上教版（2020）必修 第一册第5章 函数的概念、性质及应用5.3 函数的应用学案设计

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授课提示：对应学生用书第47页
[教材提炼]
知识点 常见的一次函数、二次函数、幂函数模型
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
一次函数、二次函数、幂函数解析式是什么？
知识梳理 (1)几种常用的函数模型：
一次函数模型：y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
反比例函数模型：y＝eq \f(k,x)＋b，(k，b为常数，k≠0)
二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
幂函数模型：y＝a·xα＋c(a，α，c为常数，a≠0)
(2)分段函数模型：一种比较复杂的函数模型，可以用来描述在不同区间上有不同变化规律的实际问题．或者将定义域上变化复杂的函数分成几段区间来研究，在每一段区间上函数有各自的变化规律，根据函数的具体变化，再分段选择相应的函数模型．
[自主检测]
1．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )
A．200副 B．400副
C．600副 D．800副
解析：由5x＋4 000≤10x，解得x≥800，即日产手套至少800副时才不亏本．
答案：D
2．拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费f(m)＝1.06(0.50×[m]＋1)，其中m>0，[m]是大于或等于m的最小整数(如[3]＝3，[3.7]＝4，[5.1]＝6)．则从甲到乙地通话时间为5.5分钟的通话费为( )
A．3.71 B．3.97
C．4.24 D．4.77
解析：f(5.5)＝1.06×(0.5×[5.5]＋1)＝1.06×(0.50×6＋1)＝1.06×4＝4.24.
答案：C
3．某广告公司要为客户设计一幅周长为l(单位：m)的矩形广告牌，当矩形的长为________，广告牌的面积最大．
答案：eq \f(l,4)
授课提示：对应学生用书第47页
探究一 一次函数模型
[例1] 为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示．
(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；
(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜．
[解析] (1)由图象可设y1＝k1x＋29，y2＝k2x，把点B(30,35)，C(30,15)分别代入y1＝k1x＋29，y2＝k2x，得k1＝eq \f(1,5)，k2＝eq \f(1,2).
∴y1＝eq \f(1,5)x＋29(x≥0)，y2＝eq \f(1,2)x(x≥0)．
(2)令y1＝y2，即eq \f(1,5)x＋29＝eq \f(1,2)x，则x＝96eq \f(2,3).
当x＝96eq \f(2,3)时，y1＝y2，两种卡收费一致；
当x＜96eq \f(2,3)时，y1＞y2，使用便民卡便宜；
当x＞96eq \f(2,3)时，y1＜y2，使用如意卡便宜.
1.一次函数模型解决实际问题的原则
一次函数模型的应用层次要求不高，一般情况下按照“问什么，设什么，列什么”的原则来处理，求解过程也比较简单.
2.一次函数模型解决问题的注意点
用一次函数模型解决实际问题时，对于给出图象的应用题可先结合图象利用待定系数法求出解析式．对于一次函数y＝ax＋b(a≠0)，当a＞0时为增函数，当a＜0时为减函数．另外，要结合题目理解(0，b)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,a)，0))这些特殊点的意义.
江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称．甲、乙两家农贸商店，平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾，“龙虾节”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，付款金额y甲，y乙(单位：元)与原价x(单位：元)之间的函数关系如图所示：
(1)直接写出y甲，y乙关于x的函数关系式．
(2)“龙虾节”期间，如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾更省钱？
解析：(1)设y甲＝kx，把(2 000,1 600)代入，得2 000k＝1 600，解得k＝0.8，所以y甲＝0.8x；当0＜x＜2 000时，设y乙＝ax，把(2 000,2 000)代入，得2 000a＝2 000，解得a＝1，所以y乙＝x；当x≥2 000时，设y乙＝mx＋n，把(2 000，2 000)，(4 000,3 400)代入，得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2 000m＋n＝2 000，,4 000m＋n＝3 400，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝0.7，,n＝600，))
所以y乙＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＜x＜2 000，,0.7x＋600x≥2 000.))
