九年级上册21.1 一元二次方程精品习题

这是一份九年级上册21.1 一元二次方程精品习题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

章末检测


(时间：90分钟 满分：100分)


一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）


1．下列方程中，一定是一元二次方程的是


A．2x2﹣+1=0 B．（x+2）（2x﹣1）=2x2


C．5x2﹣1=0 D．ax2+bx+c=0


2．一元二次方程的解是


A． B．


C． D．


3．方程的二次项系数、一次项系数及常数项的和是


A． B．


C． D．


4．关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根，则k的值为


A．k=﹣4 B．k=4


C．k≥﹣4 D．k≥4


5．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是


A．x2﹣2x＝5B．x2+4x＝5


C．2x2﹣4x＝5D．4x2+4x＝5


6．若一元二次方程的两个实数根分别是，则一次函数的图象一定不经过


A．第一象限B．第二象限


C．第三象限D．第四象限


7．定义运算：a⋆b=a（1-b），若a，b是方程x2-x+14m=0（m＜0）的两根，则b⋆b-a⋆a的值为


A．0 B．1


C．2 D．与m有关


8．某超市1月份营业额为90万元，1月、2月、3月总营业额为144万元，设平均每月营业额增长率为x，则下面所列方程正确的是


A．90（1+x）2=144 B．90（1-x）2=144


C．90（1+2x）=144 D．90（1+x）+90（1+x）2=144-90


9．已知：是关于的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰的两条边的边长，则的周长为


A． B．


C． D．或


10．如图，在ABC中，AC＝50 cm，BC＝40 cm，∠C＝90°，点P从点A开始沿AC边向点C以2 cm/s的速度匀速运动，同时另一点Q由点C开始以3 cm/s的速度沿着CB向点B匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，则当PCQ的面积等于300 cm2时，运动时间为





A．5 s B．20 s


C．5 s或20 s D．不确定


二、填空题（本大题共2小题，每小题3分，共12分）


11．若关于x的方程（a+2）x|a|﹣3x+2=0是一元二次方程，则a的值为__________．


12．已知方程的两根为、，则________．


13．方程2x–4=0的解也是关于x的方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值为__________．


14．“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到156个红包，则该群一共有_____人．


15．已知关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是__________．


16．如图是一个邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6 m.若矩形的面积为4 m2，则AB的长度是__________m．(可利用的围墙长度超过6 m)





三、解答题（本大题共9小题，共68分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）


17．（8分）解方程：


（1）(x-5)2=16；（直接开平方法） （2）x2+5x=0；（因式分解法）


（3）x2-4x+1=0；（配方法） （4）x2+3x-4=0.（公式法）



































18．（6分）如果关于的方程没有实数根，试判断关于的方程的根的情况.






































19．（6分）在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：a△b=a2﹣b2，根据这个规则：


（1）求4△3的值；


（2）求（x+2）△5=0中x的值．



































20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+x+m﹣1＝0．


（1）当m＝0时，求方程的实数根．


（2）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．






































21．（8分）列一元二次方程解应用题


某公司今年1月份的纯利润是20万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的纯利润是22.05万元．假设该公司2、3、4月每个月增长的利润率相同．


（1）求每个月增长的利润率；


（2）请你预测4月份该公司的纯利润是多少？
































22．（8分）如图，在宽为40 m，长为64 m的矩形地面上，修筑三条同样宽的道路，每条道路均与矩形地面的一条边平行，余下的部分作为耕地，要使得耕地的面积为2418 m2，则道路的宽应为多少？



































23．（8分）已知关于的一元二次方程有两个实数根．


（1）若为正整数，求此方程的根．


（2）设此方程的两个实数根为、，若，求的取值范围．


























24．（8分）某基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长54米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为2米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？下面是两位学生争议的情境：请根据上面的信息，解决问题：





（1）设AB＝x米（x＞0），试用含x的代数式表示BC的长；


（2）请你判断谁的说法正确，为什么？




















25．（10分）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16 cm，AD=6 cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s的速度向D移动．


（1）P、Q两点从出发开始到几秒？四边形PBCQ的面积为33 cm2；


（2）P、Q两点从出发开始到几秒时？点P和点Q的距离是10 cm．



































1．【答案】C


【解析】A. 2x2﹣+1=0,分母含有未知数,是分式方程,


B. （x+2）（2x﹣1）=2x2,化简之后消掉二次项,是一次方程,


C. 5x2﹣1=0,是一元二次方程，正确,


D. ax2+bx+c=0,对系数a没有限制,只有当a时,方程才是一元二次方程,


故选C.


