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数学八年级上册15.4 角的平分线第2课时教案
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这是一份数学八年级上册15.4 角的平分线第2课时教案，共3页。教案主要包含了知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观，教学重点，教学难点等内容，欢迎下载使用。
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.使学生掌握角平分线定理及其逆定理,培养学生探索知识的能力.
2.使学生了解能利用角平分线定理及其逆定理证明角或线段相等.
【过程与方法】
从事物特殊性入手,总结归纳事物的一般性.体现在研究问题时注意纯粹性与完备性,准确、全面地思考问题.
【情感、态度与价值观】
渗透点的集合的数学思想.
◇教学重难点◇
【教学重点】
角平分线的性质和判定;点到角的边的距离要强调垂直关系.
【教学难点】
分清文字命题中的题设(已知)和结论,掌握证明题格式;把角平分线看作点的集合.
◇教学过程◇
一、情境导入
我们已经学习过角的平分线的概念,它有什么重要性质呢?怎样找到这个角的平分线?
(1)有一张剪好的纸片(如图1),怎样找到这个角的平分线?(引导学生回答)
(2)大家知道,只要把纸片对折,使角的两边叠合在一起,把纸片展开后的折痕就是这个角的平分线,如图2.如果我们把对折后的纸片继续折一次,然后把纸片展开,就会出现两条折痕,如图3中的PM和PN,不难发现,这两条折痕的长相等,而且这种等长的折痕我们可以找出无数对.由此可见,角的平分线除了有平分角的性质,还有其他的性质.
二、合作探究
定理1 角平分线上的点到角两边的距离相等.
题设:一个点在一个角的平分线上.
结论:它到角的两边的距离相等.
已知:如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.
求证:PD=PE.
证明:∵OC是∠AOB的平分线,(已知)
∴∠AOC=∠BOC.(角平分线的定义)
∵PD⊥OA,PE⊥OB,(已知)
∴∠PDO=∠PEO=90°.(垂直的定义)
在△PDO和△PEO中,
∴△PDO≌△PEO.(AAS)
∴PD=PE.(全等三角形的对应边相等)
定理应用所具备的条件和定理的作用:条件有3个,分别是角的平分线、点在该平分线上和垂直距离,作用是证明线段相等.
如图,填写使BC=BD成立所需的条件 .
猜想图中,由BC⊥AC于点C,BD⊥AD于点D,BC=BD,可以得到什么结论?
定理2 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
已知:PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E,PD=PE,如图.
求证:点P在∠AOB的平分线上.
证明:经过点P作射线OC.
∵PD⊥OA,PE⊥OB,(已知)
∴∠PDO=∠PEO=90°.(垂直的定义)
在Rt△PDO和Rt△PEO中,
∴Rt△PDO≌Rt△PEO.(HL)
∴∠AOC=∠BOC.(全等三角形的对应角相等)
∴OC是∠AOB的平分线.
∴P在∠AOB的平分线上.
由定理1,2可知:在一个角内,到角的两边的距离相等的点,都在这个角的平分线上;反过来,角的平分线上的点到角的两边距离相等.于是得到下面的结论:
角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.
典例 已知:如图,△ABC中,∠B的平分线BE与∠C的平分线CF相交于点P.
求证:AP平分∠BAC.
[解析] 过点P分别作PM⊥BC,PN⊥AC,PQ⊥AB,垂足分别为点M,N,Q.
∵BE是∠B的平分线,点P在BE上,(已知)
∴PQ=PM.(角平分线上的点到角两边的距离相等)
同理,PN=PM.
∴PN=PQ.(等量代换)
∴AP平分∠BAC.(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上)
这个例子说明:三角形三条内角平分线相交于一点,这点到三角形三边的距离相等.
三、板书设计
角的平分线的判定
1.角平分线上的点到角两边的距离相等.
2.角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
3.三角形三条内角平分线相交于一点,这点到三角形三边的距离相等.
◇教学反思◇
学生通过自己动手操作、自己推导、自己发现,得到角平分线的性质定理及其逆定理,充分发挥了探究意识,体验并掌握了合作交流的学习方法,同时进一步锻炼了数学语言表达能力以及规范书写证明过程的能力.
