人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程练习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程练习题，文件包含22直线的方程原卷版docx、22直线的方程解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共50页， 欢迎下载使用。

思维导图





新课标要求


根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）。





知识梳理


1.直线的点斜式方程


2.直线的斜截式方程





3.直线的两点式方程和截距式方程





4.线段的中点坐标公式


若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设P(x，y)是线段P1P2的中点，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2).))


5.直线的一般式方程


6.直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系





3.2.1 直线的点斜式方程


名师导学


知识点1 求直线的点斜式方程


【例1-1】（2019·南京校级模拟）根据条件写出下列直线的点斜式方程：


(1)过点A(－4，3)，斜率k＝3；


(2)经过点B(－1，4)，倾斜角为135°；


(3)过点C(－1，2)，且与y轴平行；


(4)过点D(2，1)和E(3，－4)．


【分析】求直线的点斜式方程的思路





【解答】 (1)由点斜式方程可知，所求直线方程为：y－3＝3[x－(－4)]．


(2)由题意知，直线的斜率k＝tan 135°＝－1，故所求直线的方程为y－4＝－(x＋1)．


(3)∵直线与y轴平行，斜率不存在，∴直线的方程不能用点斜式表示，由于直线上所有点的横坐标都是－1，


故这条直线的方程为x＝－1.


(4)∵直线过点D(2，1)和E(3，－4)，


∴斜率k＝eq \f(－4－1,3－2)＝－5.


由点斜式得y－1＝－5(x－2)．


【变式训练1-1】（2019·蜀山区校级月考）根据条件写出下列直线的点斜式方程：


(1)经过点A(2，5)，斜率是4；


(2)经过点B(2，3)，倾斜角是45°；


(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行．


【解析】 (1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－5＝4(x－2)；


(2)∵直线的斜率k＝tan 45°＝1，


∴直线方程为y－3＝x－2；


(3)y＝－1.





知识点2 直线的斜截式方程


【例2-1】（2019·菏泽调研）根据条件写出下列直线的斜截式方程．


(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；


(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；


(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.


【分析】直线的斜截式方程的求解策略：


(1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y轴上的截距，代入方程即可．


(2)当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和截距，再写出直线的斜截式方程．


【解答】 (1)由直线方程的斜截式可知，


所求直线方程为y＝2x＋5.


(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝－eq \f(\r(3),3).


由斜截式可得方程为y＝－eq \f(\r(3),3)x－2.


(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan 60°＝eq \r(3).


∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，


∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.


∴所求直线方程为y＝eq \r(3)x＋3或y＝eq \r(3)x－3.


【变式训练2-1】（2020·宁波校级月考）写出下列直线的斜截式方程：


(1)直线斜率是3，在y轴上的截距是－3；


(2)直线倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；


(3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2.


【解析】 (1)由直线方程的斜截式可知，所求方程为y＝3x－3.


(2)∵k＝tan 60°＝eq \r(3)，∴y＝eq \r(3)x＋5.


(3)∵直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2，


∴直线过点(4，0)和(0，－2)．


∴k＝eq \f(－2－0,0－4)＝eq \f(1,2)，


∴y＝eq \f(1,2)x－2.





知识点3 点斜式、斜截式方程的综合应用


【例3-1】（2020春·新华区校级期末）(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？


(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？


【分析】在解决有关直线位置关系的问题时，常常用到数形结合思想和待定系数法．数形结合思想是一种可使复杂问题简单化、抽象问题具体化的常用的数学思想方法．而待定系数法是解析几何中求直线方程或其他曲线方程的重要方法．





【解答】(1)∵l1∥l2，∴a2－2＝－1，


又2a≠2，解得a＝－1.


(2)∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，解得a＝eq \f(3,8).


【变式训练3-1】（2020·黄冈期末）求证：不论m为何值，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限．


【证明】 法一 直线l的方程可化为y－3＝(m－1)(x＋2)，


∴直线l过定点(－2，3)，


由于点(－2，3)在第二象限，故直线l总过第二象限．


法二 直线l的方程可化为m(x＋2)－(x＋y－1)＝0.


令eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2＝0，,x＋y－1＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝3.))


∴无论m取何值，直线l总经过点(－2，3)．


∵点(－2，3)在第二象限，∴直线l总过第二象限．


【变式训练3-2】（2020春·赤峰期末）是否存在过点(－5，－4)的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5?


