是容易题．建立空间直角坐标系，根据向量的共线关系进行证明．


【解答】证明：如图，建立空间直角坐标系，





则0，，4，，0，，0，，


4，．


，，


Q，R分别是棱，AE的中点，


，2，，2，，．


于是．


．


，．


【变式训练2-2】（2020春•朝阳区期末）已知正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，求证：


平面ADE；


平面平面F.


【分析】本题考查利用空间向量证明线性、线面平行．


如图，建立空间直角坐标系，求出和平面ADE的法向量，由，又平面ADE，推证结果；


进一步求出平面的法向量，由两个平面的法向量平行推证结果．


【解答】证明：如图，建立空间直角坐标系，


则0，，0，，2，，2，，2，，0，，





所以，，．


设，分别是平面ADE、平面的法向量，


则，，





取，则．


同理可求．


，


，又平面ADE，


平面ADE．


，平面平面F.





知识点3 用空间向量研究直线、平面的垂直关系


【例3-1】（2020春•扬州期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，底面ABCD，且，M为PC的中点．





求证：


【分析】本题考查的知识点是用空间向量求直线与平面的夹角，用空间向量证明直线垂直，属于中档题．由可得


【解答】证明：结合图形，知，，


则，


所以，


即．


【例3-2】（2020•上城区校级模拟）如图所示，在正方体中，E，F分别是，DC的中点，求证：平面F.











【分析】本题考查直线与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面F.


【解答】 证明：设正方体的棱长为1，如图所示，建立空间直角坐标系，





则0，，，0，，0，，．


，


，，


，，


，．


即，，


又，


平面F.


【例3-3】（2020春•点军区校级月考）如图，在五面体ABCDEF中，平面ABCD，，，M为EC的中点，求证：平面平面CDE．








【分析】本题主要考查利用空间向量证明面面垂直．首先利用空间向量证明线面垂直，即可得面面垂直．


【解答】证明：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，





设，依题意得0，，


1，，2，，1，，0，，．


则，，，


，，


又，，


又，平面AMD．而平面CDE，平面平面AMD．


【变式训练3-1】（2020•三明模拟）已知空间四边形ABCD中，，，求证：．


【分析】本题主要考查了利用空间向量证明线线垂直，是基础题．


将用、表示；用、表示；利用向量数量积的运算律求出；最后根据数量积为0判断出垂直．


【解答】证明：，，


，，

















．


，从而．


【变式训练3-2】（2020•镇海区校级模拟）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形且，，底面ABCD，E是AD的中点，F在PC上．F在何处时，平面PBC？


【分析】本题考查空间直线与平面垂直的判定以及线线垂直的判定，属基础题目．


以A为坐标原点建立空间直角坐标系，写出各点坐标，用向量判断线线垂直和线面垂直．


【解答】解：如图，以A为坐标原点，射线AD，AB，AP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，





