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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算优秀课后练习题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算优秀课后练习题，文件包含第02讲112空间向量的数量积运算7类热点题型讲练原卷版docx、第02讲112空间向量的数量积运算7类热点题型讲练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共52页， 欢迎下载使用。
知识点01：空间两个向量的夹角
1、定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角）
2、范围：．
特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作．
(2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)．
(3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即．两非零向量的夹角是唯一确定的．
3、拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别）
若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为，
(1)向量夹角的范围是0<<><，异面直线的夹角的范围是0<<，
(2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，.
【即学即练1】（2023秋·高二课时练习）已知，则__________．
【答案】
【详解】根据向量的夹角公式，，由于向量夹角的范围是，故
故答案为：
知识点02：空间向量的数量积
1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零;
2、空间向量数量积的应用
(1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题;
(2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题;
3、向量的投影
3.1．如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))．
3.2．如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角．
4、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积.
5、数量积的运算：
（1），.
（2）(交换律)．
（3）(分配律).
【即学即练2】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知在标准正交基下，向量，，，则向量在上的投影为_________.
【答案】
【详解】因为向量，，，
因此，
，
所以向量在上的投影为.
故答案为：
知识点03：空间向量数量积的性质
（1）
（2）若与同向，则；若与反向，则．特别地，．
（3）.
题型01空间向量的数量积（求空间向量的数量积）
【典例1】（2023秋·福建福州·高二福建省福州铜盘中学校考期末）如图所示，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【详解】由题意得， ，
则
,
故选：B
【典例2】（2023·全国·高二专题练习）正四面体的棱长为，点、分别是、的中点，则______．
【答案】/-0.25
【详解】如图所示，正四面体的棱长为，点、分别是、的中点，
所以，
故
故答案为：
【变式1】（2023秋·浙江绍兴·高二统考期末）已知正四面体的棱长为为棱的中点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为M是棱CD的中点，所以
所以.
故选：D.
【变式2】（2023春·高二课时练习）已知空间向量满足，且与的夹角为，则__________．
【答案】1
【详解】由空间向量数量积的定义，.
故答案为：1
题型02空间向量的数量积（空间向量的数量积的最值或范围）
【典例1】（2023春·高二课时练习）如图，已知正方体的棱长为1，为棱上的动点，则向量在向量方向上的投影数量的取值范围为______．
【答案】
【详解】由已知E为棱上的动点，设，
因为，
所以
，
所以向量在向量方向上投影数量为，
又，，
，
所以向量在向量方向上投影的数量的取值范围为
故答案为：
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，，平面，于点，是的中点，，则的最小值为______．
【答案】/-0.125
【详解】连接，如图，
因平面ABC，平面ABC，则，而，，平面PAB，
则平面PAB，又平面PAB，即有，
因M是AC的中点，则，又，
，当且仅当取“=”，
所以的最小值为.
故答案为：
【变式1】（2023秋·湖北黄石·高二校联考期末）已知正三棱锥的底面的边长为2，M是空间中任意一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：设中点为,连接,设中点为,则
,
当与重合时，取最小值0.此时有最小值，
故选：A
题型03利用数量积求夹角
【典例1】（2023春·高二课时练习）空间四边形中，，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：，
所以
所以，
故选：D．
【典例2】（2023春·高二课时练习）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条边的长度都为1，且两两夹角为60°.求与所成角的余弦值.
【答案】.
【详解】记，，，则，，
，
，，
，，
，，
又，
，
即与夹角的余弦值为.
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）如图，正四面体(所有棱长均相等)的棱长为1，，，，分别是正四面体中各棱的中点，设，，，试采用向量法解决下列问题：
(1)求的模长；
(2)求，的夹角.
【答案】(1)；
(2)90°.
【详解】（1）因为E，F，G是中点，所以，
因此，
因为正四面体所有棱长为1，
所以，
所以；
（2）由（1）可知：，
同理，，
所以，的夹角为90°.
【变式1】（2023·全国·高二专题练习）如图，平行六面体中，，，与、的夹角都为求：
（1）的长；
（2）与所成的角的余弦值．
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）设，，，
所以，，
因为
所以平行四边形中
所以对角线的长为：.
