人教A版高中数学(选择性必修第一册)同步讲义第04讲 1.3 空间向量及其运算的坐标表示（2份打包，原卷版+含解析）

第04讲 1.3 空间向量及其运算的坐标表示知识点01：空间向量的正交分解及其坐标表示1、空间直角坐标系空间直角坐标系及相关概念(1)空间直角坐标系：在空间选定一点 SKIPIF 1 < 0 和一个单位正交基底 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为原点，分别以 SKIPIF 1 < 0  的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴： SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 .(2)相关概念： SKIPIF 1 < 0 叫做原点， SKIPIF 1 < 0 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为 SKIPIF 1 < 0 平面、 SKIPIF 1 < 0 平面、 SKIPIF 1 < 0 平面，它们把空间分成八个部分．2、空间向量的坐标表示2.1空间一点的坐标：在空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为坐标向量，对空间任意一点 SKIPIF 1 < 0 ，对应一个向量 SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 的位置由向量 SKIPIF 1 < 0 唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 .在单位正交基底 SKIPIF 1 < 0 下与向量 SKIPIF 1 < 0  对应的有序实数组 SKIPIF 1 < 0 叫做点 SKIPIF 1 < 0 在此空间直角坐标系中的坐标，记作 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 叫做点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标， SKIPIF 1 < 0 叫做点 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标， SKIPIF 1 < 0 叫做点 SKIPIF 1 < 0 的竖坐标．2.2空间向量的坐标：在空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，给定向量 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 .由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 .有序实数组 SKIPIF 1 < 0 叫做 SKIPIF 1 < 0 在空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中的坐标，上式可简记作 SKIPIF 1 < 0 .【即学即练1】（2023春·高二课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 是空间的一个单位正交基底，向量 SKIPIF 1 < 0 用坐标形式可表示为________．【答案】 SKIPIF 1 < 0 【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 是空间的一个单位正交基底，则有 SKIPIF 1 < 0 .所以向量 SKIPIF 1 < 0 用坐标形式表示为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 知识点02：空间向量运算的坐标表示设 SKIPIF 1 < 0 ，空间向量的坐标运算法则如下表所示：知识点03：空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示1、两个向量的平行与垂直特别提醒：在 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 中，应特别注意，只有在 SKIPIF 1 < 0 与三个坐标平面都不平行时，才能写成 SKIPIF 1 < 0 .例如，若 SKIPIF 1 < 0 与坐标平面 SKIPIF 1 < 0 平行，则 SKIPIF 1 < 0 ，这样 SKIPIF 1 < 0 就没有意义了.【即学即练2】（2023春·四川成都·高二四川省成都列五中学校考阶段练习）已知两个空间向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为__________．【答案】 SKIPIF 1 < 0 【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 2、向量长度的坐标计算公式若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度3、两个向量夹角的坐标计算公式设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 【即学即练3】（2023春·高二课时练习）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .(1)求x，y，z的值；(2)求向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，设存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .∴所以 SKIPIF 1 < 0 .（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .∴向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .4、两点间的距离公式已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 题型01空间向量的坐标表示【典例1】（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）在空间直角坐标系中，已知三点 SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内，则点 SKIPIF 1 < 0 的坐标可能是（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【典例2】（多选）（2023·全国·高二专题练习）如图，在正三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 的边长为2，三棱柱的高为 SKIPIF 1 < 0 的中点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为原点，分别以 SKIPIF 1 < 0 的方向为 SKIPIF 1 < 0 轴､ SKIPIF 1 < 0 轴､ SKIPIF 1 < 0 轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【典例3】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考开学考试）已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的坐标是________.【变式1】（2023秋·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中，正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为1， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【变式2】（2023春·高二课时练习）若 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的坐标是___________.题型02空间向量的坐标运算【典例1】（2023春·高二课时练习）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求：(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3) SKIPIF 1 < 0 .【典例2】（2023春·高二课时练习）如图，在长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ．(1)写出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四点的坐标；(2)写出向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标．【变式1】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三向量共面，则实数 SKIPIF 1 < 0 等于（    ）A．4 B．5 C．6 D．7【变式2】（2023秋·高二课时练习）已知点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 点的坐标为（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 题型03空间向量数量积（坐标形式求空间向量的数量积）【典例1】（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）若向量 SKIPIF 1 < 0 ，满足条件 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C．1 D．2【典例2】（2023春·高二课时练习）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．求 SKIPIF 1 < 0 ．【变式1】（2023秋·广东深圳·高二统考期末）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【变式2】（2023秋·天津·高二统考期末）已知空间向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 题型04空间向量数量积（坐标形式求空间向量数量积的最值范围问题）【典例1】（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）在长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是棱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 内一动点，若直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 平行，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B．17 C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【典例2】（2023春·山东烟台·高二山东省烟台第一中学校考开学考试）正四面体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为2，动点 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的球面上，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（    ）A．