人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数第2课时导学案及答案

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第2课时 指数幂及其运算








牛顿(Newtn 1643～1727)是大家所熟悉的物理学家，可是你知道他在数学史上的贡献吗？





牛顿


他在1676年6月13日写给莱布尼茨的信里说：“因为数学家将aa，aaa，aaaa，…写成a2，a3，a4，…所以可将eq \r(a)，eq \r(a2)，eq \r(a3)，…写成aeq \s\up12(eq \f(1,2))，aeq \s\up12(eq \f(2,2))，aeq \s\up12(eq \f(3,2))，…，将eq \f(1,a)，eq \f(1,aa)，eq \f(1,aaa)，…写成a－1，a－2，a－3，…”，这是牛顿首次使用任意实数指数，这正是这节课我们要学习的指数幂的拓展过程，下面我们就进入本课的学习．


问题：(1)aeq \s\up12(eq \f(m,n))、aeq \s\up12(－eq \f(m,n)) (a>0)写成根式会是怎样的形式？


(2)aeq \s\up12(eq \f(m,n))、aeq \s\up12(－eq \f(m,n))的根式形式中a≤0又如何？


提示：(1)aeq \s\up12(eq \f(m,n))＝eq \r(n,am)，aeq \s\up12(－eq \f(m,n))＝eq \f(1,a\f(m,n))＝eq \f(1,\r(n,am))(其中a>0，m，n∈N＋，且n>1)．


(2)若a≤0，aeq \s\up12(eq \f(m,n))、aeq \s\up12(－eq \f(m,n))不一定有意义，例如(－4)eq \s\up12(eq \f(1,2))、(－4)eq \s\up12(－eq \f(1,2))无意义，故规定a>0.





1．分数指数幂的意义


思考：在分数指数幂与根式的互化公式aeq \s\up12(eq \f(m,n))＝eq \r(n,am)中，为什么必须规定a>0?


提示：①若a＝0,0的正分数指数幂恒等于0，即eq \r(n,am)＝aeq \s\up12(eq \f(m,n))＝0，无研究价值．


②若a<0，aeq \s\up12(eq \f(m,n))＝eq \r(n,am)不一定成立，如(－2)eq \s\up12(eq \f(3,2))＝eq \r(2,－23)无意义，故为了避免上述情况规定了a>0.


2．有理数指数幂的运算性质


(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．


(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．


(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．


3．无理数指数幂


一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)0的任何指数幂都等于0.( )


(2)5eq \s\up12(eq \f(2,3))＝eq \r(53).( )


(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如eq \r(4,a2)＝aeq \s\up12(eq \f(1,2)).( )


(4)aeq \s\up12(eq \f(m,n))可以理解为eq \f(m,n)个a.( )


[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×


2．下列运算结果中，正确的是( )


A．a2a3＝a5 B．(－a2)3＝(－a3)2


C．(eq \r(a)－1)0＝1 D．(－a2)3＝a6


A [a2a3＝a2＋3＝a5；(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6；(eq \r(a)－1)0＝1，若成立，需要满足a≠1，故选A.]


3．4eq \s\up12(eq \f(2,5))等于( )


A．25 B．eq \r(5,16)


C.eq \r(4eq \s\up12(\f(1,5))) D．eq \r(5,4)


B [4eq \s\up12(eq \f(2,5))＝eq \r(5,42)＝eq \r(5,16)，故选B.]


4．(meq \s\up12(eq \f(1,2)))4＋(－1)0＝________.


m2＋1 [(meq \s\up12(eq \f(1,2)))4＋(－1)0＝m2＋1.]





【例1】 将下列根式化成分数指数幂的形式：


(1)eq \r(a\r(a))(a>0)；(2)eq \f(1,\r(3,x\r(5,x2)2))；


(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(4,b－\f(2,3))))eq \s\up12(－eq \f(2,3)) (b>0)．








根式与分数指数幂互化的规律


(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．


(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．





eq \([跟进训练])


1．将下列根式与分数指数幂进行互化：


(1)a3·eq \r(3,a2)；(2)eq \r(a－4b2\r(3,ab2))(a>0，b>0)．








【例2】 计算下列各式(式中字母均是正数)：

















指数幂运算的常用技巧


1有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.