（2）由，可得，
所以
由，
可得
.
所以，
.
题型04空间向量的投影（投影向量）
【典例1】（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】，，与夹角的余弦值为，
在上的投影向量为
.
故选：D．
【典例2】（2023·全国·高二专题练习）在棱长为 的正方体 中，向量 在向量 方向上的投影向量的模是______．
【答案】
【详解】棱长为的正方体中向量与向量夹角为，
所以
向量 在向量 方向上的投影向量是
向量 在向量 方向上的投影向量的模是，
故答案为：
【变式1】（2023·全国·高二专题练习）如图，已知 平面 ， ， ，则向量 在 上的投影向量等于____.
【答案】
【详解】平面，
则，
向量在上的投影向量为
故答案为：.
题型05空间向量中的模（距离，长度）
【典例1】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知正四面体的棱长为，若、分别是、的中点，则线段的长为（ ）
A．2B．
C．D．
【答案】B
【详解】
，
又、、两两的夹角均为，且，
，
.
故选：B．
【典例2】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知单位向量，，中，，，则（ ）
A．B．5C．6D．
【答案】D
【详解】因为，，且，，为单位向量，
则
.
故选：D
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知长方体的底面是边长为的正方形，若，则该长方体的外接球的表面积为________；记分别是方向上的单位向量，且，，则（，为常数）的最小值为________．
【答案】
.【详解】在中，，所以，，
所以该长方体的外接球的半径为，所以该长方体的外接球的表面积为由及可得，
所以与的方向相同或与的方向相同，
不妨取与的方向相同，
由平面向量基本定理可得必与共面，
在平面上取一点，故可设，
则，所以其最小值为点到平面的最小值，即最小值为.
故答案为：；
【变式1】（2023春·高一课时练习）已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（ ）
A．B．C．D．4
【答案】C
【详解】由题意可得，
.
故选：C
【变式2】（2023·江苏·高二专题练习）四棱柱的底面是边长为1的菱形，侧棱长为2，且，则线段的长度是（ ）
A．B．C．3D．
【答案】D
【详解】因为，，
所以，，，
因为，
所以
，
所以，即线段的长度是.
故选：D.
题型06利用数量积证明垂直问题
【典例1】（2023·江苏·高二专题练习）已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点.
(1)用表示，并求出；
(2)求证：.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【详解】（1）因为点是的重心，所以
因为点是线段的中点，所以.
因为正四面体的棱长为，
所以,
所以
，
所以.
（2）
，
所以.
【典例2】（2023春·高一课时练习）如图，棱长为的正方体中，，分别为棱和的中点，为棱的中点.求证：
(1)平面；
(2)平面平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）正方体中，四边形ABCD是正方形，所以.
又平面，平面ABCD，所以，.
又因为，，平面，所以，平面.
中，E，F分别为AB，BC中点，
所以，，所以，平面.
（2）正方体中，四边形是正方形，
又F、M分别为、中点，
所以，，，
所以，
，
即.①
正方体中，平面，平面，所以.②
由①②及，且，平面，所以，平面，
又平面，所以，平面平面.
【变式1】（2022秋·重庆九龙坡·高二重庆实验外国语学校校考期末）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的菱形，，
(1)求线段的长；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）设，则，
∵，则.
∵，∴.
故线段的长为.
（2）证明：∵，∴.
故.
【变式2】（2022秋·河南周口·高二校考阶段练习）如图，正方体的棱长为．
(1)求和的夹角；
(2)求证：．
【答案】(1)60°
(2)证明见解析
【详解】（1），，．
由于正方体的棱长为a，
，且，，．
，，
．
又，，
．
又，
，
与的夹角为60°．
（2）证明：由（1）知，，
，
，
．
题型07重点方法篇（利用极化恒等式求数量积最值）
【典例1】（2023春·高二课时练习）已知正四棱柱中，底面边长，，是长方体表面上一点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】取中点，
则，
当为侧面中点时，；的最大值为体对角线的一半，
又，，
即的取值范围为.
故选：B.
【典例2】（2023秋·江西萍乡·高三统考期末）已知球是棱长为1的正四面体的内切球，为球的一条直径，点为正四面体表面上的一个动点，则的取值范围为_______________.