【解析】 假设存在过点(－5，－4)的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5.由题意可知，直线l的斜率一定存在且不为零，设直线的斜率为k(k≠0)，则直线方程为y＋4＝k(x＋5)，则分别令y＝0，x＝0，可得直线l与x轴的交点为(eq \f(－5k＋4,k)，0)，与y轴的交点为(0，5k－4)．因为直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为5，


所以eq \f(1,2)|eq \f(－5k＋4,k)|·|5k－4|＝5，所以eq \f(－5k＋4,k)·(5k－4)＝±10，即25k2－30k＋16＝0(无解)或25k2－50k＋16＝0，所以k＝eq \f(8,5)或k＝eq \f(2,5)，


所以存在直线l满足题意，直线l的方程为y＋4＝eq \f(8,5)(x＋5)或y＋4＝eq \f(2,5)(x＋5).








名师导练


A组-[应知应会]


1．（2020春·宣城期末）过点，斜率是的直线方程是（ ）


A．B．C．D．


【答案】C


【解析】∵直线过点且斜率为，


由直线方程的点斜式得：，


整理得：.


故选C.


2．（2020春·绵阳期末）已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则( )


A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1


B直线经过点(2，－1)，斜率为－1


C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1


D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1


【答案】C


【解析】方程可化为y－(－2)＝－[x－(－1)]，所以直线过点(－1，－2)，斜率为－1.选C.


3．（2020春·上饶期末）直线y＝eq \r(3)(x－eq \r(3))的斜率与在y轴上的截距分别是( )


A．eq \r(3)，eq \r(3) B．eq \r(3)，－3 C．eq \r(3)，3 D．－eq \r(3)，－3


【答案】B


【解析】由直线方程知直线斜率为eq \r(3)，令x＝0可得在y轴上的截距为y＝－3.故选B.


4．（2020春·通州区期末）直线y＝kx＋b经过第一、三、四象限，则有( )


A．k>0，b>0 B．k>0，b<0


C．k<0，b>0 D．k<0，b<0


【答案】 B


【解析】 ∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0.





5．（2020春·龙凤区校级期末）过点且与直线垂直的直线l的方程是（ ）


A．B．C．D．


【答案】D


【解析】因为所求直线与直线垂直，


所以其斜率为，


又所求直线过点，


因此，所求直线方程为：，即.


故选D.


6．（2020春·南关区校级期末）已知直线过点，且与直线平行，则直线的方程为（ ）


A．B．C．D．


【答案】C


【解析】直线与直线平行，


直线的斜率与的斜率相等，即直线的斜率：；


又直线过点，


则由点斜式可知直线方程为


整理可得：


故选C.


7．（2020春·兴庆区校级期末）直线y＝2x－5在y轴上的截距是________．


【答案】 －5


【解析】 ∵令x＝0，则y＝－5，


∴直线y＝2x－5在y轴上的截距是－5.


8．（2020春·无锡期末）在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线方程是________．


【答案】 y＝eq \r(3)x－6或y＝－eq \r(3)x－6


【解析】 与y轴相交成30°角的直线方程的斜率为：


k＝tan 60°＝eq \r(3)，或k＝tan 120°＝－eq \r(3)，


∴y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线方程是：y＝eq \r(3)x－6或y＝－eq \r(3)x－6.


9．（2020春·金牛区校级期末）与直线l：y＝eq \f(3,4)x＋1平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l1的方程为________．


【答案】 y＝eq \f(3,4)x－3


【解析】 根据题意知直线l的斜率k＝eq \f(3,4)，


故直线l1的斜率k1＝eq \f(3,4).


设直线l1的方程为y＝eq \f(3,4)x＋b，


则令y＝0，得它在x轴上的截距a＝－eq \f(4,3)b.


∵a＋b＝－eq \f(4,3)b＋b＝－eq \f(1,3)b＝1，


∴b＝－3.


∴直线l1的方程为y＝eq \f(3,4)x－3.


10．（2020春·南岗区校级期末）斜率为eq \f(3,4)，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程是________．


【答案】 y＝eq \f(3,4)x±3


【解析】 设所求直线方程为y＝eq \f(3,4)x＋b，


令y＝0得x＝－eq \f(4b,3).


