2021学年15.4 角的平分线第1课时教学设计

15.4角的平分线

第1课时角平分线的尺规作图

教学目标

【知识与能力】

1. 掌握角平分线的尺规作法并会证明它的正确性。

2. 掌握过一点作已知直线垂线的尺规作法。

【过程与方法】

1. 培养学生用直尺和圆规作图的能力及有条理地语言表达能力。

2. 培养学生分析问题和解决问题的能力。

【情感态度价值观】

在探究作已知角的平分线的方法及作垂线的方法中，培养学生的几何直觉；培养学生探究问题的兴趣，增强探究问题的信心；体验数学活动的探索性和创造性。

教学重难点

【教学重点】

角平分线及垂线的尺规作法。

【教学难点】

角平分线的尺规作法的正确性的证明。

课前准备

课件、教具等。

教学过程

一、情境导入

温故知新

什么是角平分线？

问题：怎样作∠AOB的平分线呢？

①折纸法；②度量法．

如果用尺规作图，该怎么做呢？

二、合作探究

探究点一：角平分线的尺规作图

例1  请在图中作出线段AD，使其平分∠BAC且长度等于m.

要求：用尺规作图，并写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法和结论．

已知：

求作：

解析：首先以A为圆心，任意长为半径作弧，交射线AB、AC于E、F，然后以E、F为圆心，大于EF长为半径作弧，交于点M，那么AM就是∠BAC的角平分线，只需在射线AM上截取AD＝m即可．

解：已知：线段m，∠BAC；

求作：线段AD，使得∠BAD＝∠CAD，AD＝m.

如图所示．

方法总结：此题主要考查的是角平分线的作法，难度不大．作一个角的平分线是基本的作图．尺规作图时，应该遵循作图必需的正确步骤．

探究点二：过一点作已知直线的垂线

例2  如图，分别过点P作线段MN的垂线．

解析：利用过直线外一点作已知直线的垂线的方法分别作各条线段所在的直线的垂线即可．

解：如图，(1)延长NM，过点P作NM所在直线的垂线；(2)延长NM，过点P作NM所在直线的垂线；(3)延长MN，过点P作MN所在直线的垂线；(4)延长NM，过点P作NM所在直线的垂线．

方法总结：过一点作线段的垂线，就是作线段所在直线的垂线．

探究点三：尺规作图的综合应用

例3  如图，已知直线l及其两侧两点A、B.

(1)在直线l上求一点O，使到A、B两点距离之和最短；

(2)在直线l上求一点P，使PA＝PB；

(3)在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB.

解析：(1)根据两点之间线段最短，连接AB，线段AB交直线l于点O，则O为所求点；

(2)根据线段垂直平分线的性质连接AB，再作出线段AB的垂直平分线即可；

(3)作B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l与点Q，连接BQ，由三角形全等的判定定理得出△BDQ≌△B′DQ，再由全等三角形的性质可得出∠BQD＝∠B′QD，即直线l平分∠AQB.

解：(1)如图①，连接AB，线段AB交直线l于点O，∵点A、O、B在一条直线上，∴O点即为所求点；

(2)如图②，连接AB，分别以A、B两点为圆心，以大于AB的长度为半径作弧，两弧相交于C、D两点，连接CD与直线l相交于P点，连接BD、AD、BP、AP、BC、AC，∵BD＝AD＝BC＝AC，即C、D两点都在AB的垂直平分线上，∴CD是线段AB的垂直平分线，∵P是CD上的点，∴PA＝PB；

(3)如图③，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l与点Q，连接BQ，∵B与B′两点关于直线l对称，∴BD＝B′D，DQ＝DQ，∠BDQ＝∠B′DQ，∴△BDQ≌△B′DQ，∴∠BQD＝∠B′QD，即直线l平分∠AQB.

方法总结：本题考查的是两点之间线段最短、线段垂直平分线的性质及角平分线的性质，熟知各题的知识点是解答此题的关键．

三、布置作业

1.课本143页练习2；

2.探索课本143页思考。

教学反思

本节课的知识点有角平分线的尺规作图，过直线上的点作已知直线的垂线．教学时采用了体验探究的方式，为学生提供了亲自操作的机会，引导学生运用已有经验、知识、方法去探索这两个基本作图，进而通过教师的引导加工上升为理性认识，从而获得新知，使学生的学习变为一个再创造的过程，同时让学生学到获取知识的思想和方法．