2 B． SKIPIF 1 < 0  C．4 D． SKIPIF 1 < 0 【典例3】（2023·江苏·高二专题练习）在空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上运动，则当 SKIPIF 1 < 0 取得最小值时， SKIPIF 1 < 0 ______．【变式1】（2023秋·河南郑州·高二郑州市第九中学校考阶段练习）已知空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上运动，则当 SKIPIF 1 < 0 取得最小值时，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【变式2】（2023秋·上海徐汇·高二南洋中学校考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 是长方体外接球的一条直径，点P在长方体表面上运动，长方体的棱长分别为1、1、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为________.题型05空间向量的模（坐标形式求空间向量的模（距离，长度））【典例1】（2023春·江苏南京·高二南京市第五高级中学校考期中）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 等于（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D．5【典例2】（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，H为 SKIPIF 1 < 0 的中点．求| SKIPIF 1 < 0 |.【典例3】（2023秋·山东日照·高二统考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _____．【变式1】（2023秋·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为______.题型06空间向量的模（根据空间向量的模求参数）【典例1】（2023·全国·高二专题练习）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ____________．题型07空间向量的模（坐标形式求空间向量模的最值（范围）问题）【典例1】（2022·高二课时练习）已知正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为4，点 SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 的中点，动点 SKIPIF 1 < 0 在正方形 SKIPIF 1 < 0 内（包括边界）运动，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 长度的取值范围为（   ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【典例2】（2023·高二课时练习）如图，在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，求线段 SKIPIF 1 < 0 长的最小值．【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知单位空间向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．若空间向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且对于任意实数 SKIPIF 1 < 0 的最小值是2，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是_________．【变式1】（2023春·上海宝山·高二统考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是空间互相垂直的单位向量，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是______.【变式2】（2023·上海·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是空间两两垂直的单位向量， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为________．【变式3】（2023·江苏·高二专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为__________．题型08空间向量的夹角问题（坐标形式）【典例1】（2023秋·山东临沂·高二校考期末）已知空间向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【典例2】（2023春·江苏·高二南师大二附中校联考阶段练习）若向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0  D．2【典例3】（2023秋·高二课时练习）已知空间三点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角 SKIPIF 1 < 0 的大小是________．【典例4】（2023秋·河南周口·高二统考期末）已知向量 SKIPIF 1 < 0 (1)求 SKIPIF 1 < 0 ；(2)求向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值.【变式1】（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）若向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 等于（   ）.A．0 B． SKIPIF 1 < 0  C．0或 SKIPIF 1 < 0  D．0或 SKIPIF 1 < 0 【变式2】（2023春·甘肃白银·高二校考阶段练习）在空间直角坐标系中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值是______．【变式3】（2023秋·吉林辽源·高二校联考期末）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；(2)求向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值.题型09空间向量的投影向量（坐标形式）【典例1】（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为（    ）．A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【典例2】（2023春·江苏徐州·高二统考期中）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量的坐标是（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【变式1】（2023·全国·高二专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【变式2】（2023秋·广东广州·高二秀全中学校考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为（    ）A．1 B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 题型10空间向量的平行关系（坐标形式）【典例1】（2023·江苏·高二专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则（    ）A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 【典例2】（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）已知两个向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（    ）A．1 B．2 C．4 D．8【典例3】（2023·高二单元测试）向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______.【变式1】（2023秋·江西宜春·高二校考期末）设 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C．4 D．3【变式2】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 （    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 题型11空间向量的垂直关系（坐标形式）【典例1】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考开学考试）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互相垂直，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【典例2】（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，若向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直，求实数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的值；(3)若向量 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 共面向量，求 SKIPIF 1 < 0 的值．【典例3】（2023春·高二课时练习）已知点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；(2)求 SKIPIF 1 < 0 ；(3)若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直，求 SKIPIF 1 < 0 ．【变式1】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .(1)求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角余弦值；(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.【变式2】（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求实数 SKIPIF 1 < 0 的值；(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值．题型12易错题型根据空间向量成锐角（钝角）求参数【典例1】（多选）（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）若向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值可能为（    ）.A．