2负指数幂化为正指数幂的倒数.


3底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.





eq \([跟进训练])


2．化简求值：








[探究问题]


1.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,a)))eq \s\up12(2)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,a)))eq \s\up12(2)存在怎样的等量关系？


提示：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,a)))eq \s\up12(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,a)))eq \s\up12(2)＋4.


2．已知eq \r(a)＋eq \f(1,\r(a))的值，如何求a＋eq \f(1,a)的值？反之呢？


提示：设eq \r(a)＋eq \f(1,\r(a))＝m，则两边平方得a＋eq \f(1,a)＝m2－2；反之若设a＋eq \f(1,a)＝n，则n＝m2－2，∴m＝eq \r(n＋2).即eq \r(a)＋eq \f(1,\r(a))＝eq \r(n＋2).


【例3】 已知aeq \s\up12(eq \f(1,2))＋aeq \s\up12(－eq \f(1,2))＝4，求下列各式的值：


(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.


[思路点拨] eq \(――――→,\s\up7(两边平方))eq \x(得a＋a－1的值)eq \(――――→,\s\up7(两边平方))eq \x(得a2＋a－2的值)


[解] (1)将aeq \s\up12(eq \f(1,2))＋aeq \s\up12(－eq \f(1,2))＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.


(2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.





1．在本例条件不变的条件下，求a－a－1的值．


[解] 令a－a－1＝t，则两边平方得a2＋a－2＝t2＋2，


∴t2＋2＝194，即t2＝192，∴t＝±8eq \r(3)，即a－a－1＝±8eq \r(3).


2．在本例条件不变的条件下，求a2－a－2的值．


[解] 由上题可知，a2－a－2＝(a－a－1)(a＋a－1)＝±8eq \r(3)×14＝±112eq \r(3).





解决条件求值的思路


1在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值.


2在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用.











1．掌握2个知识点


(1)分数指数幂的意义；


(2)分数指数幂的运算性质．


2．掌握2种方法


(1)对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，这样可以方便使用同底数幂的运算律．


(2)解决较复杂的条件求值问题时，“整体思想”是简化求解的“利器”．


3．规避1个易错


在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数．





1．把根式aeq \r(a)化成分数指数幂是( )





D [由题意可知a≥0，故排除A、B、C选项，选D.]


2．已知xeq \s\up12(eq \f(1,2))＋xeq \s\up12(－eq \f(1,2))＝5，则eq \f(x2＋1,x)的值为( )


A．5 B．23


C．25 D．27


B [∵xeq \s\up12(eq \f(1,2))＋xeq \s\up12(－eq \f(1,2))＝5，∴x＋x－1＝23，即eq \f(x2＋1,x)＝23.]


3．计算：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(3,5)))eq \s\up12(0)＋2－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(1,4)))eq \s\up12(－eq \f(1,2))－(0.01)0.5＝________.


eq \f(16,15) [原式＝1＋eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,9)))eq \s\up12(eq \f(1,2))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,100)))eq \s\up12(eq \f(1,2))＝1＋eq \f(1,6)－eq \f(1,10)＝eq \f(16,15).]








5．求下列各式的值：








学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、难点)


2．掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值．(重点)
1.通过分数指数幂的运算性质的推导，培养逻辑推理素养．


2．借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值，培养数学运算素养.
分数指数幂
正分数指数幂
规定：aeq \s\up12(eq \f(m,n))＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)
负分数指数幂
规定：aeq \s\up12(－eq \f(m,n))＝＝eq \f(1,\r(n,am))


(a>0，m，n∈N*，且n>1)
0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0，


0的负分数指数幂没有意义
根式与分数指数幂的互化
利用分数指数幂的运算性质化简求值
指数幂运算中的条件求值