高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示优秀第1课时教案及反思

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示优秀第1课时教案及反思，共15页。

第1课时 函数的表示法








1．了解函数的三种表示法及各自的优缺点．


2．掌握求函数解析式的常见方法．


3．尝试作图并从图象上获取有用的信息．








温馨提示：列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．





1．①如图是我国人口出生率变化曲线：





②下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表：


(1)实例①中的图能表示两个变量之间存在函数关系吗？如果能，自变量是什么？


(2)实例②中的表格能表示两个变量之间存在函数关系吗？如果能，定义域是什么？值域是什么？


(3)实例中的函数关系能否用解析式表示？


[答案] (1)能．表示出生率是年份的函数，其中年份为自变量


(2)能．表示浓度是距离的函数，其中，定义域为{50,100,200,300,500}，值域为{0.678,0.398,0.121,0.05,0.01}


(3)不能．并不是所有的函数都有解析式


2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)任何一个函数都可以用列表法表示．( )


(2)任何一个函数都可以用解析法表示．( )


(3)函数f(x)＝2x＋1可以用图象法表示．( )


(4)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．( )


[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×





题型一 函数的表示法


【典例1】 某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．


[思路导引] 把自变量与函数值的对应关系分别用表格、图象和数学表达式加以刻画．


[解] ①列表法


②图象法：如图所示．





③解析法：y＝3000x，x∈{1,2,3，…，10}．





理解函数的表示法的3个关注点


(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．


(2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义．


(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．


1．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．





则f[g(1)]的值为________；当g[f(x)]＝2时，x＝________.


[解析] 由于函数关系是用表格形式给出的，知g(1)＝3，∴f[g(1)]＝f(3)＝1.由于g(2)＝2，∴f(x)＝2，


∴x＝1.


[答案] 1 1


题型二 函数的图象


【典例2】 作出下列函数的图象并求出其值域．


(1)y＝eq \f(2,x)，x∈[2，＋∞)；


(2)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．


[思路导引] 通过“列表→描点→连线”作出函数图象，借助图象求出函数值域．


[解] (1)列表：


画图象，当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝eq \f(2,x)的一部分(图1)，观察图象可知其值域为(0,1]．





(2)列表：


画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分(图2)．由图可得函数的值域是[－1,8]．





描点法作函数图象的3个关注点


(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图．


(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象．


(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．


[针对训练]


2．作出下列各函数的图象：


(1)y＝1－x，x∈Z.


(2)y＝2x2－4x－3,0≤x<3.


[解] (1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝1－x上，又x∈Z，从而y∈Z，因此y＝1－x(x∈Z)的图象是直线y＝1－x上一些孤立的点，如图1所示．





图1 图2


(2)因为0≤x<3，所以这个函数的图象是抛物线y＝2x2－4x－3介于0≤x<3之间的一段，如图2所示.


题型三 函数解析式的求法


【典例3】 (1)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式；


(2)已知函数f(eq \r(x)＋1)＝x＋2eq \r(x)＋1，求f(x)的解析式；


(3)已知函数f(x)满足2f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝3x，求f(x)的解析式．


[思路导引] 求函数解析式，就是寻找函数三要素中的对应关系，即在已知自变量和函数值的条件下求对应关系的表达式．


[解] (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，


∵f(0)＝1，∴c＝1.


∴f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝2ax＋a＋b.


又f(x＋1)－f(x)＝2x，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＝2，,a＋b＝0.))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－1.))


∴f(x)＝x2－x＋1.


(2)解法一：∵f(eq \r(x)＋1)＝x＋2eq \r(x)＋1＝(eq \r(x)＋1)2，


∴f(x)＝x2.


又eq \r(x)＋1≥1，∴f(x)＝x2(x≥1)．


解法二：令t＝eq \r(x)＋1，则x＝(t－1)2.


由于x≥0，所以t≥1.


代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＋1＝t2，


所以f(x)＝x2(x≥1)．


(3)∵2f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝3x，①


∴将x用eq \f(1,x)替换，


得2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋f(x)＝eq \f(3,x)，②


联立①②得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2fx＋f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝3x，,2f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋fx＝\f(3,x)，))


解得f(x)＝2x－eq \f(1,x)(x≠0)，


即f(x)的解析式是f(x)＝2x－eq \f(1,x)(x≠0)．


[变式] (1)若将本例(2)中条件“f(eq \r(x)＋1)＝x＋2eq \r(x)＋1”变为“feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋1))＝eq \f(1,x2)－1”，则f(x)的解析式是什么？


(2)若将本例(3)中条件“2f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝3x”变为


“f(x)－2f(－x)＝9x＋2”，则f(x)的解析式是什么？


[解] (1)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋1))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋1))2－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋1))，


所以f(x)＝x2－2x.


因为eq \f(1,x)≠0，所以eq \f(1,x)＋1≠1，所以f(x)＝x2－2x(x≠1)．


(2)由条件知，f(－x)－2f(x)＝－9x＋2，


则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx－2f－x＝9x＋2，,f－x－2fx＝－9x＋2，))


解得f(x)＝3x－2.








