2020-2021学年第三章 函数概念与性质3.4 函数的应用（一）学案及答案

这是一份2020-2021学年第三章 函数概念与性质3.4 函数的应用（一）学案及答案，共6页。

类型1 一次函数模型的应用
【例1】 城镇化是国家现代化的重要指标，据有关资料显示，1978－2013年，我国城镇常住人口从1.7亿增加到7.3亿．假设每一年城镇常住人口的增加量都相等，记1978年后第t(限定t<50)年的城镇常住人口为f(t)亿．写出f(t)的解析式，并由此估算出我国2022年的城镇常住人口数．
[解] 因为每一年城镇常住人口的增加量都相等，所以f(t)是一次函数，设f(t)＝kt＋b，其中k，b是常数．
注意到2013年是1978年后的第2 013－1 978＝35年，因此
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f0＝1.7，,f35＝7.3，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝1.7，,35k＋b＝7.3，))
解得k＝0.16，b＝1.7.因此
f(t)＝0.16t＋1.7，t∈N且t<50.
又因为2022年是1978年后的第2 022－1 978＝44年，而且f(44)＝0.16×44＋1.7＝8.74，
所以由此可估算出我国2022年的城镇常住人口为8.74亿．
一次函数模型的特点和求解方法
(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线．
(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1．如图所示，这是某通讯公司规定的打某国际长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象．根据图象填空：
①通话2分钟，需要付电话费________元；
②通话5分钟，需要付电话费________元；
③如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为________．
①3.6 ②6 ③y＝1.2t(t≥3) [①由图象可知，当t≤3时，电话费都是3.6元．
②由图象可知，当t＝5时，y＝6，需付电话费6元．
③易知当t≥3时，图象过点(3,3.6)，(5,6)，待定系数求得y＝1.2t(t≥3)．]
类型2 二次函数模型的应用
【例2】 某农家旅游公司有客房160间，每间房单价为200元时，每天都客满．已知每间房单价每提高20元，则客房出租数就会减少10间．若不考虑其他因素，旅游公司把每间房单价提到多少时，每天客房的租金总收入最高？
[解] 设每间房单价提高x个20元时，每天客房的租金总收入为y元．
因为此时每间房单价为200＋20x元，而客房出租数将减少10x间，即为160－10x间，因此
y＝(200＋20x)(160－10x)
＝200(10＋x)(16－x)
＝200(－x2＋6x＋160)
＝200[－(x－3)2＋169]
＝－200(x－3)2＋33 800.
从而可知，当x＝3时，y的最大值为33 800.
因此每间房单价提到200＋20×3＝260元时，每天客房的租金总收入最高．
二次函数模型的解析式为g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．在函数建模中，它占有重要的地位．在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题．二次函数求最值常常结合二次函数的图象来解答．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
2．A，B两城相距100 km，在两地之间距A城x km处D地建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得少于10 km，已知每个城市的供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．
(1)把A，B两城月供电总费用y(万元)表示成x(km)的函数，并求定义域；
(2)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用最小．
[解] (1)由题意设A城的月供电费用为y1，则y1＝λ×20x2.
设B城的月供电费用为y2，则y2＝λ×10×(100－x)2，
∴A、B两城月供电总费用y＝λ×20x2＋λ×10×(100－x)2.
∵λ＝0.25，
∴y＝5x2＋eq \f(5,2)(100－x)2(10≤x≤90)．
(2)由y＝5x2＋eq \f(5,2)(100－x)2＝eq \f(15,2)x2－500x＋25 000
＝eq \f(15,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(100,3)))2＋eq \f(50 000,3)，
则当x＝eq \f(100,3)时，y最小．
故当核电站建在距A城eq \f(100,3) km时，才能使供电总费用最小．
类型3 分段函数模型的应用
【例3】 (对接教材P93例题)为了鼓励大家节约用水，自2013年以后，某市实行了阶梯水价制度，其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示．
记户年用水量为x m3时应缴纳的水费为f(x)元．
(1)写出f(x)的解析式；
(2)假设居住在该市的张明一家某一年共用水260 m3，则张明一家该年应缴纳水费多少元？
由每一阶梯综合用水单价不同，思考用哪类函数刻画户年用水量x与应缴纳的水费f(x)的关系．
[解] (1)不难看出，f(x)是一个分段函数，而且：
当0当220f(x)＝220×3.45＋(x－220)×4.83
＝4.83x－303.6；
当x>300时，有
f(x)＝220×3.45＋(300－220)×4.83＋(x－300)×5.83
＝5.83x－603.6.
因此f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3.45x，0300.))
(2)因为220<260≤300，所以
f(260)＝4.83×260－303.6＝952.2，
因此张明一家该年应缴纳水费952.2元．
分段函数模型的应用
(1)现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所得税等，分段函数是刻画现实问题的重要模型．
(2)分段函数的每一段自变量变化所遵循的规律不同，因此可以先将其看成几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
3．已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地．
(1)把汽车离开A地的距离x(千米)表示为时间t(小时)的函数；
(2)求汽车行驶5小时与A地的距离．
[解] (1)汽车以60千米/时的速度从A地到B地需2.5小时，这时x＝60t；当2.5x＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(60t，0≤t≤2.5，,150，2.5(2)当t＝5时，x＝－50×5＋325＝75，
即汽车行驶5小时离A地75千米.
1．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是( )
A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．分段函数模型D．无法确定
C [由s与t的图象，可知t分4段，则函数模型为分段函数模型．]
2．一定范围内，某种产品的购买量y与单价x之间满足一次函数关系．如果购买1 000吨，则每吨800元，购买2 000吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨( )
A．820元B．840元
C．860元D．880元
C [设y＝kx＋b，则1 000＝800k＋b，且2 000＝700k＋b，解得k＝－10，b＝9 000，则y＝－10x＋9 000.当y＝400时，即400＝－10x＋9 000，得x＝860(元)．]
3．某品牌电动车有两个连锁店，其月利润(单位：元)分别为y1＝－5x2＋900x－16 000，y2＝300x－2 000，其中x为销售量．若某月两店共销售了110辆电动车，则最大利润为( )
A．11 000元B．22 000元
C．33 000元D．40 000元
C [设两个店分别销售出x与110－x辆电动车，则两店月利润L＝－5x2＋900x－16 000＋300(110－x)－2 000＝－5x2＋600x＋15 000＝－5(x－60)2＋33 000，所以当x＝60时，两店的月利润取得最大值，为33 000元．]
4．某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2小时，则汽车离开A地的距离y(单位：千米)是时间t(单位：小时)的函数，该函数的解析式是________．
[答案] y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(80t，0≤t≤2，,160，25．某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个________元．
60 [设涨价x元，销售的利润为y元，
则y＝(50＋x－45)(50－2x)＝－2x2＋40x＋250＝－2(x－10)2＋450，所以当x＝10，即销售价为60元时，y取得最大值．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．你能总结一下数学建模的流程吗？
[提示] 数学建模的过程图示如下：
2．应用函数解决实际问题时，应注意什么？
[提示] 所建函数模型应符合实际问题，同时要注意函数的定义域等等，即主要抓住四点：“求什么，设什么，列什么，限制什么”．
学 习 任 务
核 心 素 养
1．了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
2．能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题．(重点、难点)
1．通过建立函数模型解决实际问题，培养数学建模素养．
2．借助实际问题中的最值问题，提升数学运算素养.
分档
户年用水量/m3
综合用水单价/(元·m－3)
第一阶梯
0—220(含)
3.45
第二阶梯
220—300(含)
4.83
第三阶梯
300以上
5.83