则，0，，，，0，，


0，．，，


设y，，则．


平面PBC，，，


即，，


在PC上，可令，


则，


将，代入可得，，


则，


此时F为PC的中点．


【变式训练3-3】（2020春•未央区校级月考）在四面体ABCD中，平面BCD，，，，E，F分别是AC，AD的中点，求证：平面平面ABC．


【分析】本题主要考查了空间向量在立体几何中证明垂直的应用．


建立空间直角坐标系，设，得出相关点坐标，进而得出向量的坐标，计算，，可得平面ABC，由面面垂直的判定定理证得结论．


【解析】证明：建系如图，





取0，，


则易得0，，，，，，


则有，，，


，，，．


又，平面ABC．又平面BEF，平面平面ABC．


知识点4 用空间向量研究空间中的距离问题


【例4-1】（2019秋•海淀区校级期末）如图，已知正方形ABCD的边长为1，平面ABCD，且，E，F分别为AB，BC的中点．





求点D到平面PEF的距离；


求直线AC到平面PEF的距离．


【分析】本题目主要考查空间两点的距离公式，空间直角坐标系，属于一般题．


（1）通过建立空间直角坐标系，求出平面PEF的法向量，再得点D到平面PEF的距离．


（2）通过E，F分别为AB，AC的中点，，平面PEF，所以平面PEF，再得直线AC到平面PEF的距离．


【解答】建立如图所示的空间直角坐标系，





则0，，0，，0，，1，，，．


，，0，．


设平面PEF的法向量为y，，


则即


解得，令，得2，，


因此，点D到平面PEF的距离为．


由知0，，


因为E，F分别为AB，AC的中点，


所以，


又平面PEF，


所以平面PEF，


所以AC到平面PEF的距离为．


【变式训练4-1】（2020春•房山区期末）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，．





求点D到平面PBC的距离；


求点A到平面PBC的距离．


【分析】本题考查利用空间距离的求法，属基础题．


依题意，建立空间坐标系，求出平面PBC的法向量，


根据D到平面PBC的距离，计算即可．


根据中的数值，利用点A到平面PBC的距离，计算即可．





【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，





则0，，，2，，2，，0，．


0，，2，，0，．


设平面PBC的法向量为y，，则


令，则，，．


点D到平面PBC的距离．


由知，平面PBC的法向量为，


则点A到平面PBC的距离．





知识点5 用空间向量研究空间中的夹角问题


【例5-1】（2020春•宝山区校级期末）如图，ABCD为矩形，AB＝2，AD＝4，PA⊥面ABCD，PA＝3，求异面直线PB与AC所成角的余弦值．





【分析】 建立空间直角坐标系，利用向量求解．


【解】 以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，





则A(0,0,0)，P(0,0,3)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，


则eq \(PB,\s\up6(→))＝(2,0，－3)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(2,4,0)．


设PB与AC所成的角为θ，


则cs θ＝eq \f(|\(PB,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→))|,|\(PB,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(4,\r(22＋－32)×\r(22＋42))＝eq \f(4,\r(13)×2\r(5))＝eq \f(2\r(65),65).


【例5-2】（2020春•常州期末）已知在正三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长与底面边长相等，求AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值．


【分析】 解决此类问题的关键是建立空间直角坐标系，利用公式求解．





【解】 建立如图所示的空间直角坐标系E－xyz，其中坐标原点E为A1C1的中点，


设棱长为1，则


Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，1))，B1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2)，0))，


eq \(AB1,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)，－1)).


显然平面ACC1A1的一个法向量为n＝(0,1,0)，


设AB1与侧面ACC1A1所成的角为θ，


则sin θ＝|cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，n〉|＝eq \f(|\(AB1,\s\up6(→))·n|,|\(AB1,\s\up6(→))||n|)＝eq \f(\f(\r(3),2),\r(2))＝eq \f(\r(6),4).


∴AB1与面ACC1A1所成的角的正弦值为eq \f(\r(6),4).


【例5-3】（2020•漳州三模）已知，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝eq \r(2).求二面角A－PB－C的余弦值．


【分析】 解答本题可建立适当的空间直角坐标系，利用平面的法向量求解；也可在二面角的两个面内分别作棱的垂线，利用两线的方向向量所成的角求解．





【解】 解法一：如图，建立空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(eq \r(2)，1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，


∴eq \(AP,\s\up6(→))＝(0,0,1)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(eq \r(2)，1,0)．


设平面PAB的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，


由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n1·\(AP,\s\up6(→))＝0，,n1·\(AB,\s\up6(→))＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(z1＝0，,\r(2)x1＋y1＝0.))


令x1＝1，则n1＝(1，－eq \r(2)，0)．


又eq \(CP,\s\up6(→))＝(0，－1,1)，eq \(CB,\s\up6(→))＝(eq \r(2)，0,0)．


设平面PBC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，


由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n2·\(CP,\s\up6(→))＝0，,n2·\(CB,\s\up6(→))＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－y2＋z2＝0，,\r(2)x2＝0.))


令z2＝1，则n2＝(0,1,1)．


∴cs〈n1，n2〉＝eq \f(n1·n2,|n1||n2|)＝eq \f(－\r(2),\r(3)×\r(2))＝－eq \f(\r(3),3).