由题意得：|b|＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)b))＋eq \r(b2＋\f(16b2,9))＝12，


即|b|＋eq \f(4,3)|b|＋eq \f(5,3)|b|＝12，


即4|b|＝12，∴b＝±3，


∴所求直线方程为y＝eq \f(3,4)x±3.


11．（2020春·金华校级月考）写出下列直线的斜截式方程：


(1)直线的倾斜角为45°且在y轴上的截距是2；


(2)直线过点A(3，1)且在y轴上的截距是－1.


【解析】 (1)斜率k＝tan 45°＝1，可得斜截式：y＝x＋2.


(2)k＝eq \f(－1－1,0－3)＝eq \f(2,3)，可得斜截式方程：y＝eq \f(2,3)x－1.


12．（2020春·洛龙区校级期末）(1)求经过点(1，1)，且与直线y＝2x＋7平行的直线的点斜式方程；


(2)求经过点(－2，－2)，且与直线y＝3x－5垂直的直线的斜截式方程．


【解析】 (1)∵所求直线与直线y＝2x＋7平行，


∴所求直线斜率为2，


由点斜式方程可得


y－1＝2(x－1)．


(2)∵所求直线与直线y＝3x－5垂直，


∴所求直线的斜率为－eq \f(1,3)，由点斜式方程得：


y＋2＝－eq \f(1,3)(x＋2)，


即y＝－eq \f(1,3)x－eq \f(8,3).


故所求的直线方程为y＝－eq \f(1,3)x－eq \f(8,3).





B组-[素养提升]


1．（2020春·诸暨市校级期中）已知三角形的顶点坐标是A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，试求这个三角形的三条边所在直线的斜截式方程．


【解析】 直线AB的斜率kAB＝eq \f(－3－0,3－（－5）)＝－eq \f(3,8)，又过点A(－5，0)，∴直线AB的点斜式方程为y＝－eq \f(3,8)(x＋5)，


即所求边AB所在直线的斜截式方程为y＝－eq \f(3,8)x－eq \f(15,8).


同理，直线BC的方程为y－2＝－eq \f(5,3)x，即y＝－eq \f(5,3)x＋2.


直线AC的方程为y－2＝eq \f(2,5)x，即y＝eq \f(2,5)x＋2.


∴边AB，BC，AC所在直线的斜截式方程分别为y＝


－eq \f(3,8)x－eq \f(15,8)，y＝－eq \f(5,3)x＋2，y＝eq \f(2,5)x＋2.


3.2.2 直线的两点式方程


名师导学


知识点1 直线的两点式方程


【例1-1】（2020春·武侯区校级期末）已知三角形的顶点是A(1，3)，B(－2，－1)，C(1，－1)，求这个三角形三边所在直线的方程．


【分析】当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．


【解答】直线AB过A(1，3)，B(－2，－1)，其两点式方程为eq \f(y－3,－1－3)＝eq \f(x－1,－2－1)，整理，得4x－3y＋5＝0，这就是直线AB的方程．直线AC垂直于x轴，其方程为x＝1.直线BC平行于x轴，其方程为y＝－1.





【变式训练1-1】（2020·开江县校级开学考）过(1，1)，(2，－1)两点的直线方程为 ( )


A．2x－y－1＝0 B．x－2y＋3＝0


C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0


【答案】C


【解析】∵直线过两点(1，1)和(2，－1)，∴直线的两点式方程为eq \f(y－（－1）,1－（－1）)＝eq \f(x－2,1－2)，整理得2x＋y－3＝0，故选C.





知识点2 直线的截距式方程


【例2-1】（2020·诸暨市校级期中）求过点A(3，4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程．


【分析】如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m>0)”等条件时，采用截距式求直线方程，一定要注意考虑“零截距”的情况．


【解答】(1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－a)＝1.又l过点A(3，4)，所以eq \f(3,a)＋eq \f(4,－a)＝1，解得a＝－1.


所以直线l的方程为eq \f(x,－1)＋eq \f(y,1)＝1，


即x－y＋1＝0.


(2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，因为l过点A(3，4)，所以4＝k·3，解得k＝eq \f(4,3)，直线l的方程为y＝eq \f(4,3)x，即4x－3y＝0.


综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0.


【变式训练2-1】若将例2-1中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？


【解析】(1)当截距不为0时，设


直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1，又知l过(3，4)，


∴eq \f(3,a)＋eq \f(4,a)＝1，解得a＝7，


∴直线l的方程为x＋y－7＝0.


