2020-2021学年15.4 角的平分线优秀巩固练习

这是一份2020-2021学年15.4 角的平分线优秀巩固练习，文件包含专题156角的平分线解析版docx、专题156角的平分线原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。

姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2019秋•达孜区期中）如图，PM＝PN，∠BOC＝30°，则∠AOB的度数（ ）
A．30°B．45°C．60°D．50°
【分析】由角平分线性质定理的逆定理和角的和差直接求出∠AOB的度数为60°．
【解析】如图所示：
∵点P在∠AOB的内部，PM⊥AO，
PN⊥OB，PM＝PN，
∴点P在∠AOB的角平分线上，
∴OC平分∠AOB，
∵∠BOC＝30°，
∴∠AOB＝60°，
故选：C．
2．（2019秋•金山区期末）已知△ABC内一点M，如果点M到两边AB、BC的距离相等，那么点M（ ）
A．在AC边的高上B．在AC边的中线上
C．在∠ABC的平分线上D．在AC边的垂直平分线上
【分析】根据角平分线的性质推出M在∠ABC的角平分线上，即可得到答案．
【解析】∵ME⊥AB，MF⊥BC，ME＝MF，
∴M在∠ABC的角平分线上，
故选：C．
3．（2021春•金塔县期末）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由垂线段最短可知当PQ⊥OM时PQ最小，当PQ⊥OM时，则由角平分线的性质可知PA＝PQ，可求得PQ＝2．
【解析】
∵垂线段最短，
∴当PQ⊥OM时，PQ有最小值，
又∵OP平分∠MON，PA⊥ON，
∴PQ＝PA＝2，
故选：B．
4．（2020秋•浦东新区月考）在三角形内部，且到三角形三边距离相等的点是（ ）
A．三角形三条角平分线的交点
B．三角形三边垂直平分线的交点
C．三角形三条中线的交点
D．三角形三条高线的交点
【分析】利用角平分线的性质进行判断．
【解析】在三角形内部，且到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点．
故选：A．
5．（2021春•华容县期末）如图，点P在∠ABC的平分线上，PD⊥BC于点D，若PD＝4，则P到BA的距离为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】从已知开始思考，根据角平分线的性质即可求解．
【解析】∵BP是∠ABC的平分线，PD⊥BC于点D，
∴点P到边AB的距离等于PD＝4．
故选：B．
6．（2020秋•中山市期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝6，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（ ）
A．4B．6C．3D．12
【分析】根据垂线段最短得出当DP⊥BC时，DP的长度最小，求出∠ABD＝∠CBD，根据角平分线的性质得出AD＝DP＝6，即可得出选项．
【解析】∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
∴∠C+∠CBD＝90°，
∵∠A＝90°
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∵∠ADB＝∠C，
∴∠ABD＝∠CBD，
当DP⊥BC时，DP的长度最小，
∵AD⊥AB，
∴DP＝AD，
∵AD＝6，
∴DP的最小值是6，
故选：B．
7．（2020春•锦江区期末）点P在∠AOB的角平分线上，点P到OA边的距离等于10，点Q是OB边上的任意一点，下列选项正确的是（ ）
A．PQ＜10B．PQ＞10C．PQ≥10D．PQ≤10
【分析】过P作PD⊥OB于D，根据角平分线的性质得出PC＝PD＝10，再根据垂线段最短得出即可．
【解析】过P作PD⊥OB于D，
∵PC⊥OA，PD⊥OB，OP平分∠AOB，
∴PC＝PD，
∵点P到OA边的距离等于10，
∴PD＝PC＝10，
∴PQ≥10（当Q与点D重合时，PQ＝10），
故选：C．
8．（2020秋•慈溪市期中）如图，E为∠BAC平分线AP上一点，AB＝4，△ABE的面积为12，则点E到直线AC的距离为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据三角形面积公式得出点E到直线AB的距离，利用角平分线上的点到角的两边的距离相等，即可求解．
【解析】∵AB＝4，△ABE的面积为12，
∴点E到直线AB的距离=2×124=6，
∵E为∠BAC平分线AP上一点，
∴点E到直线AC的距离＝6，
故选：D．
9．（2019春•保定期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，过点O做EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于点D，下列四个结论：
①EF＝BE+CF；②点O到△ABC各边的距离相等；③∠BOC＝90°+12∠A；④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF=12mn．其中结论正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【分析】根据角平分线的性质得出OD＝OQ＝OR，根据角平分线的定义得出∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，再逐个判断即可．