【答案】
【详解】
如图所示，在边长为1的正四面体中，设四面体内切球球心为，
内切球半径为，取中点为，
则,,所以，
因为，
所以，所以，
因为点P为正四面体表面上的一个动点，
所以，即，
因为,
因为为球O的一条直径，所以,
所以，
因为，所以，
所以，
故答案为: .
【变式1】（2023秋·重庆·高二校联考期末）已知是棱长为8的正方体外接球的一条直径，点在正方体的棱上运动，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．0
【答案】C
【详解】如图，是棱长为8的正方体外接球的一条直径，即正方体的一条体对角线，
由正方体的特征可得其外接球半径为 ,
设外接球球心为O，则
,
由于点M在正方体的棱上运动,故的最小值为球心O和棱的中点连线的长，
即为正方体面对角线的一半，为，
所以 的最小值为，
故选：C
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·高二课时练习）在正四面体ABCD中，与的夹角等于（ ）
A．30°B．60°C．150°D．120°
【答案】D
【详解】由正四面体每个面都是正三角形可知，
故选：D
2．（2023春·高二课时练习）平行六面体中，，，则的长为（ ）
A．10B．C．D．
【答案】B
【详解】如图，
由题知，,
，，
.
，
，
即的长为.
故选：B
3．（2023春·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）在正四面体中，棱长为1，且D为棱的中点，则的值为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
如图，因为D为棱的中点，所以，
，
由正四面体得性质，与的夹角为60°，同理与的夹角为60°，，，
故，
故选：D.
4．（2023秋·广东揭阳·高二统考期末）在空间四边形中，等于（ ）
A．B．0C．1D．不确定
【答案】B
【分析】令，利用空间向量的数量积运算律求解.
【详解】令，
则，
，
.
故选：B
5．（2023春·高二课时练习）已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【详解】
.
故选：B
6．（2023秋·河南新乡·高二统考期末）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，，则（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】C
【详解】
连接，由棱柱性质，侧棱平面，平面，则，
故，又，
.
故选：C
7．（2023春·福建莆田·高二莆田第二十五中学校考期中）在空间，已知，为单位向量，且，若，，，则实数k的值为（ ）
A．－6B．6
C．3D．－3
【答案】B
【详解】由题意可得，，，
所以，即2k－12＝0，得k＝6.
故选：B.
8．（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】，，与夹角的余弦值为，
在上的投影向量为
.
故选：D．
二、多选题
9．（2023秋·河北邢台·高二邢台一中校考期末）如图，在三棱柱中，分别是上的点，且.设，若，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【详解】因为，，
所以，，
所以故A错误；
因为，，，
所以，
所以，故B正确；
因为，
所以，故C错误；
因为，，
所以
因为，
所以，，
所以，
所以，故D正确.
故选：BD.
10．（2023春·高二课时练习）已知为正方体，则下列说法正确的有（ ）
A．；
B．；
C．与的夹角为；
D．在面对角线中与直线所成的角为的有8条
【答案】ABD
【详解】如图所示：
A. 由向量的加法运算得，因为 ，所以，故正确；
B. 正方体的性质易知，所以，故正确；
C. 因为是等边三角形，且 ，所以，则与的夹角为，故错误；
D. 由正方体的性质得过的面对角线与直线所成的角都为，这样有4条，然后相对侧面与之平行的对角线还有4条，共8条，故正确；
故选：ABD
三、填空题
11．（2023秋·湖南衡阳·高二校考期末）如图，在直三棱柱中，，、分别为棱、的中点，则______.
【答案】
【详解】因为平面，平面，则，同理可知，
所以，
.
故答案为：.
12．（2023秋·山东菏泽·高二统考期末）如图所示，在平行六面体中，，，，为棱的中点，则______．
【答案】/
【详解】
向量的拆分，，
又，，由此可得，
∴．
故答案为：
四、解答题
13．（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB， AB＝BC＝a， PA＝b.试确定在直线AB上的投影向量，并求.
【答案】，
【详解】因为．
又，
所以在上的投影向量为：.