(2)当截距为0时，直线方程为y＝eq \f(4,3)x，即4x－3y＝0.


综上，直线l的方程为x＋y－7＝0或4x－3y＝0.





知识点3 直线的综合应用


【例3-1】（2020春·沭阳县校级期中）已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．


【分析】(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率．


(2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距．


(3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程．


(4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决．


【解答】如图，过B(3，－3)，C(0，2)的两点式方程为eq \f(y－2,－3－2)＝eq \f(x－0,3－0)，





整理得5x＋3y－6＝0.


这就是BC边所在直线的方程．


BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为(eq \f(3＋0,2)，eq \f(－3＋2,2))，


即(eq \f(3,2)，－eq \f(1,2))．过A(－5，0)，M(eq \f(3,2)，－eq \f(1,2))的直线的方程为eq \f(y－0,－\f(1,2)－0)＝eq \f(x＋5,\f(3,2)＋5)，即x＋13y＋5＝0.


这就是BC边上中线所在直线的方程．


【变式训练3-1】（2020春·天心区校级期末）求过点A(4，2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程．


【解析】当直线过原点时，它在x轴、y轴上的截距都是0，满足题意．


此时，直线的斜率为eq \f(1,2)，所以直线l的方程为y＝eq \f(1,2)x，即x－2y＝0.


当直线不过原点时，由题意可设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1.


又因为过点A，所以eq \f(4,a)＋eq \f(2,b)＝1. ①


因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，


所以|a|＝|b|. ②


由①②联立方程组，


解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝6，,b＝6))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－2.))


所以所求直线的方程为eq \f(x,6)＋eq \f(y,6)＝1或eq \f(x,2)＋eq \f(y,－2)＝1，


化简得直线l的方程为x＋y＝6或x－y＝2，


即直线l的方程为x＋y－6＝0或x－y－2＝0，


综上，直线l的方程为x－2y＝0或x＋y－6＝0或x－y－2＝0.








名师导练


A组-[应知应会]


1．（2020春·锡山区校级期中）过两点(－2，1)和(1，4)的直线方程为 ( )


A．y＝x＋3 B．y＝－x＋1


C．y＝x＋2 D．y＝－x－2


【解析】 代入两点式得直线方程eq \f(y－1,4－1)＝eq \f(x＋2,1＋2)，整理得y＝x＋3.


【答案】 A


2．（2020·红桥区期中）经过P(4，0)，Q(0，－3)两点的直线方程是 ( )


A.eq \f(x,4)＋eq \f(y,3)＝1 B.eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)＝1


C.eq \f(x,4)－eq \f(y,3)＝1 D.eq \f(x,3)－eq \f(y,4)＝1


【解析】 由P，Q两点坐标知直线在x轴、y轴上的截距分别为4，－3，所以直线方程为eq \f(x,4)＋eq \f(y,－3)＝1，即eq \f(x,4)－eq \f(y,3)＝1.


【答案】 C


3．（2020春·江宁区校级月考）过点P(4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有 ( )


A．1条 B．2条 C．3条 D．4条


【解析】 当直线过原点时显然符合条件；当直线不过原点时，设所求直线的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1，把点P(4，－3)代入方程得a＝1.因而所求直线有2条．


【答案】 B


4．（2020春·临泉县校级月考）经过两点(5，0)，(2，－5)的直线方程为 ( )


A．5x＋3y－25＝0 B．5x－3y－25＝0


C．3x－5y－25＝0 D．5x－3y＋25＝0


【解析】 经过两点(5，0)，(2，－5)的直线方程为：


eq \f(y－0,－5－0)＝eq \f(x－5,2－5)，整理，得5x－3y－25＝0.


故选B.


【答案】 B


5．（2020春·朝阳区校级月考）已知直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是( )


A．1 B．－1


C．－2或－1 D．－2或1


【解析】 显然a≠0.把直线l：ax＋y－2＝0化为eq \f(x,\f(2,a))＋eq \f(y,2)＝1.


∵直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，


∴eq \f(2,a)＝2，解得a＝1，故选A.