(2)当0＜x＜2 000时，0.8x＜x，到甲商店购买更省钱；当x≥2 000时，若到甲商店购买更省钱，则0.8x＜0.7x＋600，解得x＜6 000；若到乙商店购买更省钱，则0.8x＞0.7x＋600，解得x＞6 000；若到甲、乙两商店购买一样省钱，则0.8x＝0.7x＋600，解得x＝6 000；故当购买金额按原价小于6 000元时，到甲商店购买更省钱；当购买金额按原价大于6 000元时，到乙商店购买更省钱；当购买金额按原价等于6 000元时，到甲、乙两商店购买花钱一样．
探究二 二次函数模型
[例2] 在经济学中，函数f(x)的边际函数定义为M(x)＝f(x＋1)－f(x)，利润函数P(x)的边际利润函数定义为M1(x)＝P(x＋1)－P(x)，某公司最多生产100台报警系统装置，生产x台的收入函数为R(x)＝3 000x－20x2(单位：元)其成本函数为C(x)＝500x＋4 000(单位：元)，利润是收入与成本之差．
(1)求利润函数P(x)及边际利润函数M1(x)；
(2)利润函数P(x)与边际利润函数M1(x)是否具有相等的最大值？
(3)你认为本题中边际利润函数M1(x)取最大值的实际意义是什么？
[解析] (1)P(x)＝R(x)－C(x)＝(3 000x－20x2)－(500x＋4 000)＝－20x2＋2 500x－4 000(1≤x≤100，x∈N)．
M1(x)＝P(x＋1)－P(x)＝2 480－40x(1≤x≤100，x∈N)．
(2)∵P(x)＝－20(x－eq \f(125,2))2＋74 125，
∴当x＝62或63时，P(x)min＝74 120.
又∵M1(x)是减函数，∴当x＝1时M1(x)max＝2 440，
故P(x)与M1(x)不具有相等的最大值．
(3)边际利润函数M1(x)当x＝1时取最大值，说明生产第2台与生产第1台的总利润差最大，即第2台报警系统利润最大，M1(x)是减函数，说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润相比较，利润在减少．
幂函数模型中最常见的是二次函数模型，这种函数模型在生产、生活中应用相当广泛．
利用二次函数求最值时，应特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符．根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题．
某工厂生产一种机器的固定成本为5 000元，且每生产100部，需要增加投入2 500元，对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年500部，已知销售收入的函数为H(x)＝500x－eq \f(1,2)x2，其中x是产品销售出的数量(0≤x≤500)．
(1)若x为年产量，y表示利润，求y＝f(x)的解析式；
(2)当年产量为何值时，工厂的年利润最大？其最大值是多少？
(3)当年产量为何值时，工厂有盈利？(已知eq \r(21.562 6)＝4.65)
解析：(1)当0≤x≤500时，产品全部售出，
∴y＝500x－eq \f(1,2)x2－(5 000＋25x)，
即y＝－eq \f(1,2)x2＋475x－5 000，
当x>500时，产品只能售出500台，
∴y＝500×500－eq \f(1,2)×5002－(5 000＋25x)，
即y＝－25x＋120 000.
(2)当0≤x≤500时，y＝－eq \f(1,2)(x－475)2＋107 812.5，
当x>500时，y＝120 000－25x<120 000－25×500＝107 500.
故当年产量为475台时取得最大利润，且最大利润为107 812.5元，最佳生产计划475台．
(3)若工厂有利润，则应用f(x)>5 000，
∴475x－eq \f(1,2)x2>5 000，
整理得x2－950x＋10 000<0，解得10∵市场需求量为每年500部，
∴10探究三 分段函数模型
[例3] 某公司生产某种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(400x－\f(1,2)x2 0≤x≤400，,80 000 x>400.))
(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
[解析] (1)设月产量为x台，则总成本为(20 000＋100x)元，从而
f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x2＋300x－20 0000≤x≤400，,60 000－100xx>400.))
(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－eq \f(1,2)(x－300)2＋25 000，
∴当x＝300时，有最大值25 000；
当x>400时，f(x)＝60 000－100x是减函数，
f(x)<60 000－100×400<25 000.
∴当x＝300时，f(x)的最大值为25 000.
即每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25 000元．
构建分段函数模型的关键点
建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区间，写出每一对应取值区间内的解析式，在此区间内求最值，然后对所有区间求出的值比较，找出适合题意的答案．
某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
(2)设一次订购量为x个时，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；
(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个时，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)
解析：(1)设每个零件的实际出厂单价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则
x0＝100＋eq \f(60－51,0.02)＝550.
因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价格恰好降为51元．
(2)当0＜x≤100时，P＝60.