【解析】过O作OQ⊥AB于Q，OR⊥BC于R，如图1，
∵BN平分∠ABC，
∴∠EBO＝∠OBC，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，
∴∠EBO＝∠EOB，
∴OE＝BE，
同理CF＝OF，
∴EF＝OE+OF＝BE+CF，故①正确；
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于O，OQ⊥AB，OD⊥AC，OR⊥BC，
∴OQ＝OR，OD＝OR，
∴OD＝OQ＝OR，
即点O到△ABC各边的距离相等，故②正确；
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于O，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°﹣∠A）＝90°-12∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（90°-12∠A）＝90°+12∠A，故③正确；
连接AO，如图2，
∵OD＝OQ＝m，AE+AF＝n，
∴S△AEF＝S△AEO+S△AFO
=12×AE×OQ+12×AF×OD
=12×AE×m+12×AF×m
=12m（AE+AF）
=12mn，故④正确；
即正确的是①②③④，
故选：D．
10．（2018秋•长兴县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③DE平分∠ADB；④若AC＝4BE，则S△ABC＝8S△BDE．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据题中条件，结合图形及角平分线的性质得到结论，与各选项进行比对，排除错误答案，选出正确的结果．
【解析】∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝∠DAE，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴∠C＝∠DEA＝90°，
∵AD＝AD，
∴△DAC≌△DAE（AAS），
∴∠CDA＝∠EDA，
∴①AD平分∠CDE正确；
无法证明∠BDE＝60°，
∴③DE平分∠ADB错误；
∵BE+AE＝AB，AE＝AC，
∵AC＝4BE，
∴AB＝5BE，AE＝4BE，
∴S△ADB＝5S△BDE，S△ADC＝4S△BDE，
∴S△ABC＝9S△BDE，
∴④错误；
∵∠BDE＝90°﹣∠B，∠BAC＝90°﹣∠B，
∴∠BDE＝∠BAC，
∴②∠BAC＝∠BDE正确．
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020春•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝∠ADC＝60°，若CD＝4，则BD＝ 8 ．
【分析】根据∠C＝90°，∠BAC＝∠ADC＝60°，可以得到∠B、∠DAC和∠DAB的度数，然后即可得到AD＝BD，再根据CD＝4，∠DAC和∠C的度数，即可得到AD的长，从而可以得到BD的长．
【解析】∵∠C＝90°，∠BAC＝∠ADC＝60°，
∴∠B＝30°，∠DAC＝30°，
∴∠DAB＝∠ADC﹣∠B＝30°，
∴∠DAB＝∠B，
∴AD＝BD，
又∵CD＝4，∠CAD＝30°，∠C＝90°，
∴AD＝8，
∴BD＝8，
故答案为：8．
12．（2019秋•青浦区校级月考）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝45°，BC＝8，∠ABC的角平分线交AC于点D，DE⊥BC，则S△ABC＝ 16 ．
【分析】利用勾股定理求出AB，AC即可解决问题．
【解析】∵∠A＝90°，∠A＝45°，
∴∠ABC＝∠C＝45°，
∴AB＝AC，
∵BC＝8，
∴AB＝BC＝42，
∴S△ABC=12•AB•AC=12×42×42=16，
故答案为16．
13．（2021•衡水模拟）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于D，DE⊥AB于点E，△ABC的面积是42cm2，AB＝10cm，BC＝14cm，则DE＝ 72 cm．
【分析】作DF⊥BC于F，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DF，再利用三角形面积公式得到12×10×DE+12×14×DF＝42，则5DE+7DE＝42，从而可求出DE的长．
【解析】作DF⊥BC于F，如图，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
∵S△ADB+S△BCD＝S△ABC，
∴12×10×DE+12×14×DF＝42，
∴5DE+7DE＝42，
∴DE=72（cm）．
故答案为72．
14．（2020秋•泰兴市期末）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，△ABC的面积为60，AB＝16，BC＝14，则DE的长等于 4 ．
【分析】作DF⊥BC于F，根据角平分线的性质得到DF＝DE，根据三角形面积公式计算即可．
【解析】作DF⊥BC于F，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DF＝DE，