【答案】 A


6．（2019·庐江县校级期末）点M(4，m)关于点N(n，－3)的对称点为P(6，－9)，则 ( )


A．m＝－3，n＝10 B．m＝3，n＝10


C．m＝－3，n＝5 D．m＝3，n＝5


【解析】 ∵M(4，m)关于点N(n，－3)的对称点为P(6，－9)，∴eq \f(4＋6,2)＝n，eq \f(m－9,2)＝－3；


∴n＝5，m＝3，故选D.


【答案】 D


7．（2020春·海淀区校级期末）已知A(2，－1)，B(6，1)，则在y轴上的截距是－3，且经过线段AB中点的直线方程为________．


【解析】 由于A(2，－1)，B(6，1)，故线段AB中点的坐标为(4，0)，


又直线在y轴上的截距是－3，


∴直线方程为eq \f(x,4)－eq \f(y,3)＝1，即3x－4y－12＝0.


【答案】 3x－4y－12＝0


8．（2020春·红岗区校级期末）过点P(3，2)，且在坐标轴上截得的截距相等的直线方程是________．


【解析】 当直线过原点时，斜率等于eq \f(2－0,3－0)＝eq \f(2,3)，故直线的方程为y＝eq \f(2,3)x，即2x－3y＝0.


当直线不过原点时，设直线的方程为x＋y＋m＝0，把P(3，2)代入直线的方程得m＝－5，


故求得的直线方程为x＋y－5＝0，


综上，满足条件的直线方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.


【答案】 2x－3y＝0或x＋y－5＝0


9．（2020春·兴庆区校级期末）求经过点A(－2，3)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．


【解】 (1)当横截距、纵截距都是零时，


设所求的直线方程为y＝kx，将(－2，3)代入y＝kx中，得k＝－eq \f(3,2)，


此时，直线方程为y＝－eq \f(3,2)x，即3x＋2y＝0.


(2)当横截距、纵截距都不是零时，


设所求直线方程式为eq \f(x,2a)＋eq \f(y,a)＝1，


将(－2，3)代入所设方程，解得a＝2，此时，直线方程为x＋2y－4＝0.


综上所述，所求直线方程为x＋2y－4＝0或3x＋2y＝0.


10．（2020春·城关区校级期末）求经过点A(－2，3)，B(4，－1)的直线的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式．


【解】 过A，B两点的直线的两点式方程是eq \f(y＋1,3＋1)＝eq \f(x－4,－2－4).


点斜式为：y＋1＝－eq \f(2,3)(x－4)，斜截式为：y＝－eq \f(2,3)x＋eq \f(5,3)，截距式为：eq \f(x,\f(5,2))＋eq \f(y,\f(5,3))＝1.





B组-[素养提升]


1．（2020春·鼓楼区校级期末）两条直线l1：eq \f(x,a)－eq \f(y,b)＝1和l2：eq \f(x,b)－eq \f(y,a)＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )





【解析】 化为截距式eq \f(x,a)＋eq \f(y,－b)＝1，eq \f(x,b)＋eq \f(y,－a)＝1.


假定l1的位置，判断a，b的正负，从而确定l2的位置，知A项符合．


【答案】 A


2.（2020春·秦州区校级期末）直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是 ( )


A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,5))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))∪(1，＋∞)


C．(－∞，1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，＋∞)) D．(－∞，－1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))


【解析】 设直线的斜率为k，如图，过定点A的直线经过点B(3，0)时，直线l在x轴上的截距为3，此时k＝－1；过定点A的直线经过点C(－3，0)时，直线l在x轴的截距为－3，此时k＝eq \f(1,2)，满足条件的直线l的斜率范围是(－∞，－1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).





【答案】 D


3．（2020春·金湖县校级期中）垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上的截距是________．


【解析】 设直线方程是4x＋3y＋d＝0，分别令x＝0和y＝0，得直线在两坐标轴上的截距分别是－eq \f(d,3)，－eq \f(d,4)，∴6＝eq \f(1,2)×|－eq \f(d,3)|×|－eq \f(d,4)|＝eq \f(d2,24)，∴d＝±12，则直线在x轴上的截距为3或－3.


【答案】 3或－3


4．（2020春·启东市校级月考）已知A(3，0)，B(0，4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．


【解析】 直线AB的方程为eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)＝1，设P(x，y)，则x＝3－eq \f(3,4)y，


∴xy＝3y－eq \f(3,4)y2＝eq \f(3,4)(－y2＋4y)＝eq \f(3,4)[－(y－2)2＋4]≤3，


即当P点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))时，xy取得最大值3.


