苏科版第2章 对称图形——圆2.4 圆周角第2课时导学案

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2.4 第2课时 特殊的圆周角


知识点 1 利用直径所对的圆周角是直角求角度


1．如图2－4－15，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上．若∠A＝40°，则∠B的度数为( )


A．80° B．60° C．50° D．40°





图2－4－15





图2－4－16








2．如图2－4－16，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠ACD＝40°，则∠BAD的度数为( )


A．50° B．40° C．45° D．60°


3．如图2－4－17，AB是⊙O的直径，C，D，E是⊙O上的点，则∠1＋∠2＝________°.





图2－4－17





图2－4－18








4．[2017·株洲] 如图2－4－18，已知AM是⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB＝AC，∠BAM＝ ∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D，E.若∠BMD＝40°，则∠EOM＝________°.


5．如图2－4－19，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°.求∠CEB的度数．





图2－4－19











知识点 2 利用直径所对的圆周角是直角求线段长








6．教材练习第1题变式如图2－4－20，把直角三角形的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM＝8 cm，ON＝6 cm，则该圆形玻璃镜的半径是( )


A.eq \r(10) cm B．5 cm C．6 cm D．10 cm





图2－4－20





图2－4－21








7．如图2－4－21，AB是⊙O的直径，若BC＝5，AC＝12，则⊙O的直径AB为________．


8．[2017·台州] 如图2－4－22，已知等腰直角三角形ABC，P是斜边BC上一点(不与点B，C重合)，PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．


(1)求证：△APE是等腰直角三角形；


(2)若⊙O的直径为2，求PC2＋PB2的值．





图2－4－22











9．如图2－4－23，⊙O以等腰三角形ABC的一腰AB为直径，它交另一腰AC于点E，交BC于点D.求证：BC＝2DE.





图2－4－23


























图2－4－24


10．如图2－4－24，AB是半圆的直径，D是eq \(AC,\s\up8(︵))的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于( )


A．55° B．60° C．65° D．70°


11．[2017·海南] 如图2－4－25，AB是⊙O的弦，AB＝5，C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°.若M，N分别是AB，AC的中点，则MN长的最大值是________．





图2－4－25





图2－4－26








12．如图2－4－26，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD与BC，OC分别相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②CB平分∠ABD；③∠AOC＝∠AEC；④AF＝DF；⑤△CEF≌△BED；⑥BD＝2OF.其中一定成立的是________(请填序号)．


13．如图2－4－27，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E.


(1)若∠B＝70°，求∠CAD的度数；


(2)若AB＝4，AC＝3，求DE的长．








图2－4－27






































14．如图2－4－28，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使CD＝BC，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE.


(1)求证：∠B＝∠D；


(2)若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长．








图2－4－28











15．已知：如图2－4－29①，在⊙O中，直径AB＝4，弦CD＝2，直线AD，BC相交于点E.


(1)∠E的度数为________；


(2)如图②，直径AB与弦CD交于点F，请补全图形并求∠E的度数；


(3)如图③，直径AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．





图2－4－29





1．C [解析] 因为AB是⊙O的直径，所以∠C＝90°，所以∠A＋∠B＝90°，则∠B＝90°－∠A＝90°－40°＝50°.故选C.


2．A [解析] ∵AB为⊙O的直径，


∴∠ADB＝90°.


∵∠ABD＝∠ACD＝40°，


∴∠BAD＝180°－90°－40°＝50°.


3．90 [解析] 连接AC，则∠ACB＝90°.


根据圆周角定理，得∠ACE＝∠2，


∴∠1＋∠2＝∠ACB＝90°.


4．80


5．解：如图，连接BC，则∠ADC＝∠B.





∵∠ADC＝50°，


∴∠B＝50°.


∵AB是⊙O的直径，


∴∠ACB＝90°，


∴∠BAC＝40°.


∵∠CEB＝∠ACD＋∠BAC，∠ACD＝60°，


∴∠CEB＝60°＋40°＝100°.


