数学3.4 函数的应用（一）学案

这是一份数学3.4 函数的应用（一）学案，共8页。

3.4 函数的应用(一)








随着经济和社会的发展，汽车已逐步成为人们外出的代步工具．下面是某地一汽车销售公司对近三年的汽车销售量的统计表：


结合以上三年的销量及人们生活的需要，2019年初，该汽车销售公司的经理提出全年预售43万辆汽车的远大目标，经过全体员工的共同努力，2019年实际销售44万辆，圆满完成销售目标．


问题：(1)在实际生产生活中，对已收集到的样本数据常采用什么方式获取直观信息？


(2)如果我们分别将2016,2017,2018,2019年定义为第一、二、三、四年，现在有两个函数模型：二次函数型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，一次函数模型g(x)＝ax＋b(a≠0)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与第x年的关系？


(3)依照目前的形势分析，你能预测一下2020年，该公司预销售多少辆汽车吗？


提示：(1)建立函数模型．


(2)通过计算二次函数能更好地反映该公司中的年销量．


(3)2020年，该公司预销售60万辆汽车．





常见的几类函数模型





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，判断下列说法的对错．





(1)甲比乙先出发．( )


(2)乙比甲跑的路程多．( )


(3)甲、乙两人的速度相同．( )


(4)甲先到达终点．( )


[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√


2．一个矩形的周长是40，则矩形的长y关于宽x的函数解析式为( )


A．y＝20－x,0

C．y＝40－x,0

[答案] A


3．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是( )





A．一次函数模型 B．二次函数模型


C．分段函数模型 D．无法确定


C [由s与t的图象，可知t分4段，则函数模型为分段函数模型．]


4．某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个________元．


60 [设涨价x元，销售的利润为y元，则y＝(50＋x－45)(50－2x)＝－2x2＋40x＋250＝－2(x－10)2＋450，所以当x＝10，即销售价为60元时，y取得最大值．]





【例1】 某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y＝6x＋30 000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒( )


A．2 000套 B．3 000套


C．4 000套 D．5 000套


D [因利润z＝12x－(6x＋30 000)，所以z＝6x－30 000，由z≥0解得x≥5 000，故至少日生产文具盒5 000套．]





1．一次函数模型的实际应用


一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．


2．一次函数的最值求解


一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．





eq \([跟进训练])


1.如图所示，这是某通讯公司规定的打某国际长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象．根据图象填空：





①通话2分钟，需要付电话费________元；


②通话5分钟，需要付电话费________元；


③如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为________．


①3.6 ②6 ③y＝1.2t(t≥3) [①由图象可知，当t≤3时，电话费都是3.6元．


②由图象可知，当t＝5时，y＝6，需付电话费6元．


③易知当t≥3时，图象过点(3,3.6)，(5,6)，待定系数求得y＝1.2t(t≥3)．]





【例2】 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．


(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；


(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；


(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？


[思路点拨] 本题中平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)是一个一次函数关系，虽然x∈[50,55]，x∈N，但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题；平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)是一个二次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题．


[解] (1)根据题意，得y＝90－3(x－50)，


化简，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)．


(2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．


所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9 600(50≤x≤55，x∈N)．


(3)因为w＝－3x2＋360x－9 600＝－3(x－60)2＋1 200，


所以当x<60时，w随x的增大而增大．


又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1 125.


所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1 125元．





二次函数模型的解析式为gx＝ax2＋bx＋ca≠0.在函数建模中，它占有重要的地位.在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答.





eq \([跟进训练])


2．A，B两城相距100 km，在两地之间距A城x km处D地建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得少于10 km，已知每个城市的供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．


(1)把A，B两城月供电总费用y(万元)表示成x(km)的函数，并求定义域；


(2)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用最小．


[解] (1)由题意设A城的月供电费用为y1，则y1＝λ×20x2.


设B城的月供电费用为y2，则y2＝λ×10×(100－x)2，


∴A、B两城月供电总费用y＝λ×20x2＋λ×10×(100－x)2.