∴S△ABC＝S△ABD+S△DBC=12×AB×DE+12×BC×DF=12×(AB+BC)⋅DE=12×(16+14)⋅DE=60，
∴DF＝DE＝4．
故答案为：4．
15．（2020秋•丹徒区期末）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝12，BC＝18，CD＝8，则四边形ABCD的面积是 120 ．
【分析】过点D作DE⊥BA的延长线于点E，利用角平分线的性质可得出DE＝DC＝8，再利用三角形的面积公式结合S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD可求出四边形ABCD的面积．
【解析】过点D作DE⊥BA的延长线于点E，如图所示．
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DC＝8，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD，
=12AB•DE+12BC•CD，
=12×12×8+12×18×8，
＝120．
故答案为：120．
16．（2020秋•西宁期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是 15 ．
【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE＝DC＝3，根据三角形的面积公式计算即可．
【解析】如图，作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝3，
∴△ABD的面积=12×AB×DE=12×10×3＝15，
故答案为：15．
17．（2020春•富平县期末）如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB＝60°，PD⊥OA于点D，M是OP的中点，DM＝6cm，如果点C是OB上一动点，则PC的最小值为 6 cm．
【分析】作PC′⊥OB于C′，根据直角三角形的性质求出PD，根据角平分线的性质解答．
【解析】作PC′⊥OB于C′，
则PC′为PC的最小值，
∵PD⊥OA，M是OP的中点，
∴OP＝2DM＝12cm，
∵P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB＝60°，
∴∠DOP＝30°，
∴PD=12OP＝6cm，
∵P是∠AOB角平分线上的一点，PD⊥OA，PC′⊥OB，
∴PC′＝PD＝6cm，
故答案为：6．
18．（2019春•徐汇区校级期中）如图，已知∠MON＝80°，OE平分∠MON，点A、B分别是射线OM、OE上的点，且AB⊥OM，点C在射线ON上，联结AC交射线OE于点D．设∠OAC＝α，若△ADB中有两个相等的角，则α＝ 10°或25°或40° ．
【分析】根据角平分线的性质分三种情况解答即可．
【解析】如图，
∵∠MON＝80°，OE平分∠MON，
∴∠MOE=12∠MON＝40°，
∵AB⊥OM，
∴∠OAB＝90°，
∴∠1＝90°﹣∠MOE＝50°，
①当∠1＝∠2＝50°时，∠OAC＝∠OAB﹣∠2＝40°，
②当∠1＝∠3＝50°时，∠2＝180°﹣∠1﹣∠3＝80°，
∴∠OAC＝90°﹣∠2＝10°，
③当∠2＝∠3时，
∵∠1＝50°，
∴∠2＝∠3=180°-∠12=65°，
∴∠OAC＝90°﹣∠2＝25°，
综上所述，∠OAC的度数为10°或25°或40°，
故答案为：10°或25°或40°．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021•章丘区模拟）如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝6，BC＝8，若S△ABC＝28，求DE的长．
【分析】根据角平分线性质得出DE＝DF，根据三角形的面积公式得出关于DE的方程，求出即可．
【解析】∵BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
∵AB＝6，BC＝8，S△ABC＝28，
∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD=12AB•DE+12BC•DF=12DE•（AB+BC）＝28，
即12DE（6+8）＝28，
∴DE＝4．
20．（2019秋•临西县期末）已知：如图，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．求证：PA平分∠MAN．
【分析】作PD⊥BC于点D，根据角平分线的性质得到PM＝PD，PN＝PD，得到PM＝PN，根据角平分线的判定定理证明即可．
【解答】证明：作PD⊥BC于点D，
∵BP是△ABC的外角平分线，PM⊥AB，PD⊥BC，
∴PM＝PD，
同理，PN＝PD，
∴PM＝PN，又PM⊥AB，PN⊥AC，
∴PA平分∠MAN．
21．（2018秋•寻乌县期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，连接AP．
（1）求证：PA平分∠BAC的外角∠CAM；
（2）过点C作CE⊥AP，E是垂足，并延长CE交BM于点D．求证：CE＝ED．
【分析】（1）过P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，根据角平分线性质求出PQ＝PS＝PT，根据角平分线性质得出即可；
