初中数学苏科版九年级上册第2章 对称图形——圆2.5 直线与圆的位置关系第3课时导学案

这是一份初中数学苏科版九年级上册第2章 对称图形——圆2.5 直线与圆的位置关系第3课时导学案，共7页。

2.5 第3课时 三角形的内切圆


知识点 1 三角形内切圆的概念








图2－5－21


1．[2017·广州] 如图2－5－21，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的( )


A．三条边的垂直平分线的交点


B．三条角平分线的交点


C．三条中线的交点


D．三条高的交点


知识点 2 三角形内切圆的应用


2．教材练习第1题变式如图2－5－22，点O是△ABC的内心，∠A＝62°，则∠BOC＝( )


A．59° B．31° C．124° D．121°





图2－5－22





图2－5－23








3．如图2－5－23，⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，CA分别切于点D，E，F，∠DOE＝120°，∠EOF＝110°，则∠A＝______°，∠B＝______°，∠C＝______°.


4．教材例4变式如图2－5－24，⊙O是△ABC的内切圆，与边BC，CA，AB的切点分别为D，E，F.若∠A＝70°，则∠EDF的度数为________．


5．△ABC的三边长分别为a，b，c，⊙I是△ABC的内切圆，半径为r，则S△ABC＝______________．


6．已知直角三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形的内切圆半径是________．





图2－5－24





图2－5－25








7．如图2－5－25，已知⊙O是边长为2的等边三角形ABC的内切圆，则⊙O的半径为________．





8．如图2－5－26，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，求∠BOC的度数．





图2－5－26




















9．如图2－5－27，I是△ABC的内心，∠BAC的平分线和△ABC的外接圆相交于点D，BD与ID相等吗？为什么？





图2－5－27





























图2－5－28


10．[2016·河北] 如图2－5－28为4×4的网格图，点A，B，C，D，O均在格点上，点O是( )


A．△ACD的外心


B．△ABC的外心


C．△ACD的内心


D．△ABC的内心


11．[2017·武汉] 已知一个三角形的三边长分别为5，7，8，则其内切圆的半径为( )


A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(3,2) C.eq \r(3) D．2 eq \r(3)


12．如图2－5－29，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的内切圆，它与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F.


(1)求证：BE＝CE；





(2)若∠A＝90°，AB＝AC＝2，求⊙O的半径．





图2－5－29






































13．如图2－5－30，在等腰三角形ABC中，AE是底边BC上的高，点O在AE上，⊙O与AB，BC分别相切于点D，E.


(1)⊙O是否为△ABC的内切圆？请说明理由；


(2)若AB＝5，BC＝4，求⊙O的半径．








图2－5－30





14．已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？


古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式——海伦公式S＝eq \r(p（p－a）（p－b）（p－c）)(其中a，b，c是三角形的三边长，p＝eq \f(a＋b＋c,2)，S为三角形的面积)，并给出了证明．


例如：在Rt△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面积可以这样计算：


∵a＝3，b＝4，c＝5，


∴p＝eq \f(a＋b＋c,2)＝6，


∴S＝eq \r(p（p－a）（p－b）（p－c）)＝eq \r(6×3×2×1)＝6.


事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．


如图2－5－31，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9.


(1)用海伦公式求△ABC的面积；


(2)求△ABC的内切圆半径r.








图2－5－31





详解详析


1．B 2.D


3．50 60 70


4．55° [解析] 连接OE，OF.∵∠A＝70°，⊙O与边BC，CA，AB的切点分别为D，E，F，


∴∠EOF＝180°－70°＝110°，


∴∠EDF＝eq \f(1,2)∠EOF＝55°.


5.eq \f(1,2)r(a＋b＋c)


6．1


7．eq \f(\r(3),3)


[解析] 设⊙O与BC的切点为D.连接OC，OD.


∵CA，CB都与⊙O相切，


∴∠OCD＝∠OCA＝30°.


在Rt△OCD中，CD＝eq \f(1,2)BC＝1，∠OCD＝30°，


∴OD＝eq \f(\r(3),3).


8．解：∵∠BAC＝80°，


∴∠ABC＋∠ACB＝180°－80°＝100°.


∵点O是△ABC的内切圆的圆心，


∴BO，CO分别平分∠ABC，∠BCA，


∴∠OBC＋∠OCB＝50°，


∴∠BOC＝130°.


9．解：BD＝ID.


理由：连接BI.


∵点I是△ABC的内心，


∴∠BAI＝∠CAI，∠ABI＝∠CBI，


∴eq \(BD,\s\up8(︵))＝eq \(CD,\s\up8(︵))，


∴∠BAD＝∠DBC.


∵∠BID＝∠BAI＋∠ABI，∠IBD＝∠CBI＋∠DBC，∴∠IBD＝∠BID，


∴BD＝ID.


10．B [解析] 由图可得OA＝OB＝OC，所以点O是△ABC的外心．故选B.


11．C





12．解：(1)证明：如图，连接OB，OC，OE.


∵⊙O是△ABC的内切圆，


∴BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，


∴∠OBC＝eq \f(1,2)∠ABC，∠OCB＝eq \f(1,2)∠ACB.


∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，


∴∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，


又∵⊙O与BC相切于点E，


∴OE⊥BC，∴BE＝CE.


(2)如图，连接OD，OF.


∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，


∴∠ODA＝∠OFA＝∠A＝90°.


又∵OD＝OF，∴四边形ODAF是正方形．


在Rt△OBD和Rt△OBE中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(OD＝OE，,OB＝OB，))


∴△OBD≌△OBE，


∴BD＝BE，同理CE＝CF.


设OD＝AD＝AF＝r，


则BE＝BD＝CF＝CE＝2－r.


在△ABC中，∠A＝90°，


∴BC＝eq \r(AB2＋AC2)＝2 eq \r(2).


又∵BC＝BE＋CE，∴(2－r)＋(2－r)＝2 eq \r(2)，解得r＝2－eq \r(2)，


∴⊙O的半径是2－eq \r(2).


13．解：(1)⊙O是△ABC的内切圆．


理由：∵⊙O与AB相切于点D，


连接OD，则OD⊥AB于点D，过点O作OF⊥AC于点F.


∵AE是底边BC上的高，


∴AE也是顶角∠BAC的平分线，


∴OF＝OD，∴⊙O与AC相切于点F.


又∵⊙O与BC相切，


∴⊙O是△ABC的内切圆．


(2)连接OB，OC，设⊙O的半径为r.


∵D，E，F是切点，∴OD＝OE＝OF＝r.


由题意得AB＝AC＝5，EC＝BE＝eq \f(1,2)AB＝2.


在Rt△ABE中 ，AE＝eq \r(AB2－BE2)＝eq \r(21)，


∴eq \f(1,2)r(AC＋BC＋AB)＝eq \f(1,2)AE·BC，


解得r＝eq \f(2\r(21),7).


14．解：(1)∵BC＝5，AC＝6，AB＝9，


∴p＝eq \f(BC＋AC＋AB,2)＝eq \f(5＋6＋9,2)＝10，


∴S＝eq \r(p（p－a）（p－b）（p－c）)＝eq \r(10×5×4×1)＝10 eq \r(2)，


故△ABC的面积10 eq \r(2).


(2)∵S＝eq \f(1,2)r(BC＋AC＋AB)，


∴10 eq \r(2)＝eq \f(1,2)r(5＋6＋9)，解得r＝eq \r(2)，


故△ABC的内切圆半径r＝eq \r(2).