14．（2023春·高二课时练习）已知：如图，OB是平面α的斜线，O为斜足，，A为垂足，，且．求证：．
【答案】证明见解析
【详解】因为，所以，
因为，，所以，．
又，所以，
故．
B能力提升
1．（2023·全国·高一专题练习）已知点P在棱长为2的正方体表面上运动，AB是该正方体外接球的一条直径，则 的最小值为（ ）
A．2B．3C．1D．0
【答案】A
【详解】由题意可得正方体外接球的直径 ，设点O为正方体外接球的球心，则O为AB的中点，且，
，
由 ， 的最小值为.
故选︰A．
2．（2023春·江苏常州·高二华罗庚中学校考阶段练习）如图已知矩形，沿对角线将折起，当二面角的余弦值为时，则B与D之间距离为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【详解】解：过和分别作，，
在矩形，，
，
，
则，即，
平面与平面所成角的余弦值为，
,，
，
，，
则，
即与之间距离为，
故选：C．
3．（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设.
(1)试用向量表示向量；
(2)若，求的值.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）因为点为的中点，所以，
因为，所以，
所以，
所以；
（2）由（1）得，
因为，，
所以
.
4．（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥中，平面，，，．
(1)确定在平面上的投影向量，并求；
(2)确定在上的投影向量，并求．
【答案】(1)在平面上的投影向量为，；
(2)在上的投影向量为，.
【详解】（1）因为平面，所以在平面上的投影向量为，
因为平面，面，可得，所以，
因为，所以，
所以
.
（2）由（1）知：，，
所以在上的投影向量为：
，
由数量积的几何意义可得：.
C综合素养
1．（2023春·江苏南京·高二南京市人民中学校考阶段练习）如图，三棱锥各棱的棱长是1，点是棱的中点，点在棱上，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【详解】根据题意，在中， ，
所以
所以==
则时，取得最小值，
则的最小值为.
故选：B
2．（多选）（2023春·高二课时练习）在三维空间中，定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：①，，且，和构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指､食指､中指的指向一致，如图所示）；②的模（表示向量，的夹角）.在正方体中，有以下四个结论，正确的有（ ）
A．B．
C．与共线D．与正方体体积数值相等
【答案】ACD
【详解】设正方体棱长为1，
对于，，，
所以，所以对；
对于，由，和构成右手系知，与方向相反，
即，所以错；
对于，，平面，
平面，，
再由右手系知，与共线，所以对；
对于， ，
正方体体积为1，所以对．
故选：．
3．（2023春·上海杨浦·高二上海市控江中学校考期中）在空间中，是一个定点，给定的三个不共面的向量，且它们两两之间的夹角都是锐角.若向量满足，，，则满足题意的点的个数为__________.
【答案】
【详解】，故，，，
故点在与垂直，且到的距离为的平面上，共两个平面；
同理得到：
故点在与垂直，且到的距离为的平面上，共两个平面；
故点在与垂直，且到的距离为的平面上，共两个平面.
个两两平行的平面共有个交点，故满足条件的共有个.
故答案为：
4．（2023春·四川凉山·高二宁南中学校考阶段练习）如图，AB为圆柱下底面圆O的直径，C是下底面圆周上一点，已知，，圆柱的高为5．若点D在圆柱表面上运动，且满足，则点D的轨迹所围成图形的面积为________．
【答案】10
【详解】作母线，，连接，
因为，所以共面，是圆柱的一个截面，
平面，平面，所以，
又由已知得，而，平面，
所以平面，
由得，所以平面，
矩形即为点轨迹，
，则，又，
所以矩形的面积为．
故答案为：10.
5．（2023春·江苏常州·高二常州市第一中学校考阶段练习）平行六面体的底面是菱形，且.当的值为______时，能使平面
【答案】1
【详解】解：如图所示：
设，，则，
因为平面，
平面，所以，
，，
由，得，
即，
又因为，
则有，即，
解得或(舍去)，
因此当时，能使平面.
故答案为：1
课程标准
学习目标
①会进行空间向量的线性运算，空间向量的数量积，空间向量的夹角的相关运算.