∵所求二面角为锐角，


∴二面角A－PB－C的余弦值为eq \f(\r(3),3).





解法二：如图所示，取PB的中点D，连接CD.


∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC.


∴PC＝ eq \r(PA2＋AC2)＝eq \r(2).


∵PC＝BC＝eq \r(2)，∴CD⊥PB.


作AE⊥PB于E，


那么二面角A－PB－C平面角的大小就等于eq \(DC,\s\up6(→))与eq \(EA,\s\up6(→))的夹角θ.


∵PA⊥平面ABC，BC⊥AC，


∴PC⊥BC.


∴PB＝ eq \r(PC2＋BC2)＝2.


∴PD＝1，PE＝eq \f(PA2,PB)＝eq \f(1,2).


∴DE＝PD－PE＝eq \f(1,2).


又∵AE＝eq \f(AP·AB,PB)＝eq \f(\r(3),2)，CD＝1，AC＝1，


eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(ED,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))，


且eq \(AE,\s\up6(→))⊥eq \(ED,\s\up6(→))，eq \(ED,\s\up6(→))⊥eq \(DC,\s\up6(→))，


∴|eq \(AC,\s\up6(→))|2＝|eq \(AE,\s\up6(→))|2＋|eq \(ED,\s\up6(→))|2＋|eq \(DC,\s\up6(→))|2＋2|eq \(AE,\s\up6(→))|·|eq \(DC,\s\up6(→))|·cs(π－θ)，


即1＝eq \f(3,4)＋eq \f(1,4)＋1－2×eq \f(\r(3),2)×1×cs θ，解得cs θ＝eq \f(\r(3),3)，


故二面角A－PB－C的余弦值为eq \f(\r(3),3).


【变式训练5-1】（2020春•沭阳县期中）如图，在正四棱柱中，，，点M是BC的中点．





求异面直线与DM所成角的余弦值


求直线与平面所成角的正弦值


求平面与平面ABCD所成角的正弦值．


【分析】本题主要考查了利用空间向量求线线、线面、面面的夹角，是中档题．


在正四棱柱中，以点D为原点，DA、DC、分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则．


由以及即可求得；


先求出平面的法向量，再利用夹角公式求解即可；


先求出平面ABCD的法向量以及平面与平面ABCD所成角的余弦值，在用求解即可．


【解答】解：在正四棱柱中，以点D为原点，DA、DC、分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，


因为，，所以，


则．


由题意得，


则，


异面直线与DM所成角的余弦值为；


由题意知，设平面的法向量为，


则，解得，


，


直线与平面所成角的正弦值为；


在正四棱柱中，，


平面ABCD的法向量为，


，


平面与平面ABCD所成角的余弦值为，


则，


平面与平面ABCD所成角的正弦值为．





名师导练


A组-[应知应会]


1. （2020春•杨浦区校级期中）若直线l的方向向量为0，，平面的法向量为0，，则


A. B. C. D. l与斜交


【分析】本题考查利用空间向量判断线面的位置关系属基础题．


由直线l的方向向量与平面的法向量共线，判断结论即可．


【解答】解：，，，．


故选B．


2. （2020•安徽模拟）已知，，，则向量与向量的夹角为


A. B. C. D.


【分析】本题考查利用空间向量的数量积求向量夹角，属于基础题．


根据空间向量夹角公式求解即可．


【解答】解：，





，


，


向量与的夹角为．


故选C．


3. （2020•闵行区校级模拟）已知四边形ABCD是直角梯形，，平面ABCD，，则SC与平面ABCD所成的角的余弦值为


A. B. C. D.


【分析】本题主要考查利用空间向量求直线与平面的所成角，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题。