∵λ＝0.25，


∴y＝5x2＋eq \f(5,2)(100－x)2(10≤x≤90)．


(2)由y＝5x2＋eq \f(5,2)(100－x)2＝eq \f(15,2)x2－500x＋25 000


＝eq \f(15,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(100,3)))eq \s\up12(2)＋eq \f(50 000,3)，


则当x＝eq \f(100,3)时，y最小．


故当核电站建在距A城eq \f(100,3) km时，才能使供电总费用最小．





【例3】 已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地．


(1)把汽车离开A地的距离x(千米)表示为时间t(小时)的函数；


(2)求汽车行驶5小时与A地的距离．


[解] (1)汽车以60千米/时的速度从A地到B地需2.5小时，这时x＝60t；当2.5

x＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(60t，0≤t≤2.5，,150，2.5

(2)当t＝5时，x＝－50×5＋325＝75，


即汽车行驶5小时离A地75千米．





1．分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．


2．分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．


3．分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．





eq \([跟进训练])


3．某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为5t－eq \f(1,2)t2(万元)．


(1)若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数；


(2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？


[解] (1)当05时，产品只能售出500件．


所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5x－\f(1,2)x2))－0.5＋0.25x，05，))


即f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x2＋4.75x－0.5，05.))


(2)当0

f(x)最大值＝10.781 25(万元)．


当x>5时，f(x)<12－0.25×5＝10.75(万元)．


故当年产量为475件时，当年所得利润最大．








1．会用4种函数模型


一次函数模型，二次函数模型，幂函数模型，分段函数模型．


2．掌握4个步骤


数学建模的过程图示如下：





3．规避1个易错


函数的实际应用问题易忽视函数的定义域．





1．向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( )








A B C D


B [图反映随着水深h的增加，注水量V增长速度越来越慢，这反映水瓶中水上升的液面越来越小．]


2．一定范围内，某种产品的购买量y与单价x之间满足一次函数关系．如果购买1 000吨，则每吨800元，购买2 000吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨( )


A．820元 B．840元


C．860元 D．880元


C [设y＝kx＋b，则1 000＝800k＋b，且2 000＝700k＋b，解得k＝－10，b＝9 000，则y＝－10x＋9 000.解400＝－10x＋9 000，得x＝860(元)．]


3．某品牌电动车有两个连锁店，其月利润(单位：元)分别为y1＝－5x2＋900x－16 000，y2＝300x－2 000，其中x为销售量．若某月两店共销售了110辆电动车，则最大利润为( )


A．11 000元 B．22 000元


C．33 000元 D．40 000元


C [设两个店分别销售出x与110－x辆电动车，则两店月利润L＝－5x2＋900x－16 000＋300(110－x)－2 000＝－5x2＋600x＋15 000＝－5(x－60)2＋33 000，所以当x＝60时，两店的月利润取得最大值，为33 000元．]


4．某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2小时，则汽车离开A地的距离y(单位：千米)是时间t(单位：小时)的函数，该函数的解析式是________．


[答案] y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(80t，0≤t≤2，,160，2

5．某游乐场每天的盈利额y元与售出的门票张数x之间的函数关系如图所示，试由图象解决下列问题：





(1)求y与x的函数解析式；


(2)要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元，每天至少卖出多少张门票？


[解] (1)由图象知，可设y＝kx＋b(k≠0)，x∈[0,200]时，过点(0，－1 000)和(200,1 000)，解得k＝10，b＝－1 000，从而y＝10x－1 000；x∈(200,300]时，过点(200,500)和(300,2 000)，解得k＝15，b＝－2 500，


从而y＝15x－2 500，


所以y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10x－1 000，x∈[0，200]，,15x－2 500，x∈200，300].))


(2)每天的盈利额超过1 000元，则x∈(200,300]，由15x－2 500>1 000得，x>eq \f(700,3)，故每天至少需要卖出234张门票．


学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．


2．能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题．(重点、难点)
1. 通过建立函数模型解决实际问题，培养数学建模素养．


2. 借助实际问题中的最值问题，提升数学运算素养.
年份
2016
2017
2018
销量/万辆
8
18
30
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
分段函数模型
f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f1x，x∈D1,f2x，x∈D2,……,fnx ，x∈Dn))
一次函数模型的应用
二次函数模型的应用
分段函数模型的应用