高中人教版新课标A1.2.1函数的概念导学案

这是一份高中人教版新课标A1.2.1函数的概念导学案，共8页。

[重点] 根据给定的函数模型解决实际问题．
[难点] 建立数学模型解答实际问题．
知识点一 解函数模型应用题的一般步骤
[填一填]
1．函数模型应用的两个方面
(1)利用已知函数模型解决问题；
(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．
2．解函数应用题的一般步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数理关系．
(2)建模：将文字语言转化为数学语言，用数学知识建立相应的数学模型．
(3)求模：求解数学模型，得到数学结论．
(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题．
[答一答]
1．常见的函数模型有哪些？
提示：(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；
(2)反比例函数模型：f(x)＝eq \f(k,x)(k为常数，k≠0)；
(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；
(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)．
知识点二 函数拟合与预测的一般步骤
[填一填]
(1)收集数据；
(2)画散点图；
(3)选择函数模型；
(4)求函数模型；
(5)检验．若符合实际情况，则用函数模型解释实际问题；若不符合实际情况则从(3)重新开始．
[答一答]
2．如何根据收集到的数据解决实际问题？
提示：通过收集数据直接去解决问题的一般过程如下：
第一步：收集数据；
第二步：根据收集到的数据在平面直角坐标系内画出散点图；
第三步：根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型；
第四步：选择其中的几组数据求出函数模型；
第五步：将已知数据代入所求出的函数模型进行检验，看其是否符合实际．若不符合实际，则重复第三、四、五步．若符合实际，则进入下一步；
第六步：用求得的函数模型去解释实际问题．
以上过程可用程序框图表示如下：
3．数据拟合时，得到的函数为什么需要检验？
提示：因为根据已给的数据作出散点图，一般是以比较熟悉的、最简单的函数作模拟，但所估计的函数有时可能误差较大或不切合客观实际，此时要重新调整数据或选用其他函数模型．
类型一 建立函数模型的应用题
[例1] 某汽车城销售某种型号的汽车，进货单价为25万元．市场调研表明：当销售单价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售单价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元(每辆车的销售利润＝销售单价－进货单价)．
(1)求y与x之间的函数关系式，并在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；
(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；
(3)当每辆汽车的销售单价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？
[分析] 解决本题需弄清楚：每辆车的销售利润＝销售单价－进货单价；先求出每辆车的销售利润，再乘以售出辆数可得每周销售利润．通过二次函数求最值，可得汽车合适的销售单价．
[解] (1)因为y＝29－25－x，所以y＝－x＋4(0≤x≤4)．
(2)z＝(8＋eq \f(x,0.5)×4)y＝(8x＋8)(－x＋4)＝－8x2＋24x＋32(0≤x≤4)．
(3)由(2)知，z＝－8x2＋24x＋32＝－8(x－1.5)2＋50(0≤x≤4)．故当x＝1.5时，zmax＝50.
所以当销售单价为29－1.5＝27.5万元时，每周的销售利润最大，最大利润为50万元．
在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，因为根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最小等问题.
[变式训练1] 据市场分析，烟台某海鲜加工公司当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，且为二次函数的顶点．
(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系式；
(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？
解：(1)设y＝a(x－15)2＋17.5，
将x＝10，y＝20代入上式，得20＝25a＋17.5.
解得a＝eq \f(1,10).
所以y＝eq \f(1,10)(x－15)2＋17.5(10≤x≤25)．
(2)设最大利润为Q(x)，
则Q(x)＝1.6x－y＝1.6x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)x2－3x＋40))＝－eq \f(1,10)(x－23)2＋12.9(10≤x≤25)．
因为x＝23∈[10,25]，
所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元．
类型二 已知函数模型的应用题
[例2] 某种商品在近30天内每件的销售价格P(元)和时间t(天)的函数关系为：
P＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t＋200设该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系为Q＝40－t(0[分析] 日销售金额＝日销售量×日销售价格，而日销售量及日销售价格(每件)均为t的一次函数，从而日销售金额为t的二次函数．
[解] 设日销售金额为y(元)，则y＝PQ，
所以y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－t2＋20t＋8000①当0所以当t＝10时，ymax＝900(元)．
②当25≤t≤30且t∈N*时，y＝(t－70)2－900，
所以当t＝25时，ymax＝1 125(元)．
结合①②得ymax＝1 125(元)．
因此，这种商品日销售额的最大值为1 125元，且在第25天时日销售金额达到最大．
对于题中已给出数学模型问题，只要解数学模型即可，较常用的方法是待定系数法解模型，然后利用相应的解析式及对应函数的性质解决实际问题.
[变式训练2] 已知某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每1万部的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(400－6x，040.))
(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万部)的函数解析式；
(2)当年产量为多少万部时，该公司在该款手机上获得的利润最大？并求出最大利润．
解：(1)当0当x>40时，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－eq \f(40 000,x)－16x＋7 360.
所以W＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－6x2＋384x－40，040.))
(2)①当0所以当x＝32时，Wmax＝6 104；
②当x>40时，W＝－eq \f(40 000,x)－16x＋7 360，
由于eq \f(40 000,x)＋16x≥2eq \r(\f(40 000,x)×16x)＝1 600，
当且仅当eq \f(40 000,x)＝16x，即x＝50时取等号，
所以W的最大值为5 760.
综上，当年产量为32万部时，该公司在该款手机上获得的利润最大，最大利润为6 104万元．
类型三 拟合函数模型的应用题
[例3] 某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：
该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两个有效数字)．
[分析] 只给出数据，没明确函数关系，这样就需要准确的画出散点图．然后根据图形选择合适的函数模型来解决实际问题．
[解] 以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示．
观察散点图可以看出，A种商品的所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图①所示．
取(4,2)为最高点，则y＝a(x－4)2＋2，再把点(1,0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2＋2，解得a＝－0.15，所以y＝－0.15(x－4)2＋2.
B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟，如图②所示．
设y＝kx＋b，取点(1,0.25)和(4,1)代入，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0.25＝k＋b，,1＝4k＋b，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝0.25，,b＝0.))所以y＝0.25x.
即前六个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系式是y＝－0.15(x－4)2＋2；前六个月所获纯利润y关于月投资B种商品的金额x的函数关系式是y＝0.25x.
设下月投入A，B两种商品的资金分别为xA，xB(万元)，总利润为W(万元)，
那么eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(xA＋xB＝12，,W＝yA＋yB＝－0.15xA－42＋2＋0.25xB.))
所以W＝－0.15eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xA－\f(19,6)))2＋0.15×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(19,6)))2＋2.6.
当xA＝eq \f(19,6)≈3.2(万元)时，W取最大值，约为4.1万元，此时xB≈8.8(万元)．
即该经营者下月把12万元中的3.2万元投资A种商品，8.8万元投资B种商品，可获得最大利润约为4.1万元．
拟合数据，建立函数模型解决实际问题的一般步骤：根据收集到的数据作出散点图，然后根据散点图的形状，选用比较接近的可能的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系，然后利用待定系数法确定出具体的函数解析式，若符合实际，可用此函数模型解释问题，若不符合实际，则继续选择模型，重复操作过程.
[变式训练3] 我国2014年至2017年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：
(1)画出函数图象，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；
(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较．
解：
(1)画出函数图象，如图所示，从函数的图象可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的一次函数为y＝kx＋b(k≠0)．
把点(0,8.206 7)和(3,10.239 8)的坐标代入上式，解方程组，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝0.677 7，,b＝8.206 7.))
因此所求的函数关系式为y＝0.677 7x＋8.206 7.
(2)由得到的关系式计算出2015年和2016年的国内生产总值分别为0.677 7×1＋8.206 7＝8.884 4(万亿元)，
0．677 7×2＋8.206 7＝9.562 1(万亿元)．
与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元．