由题意可得是平面ABCD的一个法向量，设与的夹角为，利用夹角公式，向量的加减运算以及向量的模长公式，即可得出，则SC与平面ABCD所成角可得．


【解答】解：由题意可知，是平面ABCD的一个法向量，


设与的夹角为，，，又，，


，，


与平面ABCD所成角的余弦值故选C．


4. （2020•贵阳模拟）在正方体中，棱长为a，M，N分别为和AC上的点，，则MN与平面的位置关系是


A. 垂直B. 相交C. 平行D. 不能确定


【分析】本题考查线面平行的判定，在适当条件下，可以用向量法证明，只需证明该直线的一个方向向量与该平面的一个法向量垂直即可．要注意的是这两个向量必须用同一组基底来表示．属于一般难度题．


由于平面，所以是平面的法向量，因此只需证明向量与垂直即可，而和又可以作为一组基底表示向量，因此可以证明．


【解答】解：正方体棱长为a，，


，，








，


又是平面的法向量，


且，


，


平面．


故选C．


5. （2020春•温州期末） 如图，在长方体中，，E为CD的中点，点P在棱上，且平面，则AP的长为





A.


B.


C. 1


D. 与AB的长有关


【分析】本题考查利用空间向量解决线面平行问题．


建立如图所示的空间坐标系，设出P点坐标，求出面的一个法向量，由即可求解．


【解答】解：以点A为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系如图．





设，则0，，1，，1，，0，，


设点P的坐标为0，，


故0，，1，，


又设平面的法向量为y，．


因为平面，所以，，得


取，得平面的一个法向量为．


因为平面，所以，有，解得．


所以AP的长为．


6. （2020•鼓楼区校级模拟） 二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知，，，，则该二面角的大小为


A. B. C. D.


【分析】本题考查利用空间向量求二面角的大小，考查空间向量的加法、模、夹角及数量积运算属于基础题．由题意及空间向量的加法可知，根据空间向量的数量积运算，结合空间向量的模、夹角，可得，，求出，，即可得出二面角的大小．


【解答】解：由题意知，，


，





，，


解得，，


则，，


所以二面角的大小为，故选C．


7. （2020•和平区校级二模）如图所示，在正方体中，点P是棱AB上的动点点可以运动到端点A和B，设在运动过程中，平面与平面所成的最小角为，则





A.


B.


C.


D.


【分析】本题考查正方体的结构特征，利用空间向量求解平面的法向量和夹角问题，属于中档题．


适当建立空间直角坐标系，求解平面和平面的法向量，结合空间向量的夹角与模长公式求解即可．


【解答】解：以点D为坐标原点，DA，DC，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，


设正方体的棱长为1，，则易得0，，a，，1，，


则，，设平面的法向量为，


则令，得平面的一个法向量为，


同理易得平面的一个法向量为，


由图易得平面与平面所成的角为锐角，设其为，则其余弦值为


，


易得当平面与平面所成的角取得最小值时，，此时有，


故选D．


8. （多选）（2020•东阳市模拟）已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果，2，，2，，下列结论正确的有


A. B.


C. 是平面ABCD的一个法向量D.


【分析】本题考查空间向量垂直平行的判定，属于基础题．


根据向量垂直的充要条件是向量积为0来进行判断即可．


【解答】解：，，即，A正确；


，，即，B正确；


由，，可得是平面ABCD的法向量，C正确；


BD在平面ABCD内，可得，D错误．


故答案为ABC．


9. （2020•江苏模拟）已知，，若，，且平面ABC，则y，等于________．


【答案】


【分析】本题考查空间向量的坐标运算及利用空间向量证明线面位置关系属基础题．


由题意，，，且，列方程求解即可．


【解答】


解：，故．


，


且，


得，．


10. （2020•南通模拟）已知正三棱柱的各条棱长都相等，M是侧棱的中点，则向量与所成角的大小是 ．


【答案】


【分析】本题考查空间向量所成的角，属于基础题．


根据题意，利用向量的夹角公式即可得出结果．


【解答】解：不妨设棱长为2，则，，


，，


故向量与所成角的大小是．


11. （2020•清江浦区校级模拟）在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是正方形，且，G为的重心，则PG与底面ABCD所成角的正弦值为 ．