1、掌握空间向量的夹角的概念，培养数学抽象的核心素养．
2、掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律，提升数学抽象的核心素养．
3、了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义，培养直观想象的核心素养．
4、能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题，强化数学运算的核心素养.
知识点01：空间两个向量的夹角
1、定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角）
2、范围：．
特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作．
(2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)．
(3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即．两非零向量的夹角是唯一确定的．
3、拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别）
若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为，
(1)向量夹角的范围是0<<><，异面直线的夹角的范围是0<<，
(2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，.
【即学即练1】（2023秋·高二课时练习）已知，则__________．
【答案】
【详解】根据向量的夹角公式，，由于向量夹角的范围是，故
故答案为：
知识点02：空间向量的数量积
1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零;
2、空间向量数量积的应用
(1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题;
(2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题;
3、向量的投影
3.1．如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))．
3.2．如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角．
4、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积.
5、数量积的运算：
（1），.
（2）(交换律)．
（3）(分配律).
【即学即练2】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知在标准正交基下，向量，，，则向量在上的投影为_________.
【答案】
【详解】因为向量，，，
因此，
，
所以向量在上的投影为.
故答案为：
知识点03：空间向量数量积的性质
（1）
（2）若与同向，则；若与反向，则．特别地，．
（3）.
题型01空间向量的数量积（求空间向量的数量积）
【典例1】（2023秋·福建福州·高二福建省福州铜盘中学校考期末）如图所示，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【详解】由题意得， ，
则
,
故选：B
【典例2】（2023·全国·高二专题练习）正四面体的棱长为，点、分别是、的中点，则______．
【答案】/-0.25
【详解】如图所示，正四面体的棱长为，点、分别是、的中点，
所以，
故
故答案为：
【变式1】（2023秋·浙江绍兴·高二统考期末）已知正四面体的棱长为为棱的中点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为M是棱CD的中点，所以
所以.
故选：D.
【变式2】（2023春·高二课时练习）已知空间向量满足，且与的夹角为，则__________．
【答案】1
【详解】由空间向量数量积的定义，.
故答案为：1
题型02空间向量的数量积（空间向量的数量积的最值或范围）
【典例1】（2023春·高二课时练习）如图，已知正方体的棱长为1，为棱上的动点，则向量在向量方向上的投影数量的取值范围为______．
【答案】
【详解】由已知E为棱上的动点，设，
因为，
所以
，
所以向量在向量方向上投影数量为，
又，，
，
所以向量在向量方向上投影的数量的取值范围为
故答案为：
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，，平面，于点，是的中点，，则的最小值为______．
【答案】/-0.125
【详解】连接，如图，
因平面ABC，平面ABC，则，而，，平面PAB，
则平面PAB，又平面PAB，即有，
因M是AC的中点，则，又，
，当且仅当取“=”，
所以的最小值为.
故答案为：
【变式1】（2023秋·湖北黄石·高二校联考期末）已知正三棱锥的底面的边长为2，M是空间中任意一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：设中点为,连接,设中点为,则
,
当与重合时，取最小值0.此时有最小值，
故选：A
题型03利用数量积求夹角
【典例1】（2023春·高二课时练习）空间四边形中，，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：，
所以
所以，
故选：D．
【典例2】（2023春·高二课时练习）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条边的长度都为1，且两两夹角为60°.求与所成角的余弦值.
【答案】.
【详解】记，，，则，，
，
，，
，，
，，
又，
，
即与夹角的余弦值为.
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）如图，正四面体(所有棱长均相等)的棱长为1，，，，分别是正四面体中各棱的中点，设，，，试采用向量法解决下列问题：
(1)求的模长；
(2)求，的夹角.
【答案】(1)；
(2)90°.
【详解】（1）因为E，F，G是中点，所以，
因此，
因为正四面体所有棱长为1，
所以，
所以；
（2）由（1）可知：，
同理，，
所以，的夹角为90°.
【变式1】（2023·全国·高二专题练习）如图，平行六面体中，，，与、的夹角都为求：
（1）的长；
（2）与所成的角的余弦值．
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）设，，，
所以，，
因为
所以平行四边形中
所以对角线的长为：.
（2）由，可得，
所以
由，
可得
.
所以，
.