1．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的( B )
解析：由题意h＝20－5t,0≤t≤4.结合图象知应选B.
2．国际上通常用恩格尔系数衡量一个国家和人民生活水平的状况，它的计算公式为n＝eq \f(x,y)(x代表人均食品支出总额，y代表人均个人消费支出总额)，且y＝2x＋475，各种类型的家庭标准如表：
张先生居住区2017年比2016年食品支出下降7.5%，张先生家在2017年购买食品和2016年完全相同的状况下，人均个人消费少支出75元，则张先生家2017年属于( D )
A．贫困B．温饱
C．小康D．富裕
解析：设2016年人均食品支出x元，则2017年人均食品支出x(1－7.5%)＝92.5%x,2017年人均消费支出2×92.5%x＋475，由题意，有2×92.5%x＋475＋75＝2x＋475，∴x＝500.此时，n＝eq \f(92.5%×500,2×92.5%×500＋475)≈0.330 4＝33.04%，由表知属富裕．
3．将进货单价为8元的商品按10元/个销售时，每天可卖出100个，若此商品的销售单价涨1元，日销售量就减少10个，为了获取最大利润，此商品的销售单价应定为14元．
解析：设销售单价应涨x元，则实际销售单价为(10＋x)元，
此时日销售量为(100－10x)个，
每个商品的利润为(10＋x)－8＝2＋x(元)，
∴总利润y＝(2＋x)(100－10x)＝－10x2＋80x＋200
＝－10(x－4)2＋360(0∴当x＝4时，y有最大值，此时单价为14元．
4．现测得(x，y)的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y＝x2＋1；乙：y＝3x－1.若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用甲作为拟合模型较好．
解析：图象法，即描出已知的三个点的坐标并画出两个函数的图象(图略)，比较发现选甲更好．
5．某学校准备购买一批电脑，在购买前进行的市场调查显示：在相同品牌、质量与售后服务的条件下，甲、乙两公司的报价都是每台6 000元．甲公司的优惠条件是购买10台以上的，从第11台开始按报价的七折计算，乙公司的优惠条件是均按八五折计算．
(1)分别写出在两公司购买电脑的总费用y甲，y乙与购买台数x之间的函数关系式；
(2)根据购买的台数，你认为学校应选择哪家公司更合算？
解：(1)y甲＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6 000x0≤x≤10，x∈N，,60 000＋4 200x－10x≥11，x∈N))
＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6 000x0≤x≤10，x∈N，,4 200x＋18 000x≥11，x∈N，))
y乙＝5 100x(x∈N)，
(2)当x≤10时，显然y甲>y乙；
当x>10时，令y甲>y乙，
即4 200x＋18 000>5 100x，解得x<20.
答：当购买的台数不超过20台时，应选择乙公司，当购买台数超过20台时，应选择甲公司．
——本课须掌握的三大问题
1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：
(1)利用给定的函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题．
2．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．
3．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化．
年份
2014
2015
2016
2017
x
0
1
2
3
生产总值y
8.206 7
8.944 2
9.593 3
10.239 8
家庭类型
贫困
温饱
小康
富裕
n
n≥59%
50%≤n<59%
40%≤n<50%
30%≤n<40%