6．B


7．13


8．解：(1)证明：∵△ABC是等腰直角三角形，


∴∠ABC＝45°，∴∠AEP＝45°.


∵PE是⊙O的直径，∴∠PAE＝90°，


∴△APE是等腰直角三角形．


(2)∵△ABC和△APE均是等腰直角三角形，


∴AC＝AB，AP＝AE，∠CAB＝∠PAE＝90°，


∴∠CAP＝∠BAE.


在△APC和△AEB中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AC＝AB，,∠CAP＝∠BAE，,AP＝AE，))


∴△APC≌△AEB，∴PC＝EB.


∵PE是⊙O的直径，∴∠PBE＝90°，


∴PC2＋PB2＝EB2＋PB2＝PE2＝4.


9．证明：连接AD，BE.


∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.


又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，BD＝DC，


即BC＝2DC.


∵∠DAE＝∠DBE，∠ADE＝∠ABE，


∴∠DEC＝∠DAE＋∠ADE＝∠DBE＋∠ABE＝∠ABC＝∠C，


∴DE＝DC，∴BC＝2DE.


10．C [解析] 连接BD.


∵D是eq \(AC,\s\up8(︵))的中点，即eq \(CD,\s\up8(︵))＝eq \(AD,\s\up8(︵))，


∴∠ABD＝∠CBD.


∵∠ABC＝50°，∴∠ABD＝eq \f(1,2)×50°＝25°.


∵AB是半圆的直径，∴∠ADB＝90°，


∴∠DAB＝90°－25°＝65°.


11.eq \f(5 \r(2),2)


12．①②④⑥


13．解：(1)∵AB是半圆O的直径，


∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°－∠B＝20°.


又∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠B＝70°.


∵OA＝OD，


∴∠DAO＝∠ADO＝eq \f(1,2)(180°－∠AOD)＝55°，


∴∠CAD＝∠DAO－∠CAB＝35°.


(2)在Rt△ABC中，BC＝eq \r(AB2－AC2)＝eq \r(7).


∵OD∥BC，∴∠AEO＝∠ACB＝90°，


即OE⊥AC，∴AE＝EC.


又∵OA＝OB，∴OE＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(\r(7),2).


∵OD＝eq \f(1,2)AB＝2，


∴DE＝OD－OE＝2－eq \f(\r(7),2).


14． (1)证明：∵AB为⊙O的直径，


∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC.


又∵CD＝BC，∴AD＝AB，∴∠B＝∠D.


(2)设BC＝x，则AC＝x－2.


在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，


即(x－2)2＋x2＝42，


解得x1＝1＋eq \r(7)，x2＝1－eq \r(7)(舍去)，


∴BC＝1＋eq \r(7).


∵∠B＝∠E，∠B＝∠D，


∴∠D＝∠E，


∴CD＝CE.


∵CD＝BC，


∴CE＝BC＝1＋eq \r(7).


15． (1)如图①，连接OD，OC，BD.





∵OD＝OC＝CD＝2，


∴△DOC为等边三角形，


∴∠DOC＝60°，


∴∠DBC＝30°.


∵AB为⊙O的直径，


∴∠ADB＝90°，


∴∠E＝90°－30°＝60°.


(2)如图②，直线AD，CB交于点E，连接OD，OC，AC.


∵OD＝OC＝CD＝2，


∴△DOC为等边三角形，


∴∠DOC＝60°，





∴∠DAC＝30°.


∵AB为⊙O的直径，


∴∠ACB＝90°，


∴∠E＝90°－∠DAC＝90°－30°＝60°.


(3)如图③，连接OD，OC.


∵OD＝OC＝CD＝2，


∴△DOC为等边三角形，





∴∠DOC＝60°，


∴∠CBD＝30°.


∵AB为⊙O的直径，


∴∠ADB＝90°，


∴∠BED＝60°，


∴∠AEC＝∠BED＝60°.