题型04空间向量的投影（投影向量）
【典例1】（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】，，与夹角的余弦值为，
在上的投影向量为
.
故选：D．
【典例2】（2023·全国·高二专题练习）在棱长为 的正方体 中，向量 在向量 方向上的投影向量的模是______．
【答案】
【详解】棱长为的正方体中向量与向量夹角为，
所以
向量 在向量 方向上的投影向量是
向量 在向量 方向上的投影向量的模是，
故答案为：
【变式1】（2023·全国·高二专题练习）如图，已知 平面 ， ， ，则向量 在 上的投影向量等于____.
【答案】
【详解】平面，
则，
向量在上的投影向量为
故答案为：.
题型05空间向量中的模（距离，长度）
【典例1】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知正四面体的棱长为，若、分别是、的中点，则线段的长为（ ）
A．2B．
C．D．
【答案】B
【详解】
，
又、、两两的夹角均为，且，
，
.
故选：B．
【典例2】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知单位向量，，中，，，则（ ）
A．B．5C．6D．
【答案】D
【详解】因为，，且，，为单位向量，
则
.
故选：D
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知长方体的底面是边长为的正方形，若，则该长方体的外接球的表面积为________；记分别是方向上的单位向量，且，，则（，为常数）的最小值为________．
【答案】
.【详解】在中，，所以，，
所以该长方体的外接球的半径为，所以该长方体的外接球的表面积为由及可得，
所以与的方向相同或与的方向相同，
不妨取与的方向相同，
由平面向量基本定理可得必与共面，
在平面上取一点，故可设，
则，所以其最小值为点到平面的最小值，即最小值为.
故答案为：；
【变式1】（2023春·高一课时练习）已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（ ）
A．B．C．D．4
【答案】C
【详解】由题意可得，
.
故选：C
【变式2】（2023·江苏·高二专题练习）四棱柱的底面是边长为1的菱形，侧棱长为2，且，则线段的长度是（ ）
A．B．C．3D．
【答案】D
【详解】因为，，
所以，，，
因为，
所以
，
所以，即线段的长度是.
故选：D.
题型06利用数量积证明垂直问题
【典例1】（2023·江苏·高二专题练习）已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点.
(1)用表示，并求出；
(2)求证：.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【详解】（1）因为点是的重心，所以
因为点是线段的中点，所以.
因为正四面体的棱长为，
所以,
所以
，
所以.
（2）
，
所以.
【典例2】（2023春·高一课时练习）如图，棱长为的正方体中，，分别为棱和的中点，为棱的中点.求证：
(1)平面；
(2)平面平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）正方体中，四边形ABCD是正方形，所以.
又平面，平面ABCD，所以，.
又因为，，平面，所以，平面.
中，E，F分别为AB，BC中点，
所以，，所以，平面.
（2）正方体中，四边形是正方形，
又F、M分别为、中点，
所以，，，
所以，
，
即.①
正方体中，平面，平面，所以.②
由①②及，且，平面，所以，平面，
又平面，所以，平面平面.
【变式1】（2022秋·重庆九龙坡·高二重庆实验外国语学校校考期末）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的菱形，，
(1)求线段的长；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）设，则，
∵，则.
∵，∴.
故线段的长为.
（2）证明：∵，∴.
故.
【变式2】（2022秋·河南周口·高二校考阶段练习）如图，正方体的棱长为．
(1)求和的夹角；
(2)求证：．
【答案】(1)60°
(2)证明见解析
【详解】（1），，．
由于正方体的棱长为a，
，且，，．
，，
．
又，，
．
又，
，
与的夹角为60°．
（2）证明：由（1）知，，
，
，
．
题型07重点方法篇（利用极化恒等式求数量积最值）
【典例1】（2023春·高二课时练习）已知正四棱柱中，底面边长，，是长方体表面上一点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】取中点，
则，
当为侧面中点时，；的最大值为体对角线的一半，
又，，
即的取值范围为.
故选：B.
【典例2】（2023秋·江西萍乡·高三统考期末）已知球是棱长为1的正四面体的内切球，为球的一条直径，点为正四面体表面上的一个动点，则的取值范围为_______________.