当100＜x<550时，P＝60－0.02(x－100)＝62－eq \f(x,50).
当x≥550时，P＝51，
∴P＝f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(600＜x≤100，x∈N，,62－\f(x,50)100(3)设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则L＝(P－40)x
＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(20x0＜x≤100，x∈N，,22x－\f(x2,50)100当x＝500时，L＝6 000；当x＝1 000时，L＝11 000.
因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6 000元；如果订购1 000个时，利润是11 000元．
授课提示：对应学生用书第49页
一、图表并用，数学建模——拟合函数的建立问题
定量分析和研究实际问题时，要深入调查，研究、了解对象信息，作出简化假设，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子(也就是数学模型)，然后计算得到模型的结果，并进行检验，最后解释实际问题，这个建立数学模型的全过程就称为数学建模．根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型并求出函数解析式，再进行拟合、比较，选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合(或数据拟合)．
建立拟合函数模型的步骤：
(1)收集数据．
(2)根据收集到的数据，在平面直角坐标系内画出散点图．
(3)根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型．
(4)选择其中的几组数据求出函数模型．
(5)将已知数据代入所求出的函数模型中进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则返回步骤③；若符合实际，则进入下一步．
(6)用所得函数模型解释实际问题．
[典例] 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x cm与当年灌溉面积y hm2.现有连续10年的实测资料，如下表所示．
(1)描点画出灌溉面积y hm2随积雪深度x cm变化的图象；
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y＝f(x)，并画出图象；
(3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？
[解析] (1)描点作图如图甲：
(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型y＝ax＋b.
取其中的两组数据(10.4,21.1)(24.0,45.8)，
代入y＝ax＋b，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(21.1＝10.4a＋b，,45.8＝24.0a＋b，))
用计算器可算得a≈1.8，b≈2.4.
这样，我们得到一个函数模型y＝1.8x＋2.4.作出函数图象如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．
(3)由y＝1.8×25＋2.4，求得y＝47.4，即当最大积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地47.4 hm2.
二、忽视实际意义的限制致错
[典例] 甲、乙两地相距s km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km/h，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(km/h)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(km/h)的函数，并指出函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？
[解析] (1)由关系式：运输总成本＝每小时运输成本×时间，得y＝(a＋bv2)eq \f(s,v)，所以全程运输成本y(元)，表示为速度v(km/h)的函数关系式是y＝seq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,v)＋bv))，v∈(0，c]．
(2)整理函数，得y＝seq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,v)＋bv))＝bseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(v＋\a\vs4\al(\f(\f(a,b),v))))，由函数y＝x＋eq \f(k,x)(k＞0)的单调性，得当eq \r(\f(a,b))＜c时，则v＝eq \r(\f(a,b))时，y取最小值；当eq \r(\f(a,b))≥c时，则v＝c时，y取最小值．综上所述，为使全程成本y最小，当eq \r(\f(a,b))＜c时，行驶速度应为v＝eq \r(\f(a,b))；当eq \r(\f(a,b))≥c时，行驶速度应为v＝c.
纠错心得 此题易错解为
(1)由关系式：运输总成本＝每小时运输成本×时间，得y＝(a＋bv2)eq \f(s,v)，所以全程运输成本y(元)关于速度v(km/h)的函数关系式为y＝seq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,v)＋bv))，v∈(0，c]．
(2)整理函数，得y＝seq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,v)＋bv))＝bseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(v＋\a\vs4\al(\f(\f(a,b),v))))，由于v＋eq \f(\f(a,b),v)≥2eq \r(\f(a,b))，当且仅当v＝eq \f(\f(a,b),v)，即v＝eq \r(\f(a,b))时取最小值．
该解法中忽略了速度不得超过c km/h这个限制条件．在解应用题时要注意定义域的限制，对问题的解要注意它是否具有实际意义．
内 容 标 准
学 科 素 养
1.通过一次函数、二次函数、幂函数的性质，了解其实际应用．
数学抽象
数学建模
2.体会利用函数模型解决实际问题的过程和方法.
年序
最大积雪深度x/cm
灌溉面积y/hm2
1
15.2
28.6
2
10.4
21.1
3
21.2
40.5
4
18.6
36.6
5
26.4
49.8
6
23.4
45.0
7
13.5
29.2
8
16.7
34.1
9
24.0
45.8
10
19.1
36.9