高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词学案及答案，共8页。

1.5 全称量词与存在量词








1．给出下列命题：①所有的矩形都是平行四边形；②对任意一个x∈R，都有x2＞0；③每一个菱形的对角线都垂直；④自然数是正整数．


问题：(1)上述命题①②③中的“所有的”“任意一个”“每一个”都表示什么含义？如何定义这类命题？


(2)命题④是全称量词命题吗？它的量词是什么？


提示：(1)这些短语一般在指定的范围内都表示整体或全部，这样的词叫做全称量词．含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．


(2)是全称量词命题．它的量词是“所有的”(“每一个”等)．即所有的自然数都是正整数．


2．给出下列命题：①有些矩形不是平行四边形；②存在一个x∈R，使得x2≤0；③至少有一个菱形的对角线不垂直；④有的自然数不是正整数．


问题：上述命题中的“有些”“存在一个”“至少有一个”“有的”都表示什么含义？如何定义这类命题？


提示：这些短语在陈述中表示所述事物的个体或部分，称为存在量词．含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．





1．全称量词与全称量词命题


(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．


(2)含有全称量词的命题，叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示．变量x的取值范围用M表示．那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)．


2．存在量词与存在量词命题


(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．


(2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为∃x∈M，p(x)．


思考：“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式．


提示：是存在量词命题，可改写为“存在x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”．


3．含有一个量词的命题的否定


一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：


全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定p：∃x∈M，p(x)；


存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定p：∀x∈M，p(x)．


全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)命题“正方形都是长方形”是全称量词命题．( )


(2)命题“有些菱形是正方形”是全称量词命题．( )


(3)命题：∀x∈R，x2－3x＋3>0的否定是∀x∉R，x2－3x＋3≤0.


( )


[答案] (1)√ (2)× (3)×


2．下列全称量词命题为真命题的是( )


A．所有的质数是奇数


B．∀x∈R，x2＋1≥1


C．对每一个无理数x，x2也是无理数


D．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5


[答案] B


3．下列命题中的假命题是( )


A．∀x∈R，|x|≥0


B．∀x∈N*，(x－1)2>0


C．∃x∈R，x＋2019<1


D．∃x∈R,2x＞2


B [当x＝1时，(x－1)2＝0，


所以B项为假命题．]


4．(1)命题“有些梯形是等腰梯形”的否定为：________.


(2)命题“存在一个实数，它的绝对值不是正数”的否定为：________.


[答案] (1)任意梯形都不是等腰梯形


(2)任意实数的绝对值是正数





【例1】 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．


(1)∀x∈N,2x＋1是奇数；


(2)存在一个x∈R，使eq \f(1,x－1)＝0；


(3)对任意实数a，|a|＞0；


(4)有一个角α，使sin α＝eq \f(1,2).


[解] (1)是全称量词命题．因为∀x∈N，2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．


(2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使eq \f(1,x－1)＝0成立，所以该命题是假命题．


(3)是全称量词命题．因为|0|＝0，所以|a|＞0不都成立，因此，该命题是假命题．


(4)是存在量词命题．因为当α＝30°时，sin α＝eq \f(1,2)，所以该命题是真命题．





全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法：


1要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明px成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得px不成立即可这就是通常所说的“举出一个反例”.


2要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使px成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题.





eq \([跟进训练])


1. 判断下列命题的真假．


(1)任意两个面积相等的三角形一定相似；


(2)∃x，y为正实数，使x2＋y2＝0；


(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；


(4)∀x∈N，x2>0.


[解] (1)因为面积相等的三角形不一定相似．故它是假命题．


(2)因为当x2＋y2＝0时，x＝y＝0，


所以不存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0，故它是假命题．


(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．


(4)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题.


【例2】 (1)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则命题p的否定为( )


A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2n


C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n


(2)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )


A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2


B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2


C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2


D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2


(1)C (2)D [(1)因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”，故选C.


(2)由于存在量词命题的否定形式是全称量词命题，全称量词命题的否定形式是存在量词命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”．]





含有一个量词的命题的否定的方法


(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．


(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．





eq \([跟进训练])


2．写出下列命题的否定并判断其真假：


(1)p：∀x∈R，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)≥0；


(2)q：所有的正方形都是矩形；


(3)r：∃x∈R，x2＋2x＋3≤0；


(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.