【答案】
【详解】
如图所示，在边长为1的正四面体中，设四面体内切球球心为，
内切球半径为，取中点为，
则,,所以，
因为，
所以，所以，
因为点P为正四面体表面上的一个动点，
所以，即，
因为,
因为为球O的一条直径，所以,
所以，
因为，所以，
所以，
故答案为: .
【变式1】（2023秋·重庆·高二校联考期末）已知是棱长为8的正方体外接球的一条直径，点在正方体的棱上运动，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．0
【答案】C
【详解】如图，是棱长为8的正方体外接球的一条直径，即正方体的一条体对角线，
由正方体的特征可得其外接球半径为 ,
设外接球球心为O，则
,
由于点M在正方体的棱上运动,故的最小值为球心O和棱的中点连线的长，
即为正方体面对角线的一半，为，
所以 的最小值为，
故选：C
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·高二课时练习）在正四面体ABCD中，与的夹角等于（ ）
A．30°B．60°C．150°D．120°
【答案】D
【详解】由正四面体每个面都是正三角形可知，
故选：D
2．（2023春·高二课时练习）平行六面体中，，，则的长为（ ）
A．10B．C．D．
【答案】B
【详解】如图，
由题知，,
，，
.
，
，
即的长为.
故选：B
3．（2023春·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）在正四面体中，棱长为1，且D为棱的中点，则的值为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
如图，因为D为棱的中点，所以，
，
由正四面体得性质，与的夹角为60°，同理与的夹角为60°，，，
故，
故选：D.
4．（2023秋·广东揭阳·高二统考期末）在空间四边形中，等于（ ）
A．B．0C．1D．不确定
【答案】B
【分析】令，利用空间向量的数量积运算律求解.
【详解】令，
则，
，
.
故选：B
5．（2023春·高二课时练习）已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【详解】
.
故选：B
6．（2023秋·河南新乡·高二统考期末）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，，则（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】C
【详解】
连接，由棱柱性质，侧棱平面，平面，则，
故，又，
.
故选：C
7．（2023春·福建莆田·高二莆田第二十五中学校考期中）在空间，已知，为单位向量，且，若，，，则实数k的值为（ ）
A．－6B．6
C．3D．－3
【答案】B
【详解】由题意可得，，，
所以，即2k－12＝0，得k＝6.
故选：B.
8．（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】，，与夹角的余弦值为，
在上的投影向量为
.
故选：D．
二、多选题
9．（2023秋·河北邢台·高二邢台一中校考期末）如图，在三棱柱中，分别是上的点，且.设，若，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【详解】因为，，
所以，，
所以故A错误；
因为，，，
所以，
所以，故B正确；
因为，
所以，故C错误；
因为，，
所以
因为，
所以，，
所以，
所以，故D正确.
故选：BD.
10．（2023春·高二课时练习）已知为正方体，则下列说法正确的有（ ）
A．；
B．；
C．与的夹角为；
D．在面对角线中与直线所成的角为的有8条
【答案】ABD
【详解】如图所示：
A. 由向量的加法运算得，因为 ，所以，故正确；
B. 正方体的性质易知，所以，故正确；
C. 因为是等边三角形，且 ，所以，则与的夹角为，故错误；
D. 由正方体的性质得过的面对角线与直线所成的角都为，这样有4条，然后相对侧面与之平行的对角线还有4条，共8条，故正确；
故选：ABD
三、填空题
11．（2023秋·湖南衡阳·高二校考期末）如图，在直三棱柱中，，、分别为棱、的中点，则______.
【答案】
【详解】因为平面，平面，则，同理可知，
所以，
.
故答案为：.
12．（2023秋·山东菏泽·高二统考期末）如图所示，在平行六面体中，，，，为棱的中点，则______．
【答案】/
【详解】
向量的拆分，，
又，，由此可得，
∴．
故答案为：
四、解答题
13．（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB， AB＝BC＝a， PA＝b.试确定在直线AB上的投影向量，并求.
【答案】，
【详解】因为．
又，
所以在上的投影向量为：.