【答案】


【分析】本题主要考查向量法求线面角，考查三角形重心的坐标公式属于中档题，求出PG的方向向量及面ABCD的法向量代入公式计算即可，


【解答】解：如图，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，





由已知，得0，，0，，0，，1，，1，，


则重心，


因而0，，，


设PG与底面ABCD所成的角为，


则，．


12. （2020春•沭阳县期中）在四棱锥中，底面ABCD为矩形，侧棱底面ABCD，，E为PD的中点，点N在面PAC内，且平面PAC，则点N到AB的距离为__________


【答案】


【分析】本题考查点到直线的距离的求法，是中档题，


以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出点N到AB的距离．


【解答】


解：如下图，





因为棱底面ABCD，底面ABCD为矩形，所以在四棱锥中，


以A为原点，AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴，连立空间直角坐标系，已知，，


则0，，0，，1，，1，，0，，PD的中点，


，


点N在面PAC内，则其在面ABCD的投影在AC上，设y，，，


平面PAC，所以，联立解得


则点N到AB的距离为．


故答案为．


13.（2020•滨海新区模拟）如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面ABCD，，则二面角的余弦值为________．














【答案】


【解析】【分析】本题考查应用空间向量求空间角问题，考查同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题能力．


令，则因为，，由余弦定理得，可得，建立空间直角坐标系，写出点A，B，C，P的坐标，求平面PAB的法向量，平面PBC的法向量，求出这两个向量的夹角的余弦值即可．


【解答】


解：令，则．


又，由余弦定理知，


所以，即．


建立如图坐标系则0，、0，、、，





设平面PAB的法向量为y，．0，，，


，取1，


同理平面PCB的法向量为1，，


，，


记二面角的夹角为，如图可知为钝角，，


故二面角的余弦值为．


故答案为．


14. （2020春•浦东新区校级月考）如图，在正方体中，E为的中点，求异面直线CE与BD所成的角．














【分析】本题考查异面直线所成角的大小的求法，属于基础题．


以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线CE与BD所成的角的大小．


【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，


设正方体的棱长为1，


则相关点的坐标为1，，，1，，0，，


所以，，


所以，


所以，即．


所以CE与BD所成的角为．





15. （2020春•江宁区校级月考）如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，，，，F为PD的中点．


求证：；


求证：平面PEC．








【分析】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面平行，直线与直线垂直的证明方法，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．


以A为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，通过计算，证明；


取PC的中点M，连接证明，然后证明平面PEC．


【解答】证明：依题意，平面ABCD，


如图，以A为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．





依题意，可得0，，4，，4，，0，，0，，4，，0，．


，，


，


；


证明：取PC的中点M，连接EM．


2，，，，


，．


平面PEC，平面PEC，


平面PEC；


16. （2020春•临泉县校级月考）正方体中，E，F分别是，CD的中点．


求证：平面平面；


在AE上求一点M，使得平面DAE．


【分析】本题考查利用空间向量判断线面垂直和线线垂直，属于较难题．


建立空间坐标系，求两个平面的法向量，利用平面ADE和平面的法向量的垂直关系证明两个平面垂直．


设2，，，，可得，因为得出，点M在线段AE上且满足平面DAE．


【解答】解：证明：以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，


不妨设正方体的棱长为2，则0，0，，2，，1，，0，，0，，


0，，2，，2，．


设平面AED的法向量为，


则即





令，得1，．


同理可得平面的一个法向量为2，．


，


平面平面．


由于点M在AE上，


可设2，，，，可得，于是．


要使平面DAE，


因为，只需，


2，，


解得故当时，


即点M的坐标为时，平面DAE．


17. （2020春•兴宁区校级期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，且，平面ABCD．





求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；


在棱PD上是否存在一点E使得？若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由．


【分析】本题考查空间直线与平面所成的角以及利用向量判定垂直问题，是一般题．


建立空间直角坐标系，根据法向量与平面所成角余弦值的绝对值就等于直线PB与平面PCD所成角的正弦值；


设，则，则，由得根据方程的解可以确定的值．


【解答】解：以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，


则0，，0，，1，，2，，





从而，


，．


设平面PCD的法向量为，则且，


即且．不妨取，则，，


所以平面PCD的一个法向量为．


设直线PB与平面PCD所成的角为，


则，


所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为．


设，则，


则，．


由得．


化简得，该方程无解，


故在棱PD上不存在一点E使得．


18. （2020春•沙坪坝区校级期末）如图，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是，D是AC的中点．