【名师点睛】本题考查了一元二次方程定义,属于简单题,熟悉一元二次方程的定义是解题关键.


2．【答案】D


【解析】移项得，x2=4，


开方得，x=±2，


故选D．


【名师点睛】（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．


（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．


3．【答案】C


【解析】原方程去括号整理得：2x2﹣6x+3=0，


则二次项系数、一次项系数及常数项的和是2+（﹣6）+3=﹣1.


故选C.


4．【答案】B


【解析】根据题意得=42﹣4k≥0，解得k≤4．故选C．


5．【答案】B


【解析】A、因为本方程的一次项系数是−2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项错误；


B、因为本方程的一次项系数是4，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方4；故本选项正确；


C、将该方程的二次项系数化为x 2 −2x= ，所以本方程的一次项系数是−2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项错误；


D、将该方程的二次项系数化为x 2 +x= ，所以本方程的一次项系数是1，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方；故本选项错误；


故选B．


【名师点睛】本题考查的知识点是配方法解一元二次方程，解题关键是注意选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．


6．【答案】D


【解析】∵一元二次方程x2−4x+3=0的两个实数根分别是a、b，


∴a+b=4，ab=3，


∴一次函数的解析式为y=3x+4．


∵3＞0，4＞0，


∴一次函数y=abx+a+b的图象经过第一、二、三象限．


故选：D．


【名师点睛】本题考查了根与系数的关系以及一次函数图象与系数的关系，利用根与系数的关系结合一次函数图象与系数的关系，找出一次函数图象经过的象限是解题的关键．


7．【答案】A


【解析】∵a，b是方程x2﹣x+14m=0（m＜0）的两根，


∴a+b=1，ab=14m．


∴b⋆b﹣a⋆a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a）=b（a+b﹣b）﹣a（a+b﹣a）=ab﹣ab=0．


故选A．


【名师点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出a+b=1，ab=14m．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和是关键．


8．【答案】D


【解析】设平均每月营业额的增长率为x，


则第二个月的营业额为：90×(1+x)，


第三个月的营业额为：90×(1+x)2，


则由题意列方程为：90(1+x)+90(1+x)2=144−90.


故选D．


9．【答案】C


【解析】将x=2代入方程得：4﹣2（m+1）+m=0，解得：m=2，则方程为x2﹣3x+2=0，即（x﹣1）（x﹣2）=0，解得：x=1或x=2．


当三角形的三边为1、1、2时，1+1=2，不能构成三角形，舍去；


当三角形的三边为1、2、2时，三角形的周长为1+2+2=5．


故选C．


【名师点睛】本题主要考查方程的解的定义、解方程的能力、等腰三角形的性质及三角形三边间的关系，熟练掌握方程的解的定义及解方程的能力是解题的关键．


10．【答案】A


【解析】设x秒后，PCQ的面积等于300 cm2，有：12（50-2x）×3x=300，


∴x2-25x+100=0，∴x1=5，x2=20．


当x=20 s时，CQ=3x=3×20=60＞BC=40，即x=20 s不合题意，舍去．


答：5秒后，PCQ的面积等于300 cm2．


故选：A．


【名师点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程求出是解题关键．


11．【答案】2


【解析】∵方程（a+2）x|a|﹣3x+2=0是一元二次方程，


∴a+2≠0,且|a|=2,


解得：a=2.


【名师点睛】本题考查了一元二次方程的定义,属于简单题,熟悉一元二次方程的定义是解题关键.


12．【答案】


【解析】根据题意得：m+n=，mn=﹣，∴m2+n2=（m+n）2﹣2mn=（）2﹣2×（﹣）=．


故答案为：．


13．【答案】–3


【解析】2x−4=0，


解得：x=2，


把x=2代入方程x2+mx+2=0得：


4+2m+2=0，


解得：m=−3.


故答案为：−3.