（2）根据ASA求出△AED≌△AEC即可．
【解答】证明：（1）
过P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，如图，
∵在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，
∴PQ＝PT，PS＝PT，
∴PQ＝PS，
∴AP平分∠DAC，
即PA平分∠BAC的外角∠CAM；
（2）∵PA平分∠BAC的外角∠CAM，
∴∠DAE＝∠CAE，
∵CE⊥AP，
∴∠AED＝∠AEC＝90°，
在△AED和△AEC中
∠DAE=∠CAEAE=AE∠DEA=∠CEA
∴△AED≌△AEC，
∴CE＝ED．
22．（2021春•沙坪坝区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．CE⊥AB于点E，AF平分∠CAB，交CE于点F，过点F作GD∥BC，交AC于点G．交AB于点D．
（1）求证：AC＝AD；
（2）若GC＝4，GD＝8，求△CFG的周长．
【分析】（1）根据角平分线得到∠CAF＝∠DAF，则可根据“AAS”判断△ACF≌△ADF，所以CF＝DF；
（2）由△ACF≌△ADF得到CF＝DF，再根据周长的定义解答即可．
【解答】证明：（1）∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠DAF，
∵CE⊥AB，
∴∠CED＝90°，
∵GD∥BC，∠ACB＝90°，
∴∠GFC＝∠EFD，
∴∠ACE＝∠ADG
在△ACF和△ADF中，
∠CAF=∠DAF∠ACF=∠ADFAF=AF
∴△ACF≌△ADF （SAS），
∴AC＝AD；
（2）∵△ACF≌△ADF，
∴CF＝DF，
∴△CFG的周长为：CG+GF+CF＝CG+FD+GF＝CG+DG＝4+8＝12
23．（2020春•南岗区期末）已知：在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
（1）如图1，求∠BDC的度数；
（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积．
【分析】（1）先根据角平分线的定义得到∠DBC＝30°，∠DCB＝20°，然后根据三角形内角和计算∠BDC的度数；
（2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，根据角平分线的性质得到DH＝DE＝DF＝2，然后根据三角形面积公式计算△ADC的面积．
【解析】（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=12∠ABC=12×60°＝30°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB=12∠ACB=12×40°＝20°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB
＝180°﹣30°﹣20°
＝130°；
（2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC，
∴DH＝DE＝2，
∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC，
∴DF＝DH＝2，
∴△ADC的面积=12DF•AC=12×2×4＝4．
24．（2020秋•常熟市期中）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求∠CAD的度数；
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
【分析】（1）根据直角三角形的性质求出∠FAE，根据补角的定义计算，得到答案；
（2）过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，根据角平分线的性质得到EF＝EG，EF＝EH，等量代换得到EG＝EH，根据角平分线的判定定理证明结论；
（3）根据三角形的面积公式求出EG，再根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】（1）解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，
∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°，
∵∠BAD＝100°，
∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°；
（2）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，
∵∠FAE＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，
∴EF＝EG，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，
∴EF＝EH，
∴EG＝EH，
∵EG⊥AD，EH⊥BC，
∴DE平分∠ADC；
（3）解：∵S△ACD＝15，
∴12×AD×EG+12×CD×EH＝15，即12×4×EG+12×8×EG＝15，
解得，EG＝EH=52，
∴EF＝EH=52，
∴△ABE的面积=12×AB×EF=12×7×52=354．