求二面角的大小．


在线段上是否存在一点E，使得平面平面若存在，求出AE的长若不存在，说明理由．


【分析】本题考查了二面角的求法以及面面垂直的判定，是一般题．


先求出平面和平面ABD的法向量，根据法向量求出二面角的大小；


先证明线面垂直，再证明面面垂直．


【解答】解：如图，作于点O，所以平面，


所以在正三棱柱 中，建立空间直角坐标系．


因为， ，D是AC的中点，


所以0，，0，，0，，，


所以，0，， ， ．


设 y，是平面的法向量，


所以，即


令，则，．


所以2，是平面的一个法向量．


由题意可知是平面ABD的一个法向量，


所以


由题图知二面角为锐角，


所以它的大小为．





存在．


设 ，．


因为 ，，


所以 ，， 0，，


设平面的法向量为，


所以，即


令，则，


所以为平面的一个法向量，


又，即，解得．


所以存在点E，使得平面平面，且．

















B组-[素养提升]


1. （2020春•齐齐哈尔期末）如图，在圆锥SO中，A，B是上的动点，是的直径，M，N是SB的两个三等分点，，记二面角，的平面角分别为，，若，则的最大值是





A. B. C. D.


【分析】本题考查了空间直角坐标系在求二面角中的综合应用，涉及空间向量的数量积及及其坐标表示，平面的法向量、空间向量的夹角等，属于中档题．


根据题意，设底面圆的半径为r，，以所在直线为x轴，以垂直于所在直线为y轴，以OS所在直线为z轴建立空间直角坐标系，设平面NOA的法向量为，平面的法向量为，根据，求得平面的法向量，结合可得，即可求解．


【解答】解：设底面圆的半径为r，，以所在直线为x轴，以垂直于所在直线为y轴，以OS所在直线为z轴建立空间直角坐标系如下图所示：





则由，可得0，，0，，0，，，0，，


M，N是SB的两个三等分点，则0，，0，，


所以，0，，


设平面NOA的法向量为，


则代入可得，


化简可得，


令，解得，，


所以，


平面OAB的法向量为0，，


由图可知，二面角的平面角为锐二面角，


所以二面角的平面角满足，


，


设平面的法向量为，


，，


则


代入可得，


化简可得，


令，解得，，


所以，


平面的法向量为0，，


由图可知，二面角的平面角为锐二面角，


所以二面角的平面角满足，


，


由二面角的范围可知，


结合余弦函数的图象与性质可知，


即，


化简可得，且，


所以，


所以的最大值是，


故选B．


2. （2020春•如皋市期末）如图，在长方体中，E是的中点，点F是AD上一点，，，，动点P在上底面上，且满足三棱锥的体积等于1，则直线CP与所成角的正切值的最小值为________．








【分析】本题考查空间向量在解立体几何问题中的应用，考查计算能力和推理能力，属于难题．


根据题意建立空间直角坐标系，设n，，，求出平面BFE的法向量，然后利用棱锥的体积公式和异面直线角的公式即可得．


【解答】解：以D为坐标原点，分别以DA，DC，所在直线为x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系，


设n，，，则0，，0，，2，，2，，0，，


所以，，


设平面BFE的法向量为，


则，令，则，，


所以平面BFE的一个法向量为，


因为，


所以点P到平面BFE的距离，


因为，，


所以，


因为


所以，


所以或舍，


设直线CP与所成的角为，则


所以


，


所以的最大值为，此时最小，


所以．


即直线CP与所成角的正切值的最小值为．


故答案为．