14．【答案】13


【解析】设该群共有x人，依题意有：


x（x﹣1）=156，


解得：x=﹣12（舍去）或x=13．


故答案为：13．


【名师点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，正确找准等量关系列方程即可，比较简单．


15．【答案】k＜2且k≠1


【解析】∵关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，


∴k-1≠0且=（-2）2-4（k-1）＞0，


解得：k＜2且k≠1．


16．【答案】1


【解析】设AB长为x米，则BC长为（6-2x）米．


依题意，得x（6-2x）=4．


整理，得x2-3x+2=0．


解方程，得x1=1，x2=2．


所以当x=1时，6-2x=4；


当x=2时，6-2x=2（不符合题意，舍去）．


答：AB的长为1米；


17．【解析】（1）(x-5)2=16，


x-5=±4,x1=4+5=9,x2=-4+5=1,x1=9,x2=1.（2分）


（2）x2+5x=0，


x(x+5)=0,x1=0,x2=-5.（4分）


（3）x2-4x+1=0，


x2-4x+4=3,(x-2)2=3,得：x-2=3或x-2=-3 ，


即：x1=2+3, x2=2-3.（6分）


（4）x2+3x-4=0，


a=1,b=3,c=-4,则Δ=b2-4ac=9+16=25>0,


所以方程的根为：x=-3±52，


即：x1=-4 ,x2=1.（8分）


【方法点睛】本题目是一道考查求一元二次方程的根的问题，四道题利用四种不同的方法求解，在于全面考查一元二次方程的解法，难度不大.


18．【解析】关于的方程没有实数根,


当m=0时,方程为，方程有一个实数根,不符合题意,（1分）


当m≠0时,因为方程没有实数根,


所以, ,即解得: ,（2分）


,


,（4分）


,


,,


,


.（6分）


19．【解析】（1）4△3＝42－32 ＝16－9＝7.（3分）


（2）（x+2）△5=0，(x+2)2－52=0，(x+2)2=52，x+2=±5，x1=3，x2=－7 .（6分）


20．【解析】（1）当m=0时，方程为x2+x﹣1=0．


=12﹣4×1×（﹣1）=5＞0，∴x，∴x1，x2．（3分）


（2）∵方程有两个不相等的实数根，∴＞0，即12﹣4×1×（m﹣1）=1﹣4m+4=5﹣4m＞0，∴m．（6分）


【名师点睛】本题考查了一元二次方程的解法、根的判别式．一元二次方程根的判别式=b2﹣4ac．


21．【解析】（1）设每个月增长的利润率为x，


根据题意得：20×（1+x）2=22.05，


解得：x1=0.05=5%，x2=﹣2.05（不合题意，舍去）．


答：每个月增长的利润率为5%．（4分）


（2）22.05×（1+5%）=23.1525（万元）．


答：4月份该公司的纯利润为23.1525万元．（8分）


【名师点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用,属于简单题,理解平均增长率的含义是解题关键.


22．【解析】设道路的宽应为x m，则(64－2x)(40－x)＝2418，（2分）


整理，得x2－72x＋71＝0，


解得x1＝1，x2＝71(不合题意，舍去)．


答：道路的宽应为1 m.（8分）


23．【解析】（1）∵一元二次方程有两个实数根，∴=≥0，∴m≤1．


∵m为正整数，∴m=1．（2分）


当m=1时，此方程为，∴此方程的根为．（4分）


（2）∵此方程的两个实数根为a、b，∴，∴y=ab﹣2b2+2b+1=ab﹣2（b2﹣b）+1==．（6分）


解法一：∵m=（y﹣1）．


又∵m≤1，∴m=（y﹣1）≤1，∴y的取值范围为y≤．（8分）


解法二：


∵m≤1，∴≤，∴≤，∴y的取值范围为y≤．（8分）


【名师点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目．


24．【解析】（1）设AB＝x米，可得BC＝54﹣2x＋2＝56﹣2x.（2分）


（2）小娟的说法正确.（4分）


矩形面积S＝x（56﹣2x）＝﹣2（x﹣14）2＋392，（5分）


∵56﹣2x＞0，


∴x＜28，


∴0＜x＜28，


∴当x＝14时，S取最大值，


此时x56﹣2x，


∴面积最大的不是正方形．（8分）


25．【解析】（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33 cm2，


则PB=（16﹣3x）cm，QC=2x cm，


根据梯形的面积公式得×（16﹣3x+2x）×6=33，


解之得x=5.（3分）


答：P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33 cm2.（4分）


（2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10 cm，


作QE⊥AB，垂足为E，


则QE=AD=6，PQ=10，


∵PA=3t，CQ=BE=2t，


∴PE=AB﹣AP﹣BE=|16﹣5t|，


由勾股定理，得（16﹣5t）2+62=102，


解得t1=4.8，t2=1.6．


答：从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10 cm．（10分）