[解] (1) p：∃x∈R，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＜0，假命题．


因为∀x∈R，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)≥0恒成立，所以p是假命题．


(2) q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．


(3) r：∀x∈R，x2＋2x＋3＞0，真命题．


因为∀x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2＞0恒成立，所以r是真命题．


(4) s：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．


因为x＝－1时，x3＋1＝0，所以s是假命题.


【例3】 对于任意实数x，函数y＝x2＋4x－1的函数值恒大于实数m，求m的取值范围．


[解] 令y＝x2＋4x－1，x∈R，


则y＝(x＋2)2－5，


因为∀x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立，


所以只要m<－5即可．


所以所求m的取值范围是{m|m<－5}．





求解含有量词的命题中参数范围的策略


1 对于全称量词命题“∀x∈M，a＞y或a＜y”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值或最小值，即a＞y最大值或a＜y最小值.


2对于存在量词命题“∃x∈M，a＞y或a＜y”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值或最大值，即a＞y最小值或a＜y最大值.





eq \([跟进训练])


3．若命题“p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0”是真命题，则实数m的取值范围是( )


A．m≥1 B．m＞1


C．m＜1 D．m≤1


B [命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则Δ＜0，即m＞1.故选B.]








1．理解2个概念


(1)全称量词命题、存在量词命题的概念；


(2)全称量词命题、存在量词命题的否定．


2．掌握3种方法


(1)判定一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的主要方法是看命题中含有哪种量词，判定时要特别注意省略量词的全称量词命题．


(2)要判定一个全称量词命题为真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题，只要举出一个反例即可；对存在量词命题真假的判定方法正好与之相反．


(3)全称量词命题与存在量词命题的否定，其模式是固定的，即把相应的全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词，并把命题的结论加以否定．


3．规避1个易错


对全称量词命题、存在量词命题进行否定时，注意不能只否定结论，而忘记改变量词；也不能只改变量词，而忘记对结论的否定．





1．下列命题中全称量词命题的个数是( )


①任意一个自然数都是正整数；


②有的菱形是正方形；


③三角形的内角和是180°.


A．0 B．1


C．2 D．3


[答案] C


2．已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则其否定是( )


A．p：∃x∈R，sin ≥1


B．p：∀x∈R，sin x≥1


C．p：∃x∈R，sin x＞1


D．p：∀x∈R，sin x＞1


[答案] C


3．下列存在量词命题中，是假命题的是( )


A．∃x∈Z，x2－2x－3＝0


B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除


C．有的三角形没有外接圆


D．某些四边形不存在外接圆


C [A中，x＝－1满足题意，是真命题；B中，x＝6满足题意，是真命题；C中，所有的三角形都有外接圆，是假命题．只有对角互补的四边形才有外接圆，故选C.]


4．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )


A．任意一个有理数，它的平方是有理数


B．任意一个无理数，它的平方不是有理数


C．存在一个有理数，它的平方是有理数


D．存在一个无理数，它的平方不是有理数


B [量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B.]


5．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．


(1)对某些实数x，有2x＋1>0；


(2)∀x∈{3,5,7},3x＋1是偶数；


(3)∃x∈Q，x2＝3.


[解] (1)命题中含有存在量词“某些”，因此是存在量词命题，真命题．


(2)命题中含有全称量词的符号“∀”，因此是全称量词命题．


把3,5,7分别代入3x＋1，得10,16,22，都是偶数，因此，该命题是真命题．


(3)命题中含有存在量词的符号“∃”，因此是存在量词命题．


由于使x2＝3成立的实数只有±eq \r(3)，且它们都不是有理数，因此，没有一个有理数的平方等于3，所以该命题是假命题．学 习 目
核 心 素 养
1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称量词命题和存在量词命题的意义.


2.掌握全称量词命题与存在量词命题真假性的判定．(重点、难点)


3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点、易混点)
1.通过含量词的命题的否定，培养逻辑推理素养.


2.借助全称量词命题和存在量词命题的应用，提升数学运算素养.
全称量词命题和存在量词命题的判断
含有一个量词的命题的否定
全称量词命题与存在量词命题的应用