【答案】 3


5．（2019秋·杨浦区校级期末）在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7，3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：


(1)顶点C的坐标；(2)直线MN的方程．


【解】 (1)设C(x0，y0)，则AC边的中点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x0＋5,2)，\f(y0－2,2)))，BC边的中点为Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x0＋7,2)，\f(y0＋3,2))).


因为M在y轴上，所以eq \f(x0＋5,2)＝0，得x0＝－5.又因为N在x轴上，所以eq \f(y0＋3,2)＝0，


所以y0＝－3.所以C(－5，－3)．


(2)由(1)可得Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(5,2)))，N(1，0)，


所以直线MN的方程为eq \f(x,1)＋eq \f(y,－\f(5,2))＝1，


即5x－2y－5＝0.


3.2.3 直线的一般式方程


名师导学


知识点1 直线的一般式方程与其他形式的转化


【例1-1】（2020·水富市校级期末）(1)下列直线中，斜率为－eq \f(4,3)，且不经过第一象限的是( )


A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0


C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0


(2)直线eq \r(3)x－5y＋9＝0在x轴上的截距等于( )


A.eq \r(3) B．－5 C.eq \f(9,5) D．－3eq \r(3)


【分析】(1)当A≠0时，方程可化为x＋eq \f(B,A)y＋eq \f(C,A)＝0，只需求eq \f(B,A)，eq \f(C,A)的值；若B≠0，则方程化为eq \f(A,B)x＋y＋eq \f(C,B)＝0，只需确定eq \f(A,B)，eq \f(C,B)的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．


(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．


【解答】(1)将一般式化为斜截式，斜率为－eq \f(4,3)的有：B、C两项．


又y＝－eq \f(4,3)x＋14过点(0，14)即直线过第一象限，


所以只有B项满足要求．


(2)令y＝0，则x＝－3eq \r(3).


【变式训练1-1】（2020·包河区校级期末）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．


(1)斜率是eq \r(3)，且经过点A(5，3)；


(2)斜率为4，在y轴上的截距为－2；


(3)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点；


(4)在x，y轴上的截距分别是－3，－1.


【解析】(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为：y－3＝eq \r(3)(x－5)，化为一般式为：eq \r(3)x－y＋3－5eq \r(3)＝0.


(2)由斜截式方程可知，所求直线方程为：y＝4x－2，


化为一般式为：4x－y－2＝0.


(3)由两点式方程可知，所求直线方程为：eq \f(y－5,－1－5)＝eq \f(x－（－1）,2－（－1）).


化为一般式方程为：2x＋y－3＝0.


(4)由截距式方程可得，所求直线方程为eq \f(x,－3)＋eq \f(y,－1)＝1，化成一般式方程为：x＋3y＋3＝0.





知识点2 直线的一般式方程的应用


【例2-1】（2019·上虞区期末）(1)若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一条直线，则实数m满足________．


(2)已知方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1表示直线．当m＝____________时，直线的倾斜角为45°；当m＝____________时，直线在x轴上的截距为1.


【解析】(1)若方程不能表示直线，则m2＋5m＋6＝0且m2＋3m＝0.


解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2＋5m＋6＝0，,m2＋3m＝0，))得m＝－3，


所以m≠－3时，方程表示一条直线．


(2)因为已知直线的倾斜角为45°，


所以此直线的斜率是1，


所以－eq \f(2m2＋m－3,m2－m)＝1，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2－m≠0，,2m2＋m－3＝－（m2－m），))


解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m≠0且m≠1，,m＝－1或m＝1.))所以m＝－1.


因为已知直线在x轴上的截距为1，


令y＝0得x＝eq \f(4m－1,2m2＋m－3)，


所以eq \f(4m－1,2m2＋m－3)＝1，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2m2＋m－3≠0，,4m－1＝2m2＋m－3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m≠1且m≠－\f(3,2)，,m＝－\f(1,2)或m＝2.))


所以m＝－eq \f(1,2)或m＝2.


【例2-2】（2020·柳南区校级期末）已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：


(1)过点(－1，3)，且与l平行；


(2)过点(－1，3)，且与l垂直．


【解析】l的方程可化为y＝－eq \f(3,4)x＋3，


∴l的斜率为－eq \f(3,4).


法一 (1)∵l′与l平行，∴l′的斜率为－eq \f(3,4).