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.使学生掌握角平分线定理及其逆定理,培养学生探索知识的能力.
2.使学生了解能利用角平分线定理及其逆定理证明角或线段相等.
【过程与方法】
从事物特殊性入手,总结归纳事物的一般性.体现在研究问题时注意纯粹性与完备性,准确、全面地思考问题.
【情感、态度与价值观】
渗透点的集合的数学思想.
◇教学重难点◇
【教学重点】
角平分线的性质和判定;点到角的边的距离要强调垂直关系.
【教学难点】
分清文字命题中的题设(已知)和结论,掌握证明题格式;把角平分线看作点的集合.
◇教学过程◇
一、情境导入
我们已经学习过角的平分线的概念,它有什么重要性质呢?怎样找到这个角的平分线?
(1)有一张剪好的纸片(如图1),怎样找到这个角的平分线?(引导学生回答)
(2)大家知道,只要把纸片对折,使角的两边叠合在一起,把纸片展开后的折痕就是这个角的平分线,如图2.如果我们把对折后的纸片继续折一次,然后把纸片展开,就会出现两条折痕,如图3中的PM和PN,不难发现,这两条折痕的长相等,而且这种等长的折痕我们可以找出无数对.由此可见,角的平分线除了有平分角的性质,还有其他的性质.
二、合作探究
定理1 角平分线上的点到角两边的距离相等.
题设:一个点在一个角的平分线上.
结论:它到角的两边的距离相等.
已知:如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.
求证:PD=PE.
证明:∵OC是∠AOB的平分线,(已知)
∴∠AOC=∠BOC.(角平分线的定义)
∵PD⊥OA,PE⊥OB,(已知)
∴∠PDO=∠PEO=90°.(垂直的定义)
在△PDO和△PEO中,
∴△PDO≌△PEO.(AAS)
∴PD=PE.(全等三角形的对应边相等)
定理应用所具备的条件和定理的作用:条件有3个,分别是角的平分线、点在该平分线上和垂直距离,作用是证明线段相等.
如图,填写使BC=BD成立所需的条件 .
猜想图中,由BC⊥AC于点C,BD⊥AD于点D,BC=BD,可以得到什么结论?
定理2 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
已知:PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E,PD=PE,如图.
求证:点P在∠AOB的平分线上.
证明:经过点P作射线OC.
∵PD⊥OA,PE⊥OB,(已知)
∴∠PDO=∠PEO=90°.(垂直的定义)
在Rt△PDO和Rt△PEO中,
∴Rt△PDO≌Rt△PEO.(HL)
∴∠AOC=∠BOC.(全等三角形的对应角相等)
∴OC是∠AOB的平分线.
∴P在∠AOB的平分线上.
由定理1,2可知:在一个角内,到角的两边的距离相等的点,都在这个角的平分线上;反过来,角的平分线上的点到角的两边距离相等.于是得到下面的结论:
角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.
典例 已知:如图,△ABC中,∠B的平分线BE与∠C的平分线CF相交于点P.
求证:AP平分∠BAC.
[解析] 过点P分别作PM⊥BC,PN⊥AC,PQ⊥AB,垂足分别为点M,N,Q.
∵BE是∠B的平分线,点P在BE上,(已知)
∴PQ=PM.(角平分线上的点到角两边的距离相等)
同理,PN=PM.
∴PN=PQ.(等量代换)
∴AP平分∠BAC.(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上)
这个例子说明:三角形三条内角平分线相交于一点,这点到三角形三边的距离相等.
三、板书设计
角的平分线的判定
1.角平分线上的点到角两边的距离相等.
2.角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
3.三角形三条内角平分线相交于一点,这点到三角形三边的距离相等.
◇教学反思◇
学生通过自己动手操作、自己推导、自己发现,得到角平分线的性质定理及其逆定理,充分发挥了探究意识,体验并掌握了合作交流的学习方法,同时进一步锻炼了数学语言表达能力以及规范书写证明过程的能力.
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