14．（2023春·高二课时练习）已知：如图，OB是平面α的斜线，O为斜足，，A为垂足，，且．求证：．
【答案】证明见解析
【详解】因为，所以，
因为，，所以，．
又，所以，
故．
B能力提升
1．（2023·全国·高一专题练习）已知点P在棱长为2的正方体表面上运动，AB是该正方体外接球的一条直径，则 的最小值为（ ）
A．2B．3C．1D．0
【答案】A
【详解】由题意可得正方体外接球的直径 ，设点O为正方体外接球的球心，则O为AB的中点，且，
，
由 ， 的最小值为.
故选︰A．
2．（2023春·江苏常州·高二华罗庚中学校考阶段练习）如图已知矩形，沿对角线将折起，当二面角的余弦值为时，则B与D之间距离为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【详解】解：过和分别作，，
在矩形，，
，
，
则，即，
平面与平面所成角的余弦值为，
,，
，
，，
则，
即与之间距离为，
故选：C．
3．（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设.
(1)试用向量表示向量；
(2)若，求的值.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）因为点为的中点，所以，
因为，所以，
所以，
所以；
（2）由（1）得，
因为，，
所以
.
4．（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥中，平面，，，．
(1)确定在平面上的投影向量，并求；
(2)确定在上的投影向量，并求．
【答案】(1)在平面上的投影向量为，；
(2)在上的投影向量为，.
【详解】（1）因为平面，所以在平面上的投影向量为，
因为平面，面，可得，所以，
因为，所以，
所以
.
（2）由（1）知：，，
所以在上的投影向量为：
，
由数量积的几何意义可得：.
C综合素养
1．（2023春·江苏南京·高二南京市人民中学校考阶段练习）如图，三棱锥各棱的棱长是1，点是棱的中点，点在棱上，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【详解】根据题意，在中， ，
所以
所以==
则时，取得最小值，
则的最小值为.
故选：B
2．（多选）（2023春·高二课时练习）在三维空间中，定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：①，，且，和构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指､食指､中指的指向一致，如图所示）；②的模（表示向量，的夹角）.在正方体中，有以下四个结论，正确的有（ ）
A．B．
C．与共线D．与正方体体积数值相等
【答案】ACD
【详解】设正方体棱长为1，
对于，，，
所以，所以对；
对于，由，和构成右手系知，与方向相反，
即，所以错；
对于，，平面，
平面，，
再由右手系知，与共线，所以对；
对于， ，
正方体体积为1，所以对．
故选：．
3．（2023春·上海杨浦·高二上海市控江中学校考期中）在空间中，是一个定点，给定的三个不共面的向量，且它们两两之间的夹角都是锐角.若向量满足，，，则满足题意的点的个数为__________.
【答案】
【详解】，故，，，
故点在与垂直，且到的距离为的平面上，共两个平面；
同理得到：
故点在与垂直，且到的距离为的平面上，共两个平面；
故点在与垂直，且到的距离为的平面上，共两个平面.
个两两平行的平面共有个交点，故满足条件的共有个.
故答案为：
4．（2023春·四川凉山·高二宁南中学校考阶段练习）如图，AB为圆柱下底面圆O的直径，C是下底面圆周上一点，已知，，圆柱的高为5．若点D在圆柱表面上运动，且满足，则点D的轨迹所围成图形的面积为________．
【答案】10
【详解】作母线，，连接，
因为，所以共面，是圆柱的一个截面，
平面，平面，所以，
又由已知得，而，平面，
所以平面，
由得，所以平面，
矩形即为点轨迹，
，则，又，
所以矩形的面积为．
故答案为：10.
5．（2023春·江苏常州·高二常州市第一中学校考阶段练习）平行六面体的底面是菱形，且.当的值为______时，能使平面
【答案】1
【详解】解：如图所示：
设，，则，
因为平面，
平面，所以，
，，
由，得，
即，
又因为，
则有，即，
解得或(舍去)，
因此当时，能使平面.
故答案为：1
课程标准
学习目标
①会进行空间向量的线性运算，空间向量的数量积，空间向量的夹角的相关运算.
1、掌握空间向量的夹角的概念，培养数学抽象的核心素养．
2、掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律，提升数学抽象的核心素养．
3、了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义，培养直观想象的核心素养．
4、能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题，强化数学运算的核心素养.
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