又∵l′过点(－1，3)，


由点斜式知方程为y－3＝－eq \f(3,4)(x＋1)，


即3x＋4y－9＝0.


(2)∵l′与l垂直，∴l′的斜率为eq \f(4,3)，又l′过点(－1，3)，


由点斜式可得方程为y－3＝eq \f(4,3)(x＋1)，


即4x－3y＋13＝0.


法二 (1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0.将点(－1，3)代入上式得m＝－9.


∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.


(2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0.


将(－1，3)代入上式得n＝13.


∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.


【变式训练2-1】（2020·佛山校级月考）已知直线l经过点P(2，1)，且与直线2x－y＋2＝0平行，那么直线l的方程是( )


A．2x－y－3＝0 B．x＋2y－4＝0


C．2x－y－4＝0 D．x－2y－4＝0


【解析】 由题意可设所求的方程为2x－y＋c＝0(c≠2)，


代入已知点(2，1)，可得4－1＋c＝0，即c＝－3，


故所求直线的方程为：2x－y－3＝0，故选A.


【答案】 A


【变式训练2-2】（2020·西湖区校级月考）设直线l1：(a＋1)x＋3y＋2＝0，直线l2：x＋2y＋1＝0.若l1∥l2，则a＝________；若l1⊥l2，则a＝________．


【解析】 直线l1：(a＋1)x＋3y＋2＝0，直线l2：x＋2y＋1＝0，分别化为：y＝－eq \f(a＋1,3)x－eq \f(2,3)，y＝－eq \f(1,2)x－eq \f(1,2).若l1∥l2，则－eq \f(a＋1,3)＝－eq \f(1,2)，解得a＝eq \f(1,2).


若l1⊥l2，则－eq \f(a＋1,3)×(－eq \f(1,2))＝－1，解得a＝－7.


【答案】 eq \f(1,2) －7





名师导练


A组-[应知应会]


1．（2020·芜湖校级月考）已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c通过( )


A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限


C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限


【解析】 由题意可把ax＋by＝c化为y＝－eq \f(a,b)x＋eq \f(c,b).


∵ab<0，bc＜0，∴直线的斜率k＝－eq \f(a,b)>0，


直线在y轴上的截距eq \f(c,b)<0.


由此可知直线通过第一、三、四象限．


【答案】 C


2．（2019·南岸区校级期末）过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )


A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0


C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0


【解析】 由题意，得所求直线斜率为eq \f(1,2)，且过点(1，0)．故所求直线方程为y＝eq \f(1,2)(x－1)，即x－2y－1＝0.


【答案】 A


3．（2020春·辽源期末）若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m等于( )


A．－1 B．1C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)


【解析】 由两直线垂直，得1×2＋(－2)m＝0，解得m＝1.


【答案】 B


4．（2020·宜兴县校级期中）直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是( )





【解析】 将l1与l2的方程化为斜截式得：


y＝ax＋b，y＝bx＋a，


根据斜率和截距的符号可得选C.


【答案】 C


5．（2019秋·城关区校级期末）直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角45°，则m的值为( )


A．－2 B．2 C．－3 D．3


【解析】 ∵直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角45°，当m2＝4时，与题意不符，∴eq \f(2m2－5m＋2,m2－4)＝tan 45°＝1，解得m＝3或m＝2(舍去)．


故选D.


【答案】 D


6．（2020·金凤区校级期末）若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0互相平行，那么a的值等于________．


【解析】 ∵直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0分别化为y＝－eq \f(a,2)x－eq \f(1,2)，y＝－x＋2，


则－eq \f(a,2)＝－1，


解得a＝2.


【答案】 2


7．（2020春·越秀区校级期末）已知过点A(－2，m)，B(m，4)的直线与直线2x＋y－1＝0互相垂直，则m＝________．


【解析】 因为两条直线垂直，直线2x＋y－1＝0的斜率为－2，所以过点A(－2，m)，B(m，4)的直线的斜率eq \f(4－m,m＋2)＝－eq \f(1,2)，解得m＝2.


【答案】 2


8．（2020春·凯里市校级期末）已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2，3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为________________．


【解析】 由条件知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a1＋3b1＋4＝0，,2a2＋3b2＋4＝0，))易知两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)都在直线2x＋3y＋4＝0上，即2x＋3y＋4＝0为所求．


【答案】 2x＋3y＋4＝0


9．（2020春·和平区校级期中）若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线．


(1)求实数m需满足的条件；


(2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值．


【解】 (1)由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2－3m＋2≠0，,m－2≠0，))解得m≠2.