4 B．5 C．6 D．7【典例2】（2023春·江苏宿迁·高二校考阶段练习）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为钝角，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为______.【典例3】（2023春·高二课时练习）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为钝角，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为________．【变式1】（2023春·高二课时练习）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角是钝角，则 SKIPIF 1 < 0 的值的取值范围为__________.【变式2】（2023春·高二课时练习）若 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角是锐角，则 SKIPIF 1 < 0 的值的取值范围为__________.1.3 空间向量及其运算的坐标表示A夯实基础 B能力提升 C综合素养A夯实基础 一、单选题1．（2023秋·山东滨州·高二统考期末）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 2．（2023·全国·高二专题练习）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （    ）A． SKIPIF 1 < 0  B．40 C．6 D．363．（2023春·江苏扬州·高二统考期中） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共面，则实数 SKIPIF 1 < 0 为（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 4．（2023·全国·高二专题练习）已知在空间单位正交基底下， SKIPIF 1 < 0 是空间的一组单位正交基底， SKIPIF 1 < 0 是空间的另一组基底.若向量 SKIPIF 1 < 0 在基底 SKIPIF 1 < 0 下的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 在基底 SKIPIF 1 < 0 下的坐标为（   ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 5．（2023春·吉林通化·高二梅河口市第五中学校考开学考试）设 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 6．（2023春·高二课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为120°，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 7．（2023·江苏·高二专题练习）已知长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，若棱 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 8．（2023·全国·高二专题练习）《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.在《九章算术》里，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知在“堑堵” SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 在“堑堵”的侧面 SKIPIF 1 < 0 上运动，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（    ）.A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 二、多选题9．（2023春·山东临沂·高二统考期末）空间中三点 SKIPIF 1 < 0 是坐标原点，则（    ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．点 SKIPIF 1 < 0 关于平面 SKIPIF 1 < 0 对称的点为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值是 SKIPIF 1 < 0 10．（2023·全国·高二专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 为钝角 D． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 三、填空题11．（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）已知向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _________， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量的坐标为______________．12．（2023·高三课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为钝角，则x的取值范围是___.四、解答题13．（2023春·高二课时练习）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .(1)求向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；(2)求向量 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值.14．（2023·江苏·高二专题练习）（1）已知向量 SKIPIF 1 < 0 .①计算 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ②求 SKIPIF 1 < 0 .（2）已知向量 SKIPIF 1 < 0 .①若 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 ；②若 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 .B能力提升 1．（2023秋·陕西西安·高二长安一中校考期末）在棱长为2的正方体 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 分别在棱 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（   ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D．12．（2023春·高二课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 取最小值时的 SKIPIF 1 < 0 值是（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 3．（2023春·江苏连云港·高二江苏省海头高级中学校考期中）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD， SKIPIF 1 < 0 ，M为PC上一动点， SKIPIF 1 < 0 ，若∠BMD为钝角，则实数t可能为（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 4．（2023秋·高二课时练习）已知O为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 ＝(1,2,3)， SKIPIF 1 < 0 ＝(2,1,2)， SKIPIF 1 < 0 ＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当 SKIPIF 1 < 0 取得最小值时，点Q的坐标为（ ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 5．（2023春·高二课时练习）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角为钝角，则实数 SKIPIF 1 < 0 的范围是______.C综合素养1．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．则MN的长的最小值为（    ）  A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 2．（2023·全国·高三专题练习）两个非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，定义 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________．3．（2023秋·江西吉安·高二江西省吉水县第二中学校考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值．(2)在线段AB上，是否存在一点E，使得 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（O为坐标原点）4．（2023·江苏·高二专题练习）在① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ，③ SKIPIF 1 < 0 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．问题：如图，在正方体 SKIPIF 1 < 0 ，中，以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，建立空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ．已知点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 上的动点， SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 上的动点，______，则是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由．课程标准学习目标①理解和掌握空间向量的坐标表示及意义②会用向量的坐标表达空间向量的相关运算③会求空间向量的夹角、长度以及有关平行、垂直的证明利用空间向量的坐标表示，将形与数有机结合，并能进行相关的计算与证明是学习空间向量及运算的关键.也是解决空间几何的重要手段与工具.运算坐标表示加法 SKIPIF 1 < 0 减法 SKIPIF 1 < 0 数乘 SKIPIF 1 < 0 数量积 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 平行（ SKIPIF 1 < 0 ） SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 垂直（ SKIPIF 1 < 0 ） SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 均非零向量）