(2)由题意知，m≠2，


由－eq \f(m2－3m＋2,m－2)＝1，解得m＝0.


10．（2020·如东县期中）(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；


(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？


【解】 法一 (1)由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，


l2：mx＋3y－2＝0知：


①当m＝0时，显然l1与l2不平行．


②当m≠0时，l1∥l2，需eq \f(2,m)＝eq \f(m＋1,3)≠eq \f(4,－2).


解得m＝2或m＝－3，∴m的值为2或－3.


(2)由题意知，直线l1⊥l2.


①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直．


②若2a＋3＝0，即a＝－eq \f(3,2)时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直．


③若1－a≠0，且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－eq \f(a＋2,1－a)，k2＝－eq \f(a－1,2a＋3).


当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，


即(－eq \f(a＋2,1－a))·(－eq \f(a－1,2a＋3))＝－1，


∴a＝－1.


综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.


法二 (1)令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2.


当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，


显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.


同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，


显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.


∴m的值为2或－3.


(2)由题意知直线l1⊥l2，


∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，


解得a＝±1，将a＝±1代入方程，均满足题意．


故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.


B组-[素养提升]


1．（2020·昌江区校级期末）若三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3能构成三角形，则a满足的条件是________．


【解析】 由直线x＋y＝0与x－y＝0都过(0，0)点，而x＋ay＝3不过(0，0)点，故只需满足x＋ay＝3不与x＋y＝0与x－y＝0平行即可，故a≠±1.


【答案】 a≠±1


2．（2020·河南校级月考）已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.


(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；


(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．


(1)【证明】 将直线l的方程整理为y－eq \f(3,5)＝a(x－eq \f(1,5))，∴l的斜率为a，且过定点A(eq \f(1,5)，eq \f(3,5))，而点A(eq \f(1,5)，eq \f(3,5))在第一象限，故不论a为何值，l恒过第一象限．


(2)【解】 当a＝0时，直线l的方程为5y－3＝0，不符合题意，故要使l不经过第二象限，需a>0且l在y轴上的截距不大于零，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>0，,－\f(a－3,5)≤0，))∴a≥3.


3．（2019·镜湖区校级期中）已知平面内两点A(8，－6)，B(2，2)．


(1)求AB的中垂线方程；


(2)求过点P(2，－3)且与直线AB平行的直线l的方程；


(3)一束光线从B点射向(2)中的直线l，若反射光线过点A，求反射光线所在直线的方程．


【解】 (1)因为eq \f(8＋2,2)＝5，eq \f(－6＋2,2)＝－2，


所以AB的中点坐标为(5，－2)．


因为kAB＝eq \f(－6－2,8－2)＝－eq \f(4,3)，


所以AB的中垂线的斜率为eq \f(3,4)，


故AB的中垂线的方程为y＋2＝eq \f(3,4)(x－5)


即3x－4y－23＝0.


(2)由(1)知kAB＝－eq \f(4,3)，


所以直线l的方程为y＋3＝－eq \f(4,3)(x－2)，


即4x＋3y＋1＝0.


(3)设B(2，2)关于直线l的对称点为B′(m，n)，


由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(n－2,m－2)＝\f(3,4)，,4×\f(m＋2,2)＋3×\f(n＋2,2)＋1＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－\f(14,5)，,n＝－\f(8,5)，))


所以B′(－eq \f(14,5)，－eq \f(8,5))，kB′A＝eq \f(－6＋\f(8,5),8＋\f(14,5))＝－eq \f(11,27)，


所以反射光线所在直线方程为y＋6＝－eq \f(11,27)(x－8)．


即11x＋27y＋74＝0.








点斜式
已知条件
点P(x0，y0)和斜率k
图示
方程形式
y－y0＝k(x－x0)
适用条件
斜率存在
斜截式
已知条件
斜率k和直线在y轴上的截距b
图示
方程式
y＝kx＋b
适用条件
斜率存在
名称
两点式
截距式
条件
两点P1(x1，y1)，


P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)
A(a，0)，B(0，b)且ab≠0
方程
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
形式
Ax＋By＋C＝0
条件
A，B不同时为0