求函数解析式的3种常用方法


(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．如典例3(1)．


(2)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f[g(x)]的解析式求f(x)的解析式，可用换元法(或“配凑法”)，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f[g(x)]中求出f(t)，从而求出f(x)．如典例3(2)．


(3)解方程组法：已知关于f(x)与feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．如典例3(3)．





[针对训练]


3．已知函数f(x)是一次函数，若f[f(x)]＝4x＋8，求f(x)的解析式．


[解] (待定系数法)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，


则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.


又f[f(x)]＝4x＋8，


∴a2x＋ab＋b＝4x＋8，


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,ab＋b＝8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝\f(8,3)，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝－8.))


∴f(x)＝2x＋eq \f(8,3)或f(x)＝－2x－8.


4．已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)．


[解] 解法一(配凑法)：∵f(x＋1)＝x2－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，


∴f(x)＝x2－5x＋6.


解法二(换元法)：令t＝x＋1，则x＝t－1，


∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，


即f(x)＝x2－5x＋6.


课堂归纳小结


1．函数三种表示法的优缺点





2.描点法画函数图象的步骤


(1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表；(4)描点；(5)连线．


3．求函数解析式常用的方法


(1)特定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法.





1．y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为( )


A．y＝eq \f(1,x) B．y＝－eq \f(1,x)


C．y＝eq \f(2,x) D．y＝－eq \f(2,x)


[解析] 设y＝eq \f(k,x)，当x＝2时，y＝1，所以1＝eq \f(k,2)，得k＝2.故y＝eq \f(2,x).


[答案] C


2．由下表给出函数y＝f(x)，则f[f(1)]等于( )





A.1 B．2 C．4 D．5


[解析] 由题意得f(1)＝4，所以f[f(1)]＝f(4)＝2.


[答案] B


3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )








[解析] 距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.


[答案] C


4．若3f(x－1)＋2f(1－x)＝2x，则f(x)的解析式为__________________．


[解析] (换元法)令t＝x－1，则x＝t＋1，t∈R，


原式变为3f(t)＋2f(－t)＝2(t＋1)，①


以－t代替t，①式变为3f(－t)＋2f(t)＝2(1－t)，②


由①②消去f(－t)得f(t)＝2t＋eq \f(2,5)，∴f(x)＝2x＋eq \f(2,5).


[答案] f(x)＝2x＋eq \f(2,5)


5．已知f(x)＝x＋b，f(ax＋1)＝3x＋2，求a，b的值．


[解] 由f(x)＝x＋b，得f(ax＋1)＝ax＋1＋b.


∴ax＋1＋b＝3x＋2，∴a＝3，b＋1＝2，即a＝3，b＝1.


课后作业(十七)


复习巩固


一、选择题


1．一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y表示成x的函数为( )


A．y＝50x(x>0) B．y＝100x(x>0)


C．y＝eq \f(50,x)(x>0) D．y＝eq \f(100,x)(x>0)


[解析] 由eq \f(x＋3x,2)·y＝100，得2xy＝100，∴y＝eq \f(50,x)(x>0)．


[答案] C


2．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f[g(2)]的值为( )





A．3 B．2 C．1 D．0


[解析] 由函数g(x)的图象知，g(2)＝1，则f[g(2)]＝f(1)＝2.


[答案] B


3．如果feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x,1－x)，则当x≠0,1时，f(x)等于( )


A.eq \f(1,x) B.eq \f(1,x－1)


C.eq \f(1,1－x) D.eq \f(1,x)－1


[解析] 令eq \f(1,x)＝t，则x＝eq \f(1,t)，代入feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x,1－x)，则有f(t)＝eq \f(\f(1,t),1－\f(1,t))＝eq \f(1,t－1)，故选B.


[答案] B


4．若f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)＝( )


A．3x＋2 B．3x－2


C．2x＋3 D．2x－3


[解析] 设f(x)＝ax＋b，由题设有


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(22a＋b－3a＋b＝5，,20·a＋b－－a＋b＝1.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝－2.))所以选B.


[答案] B


5．若f(1－2x)＝eq \f(1－x2,x2)(x≠0)，那么feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))等于( )


A．1 B．3 C．15 D．30


[解析] 解法一：令1－2x＝t，则x＝eq \f(1－t,2)(t≠1)，∴f(t)＝eq \f(4,t－12)－1(t≠1)，即f(x)＝eq \f(4,x－12)－1(x≠1)，


∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝16－1＝15.


解法二：令1－2x＝eq \f(1,2)，得x＝eq \f(1,4)，


∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))2,\f(1,4))＝15.


[答案] C


二、填空题


6．已知函数f(x)＝x－eq \f(m,x)，且此函数图象过点(5,4)，则实数m的值为________．


[解析] 将点(5,4)代入f(x)＝x－eq \f(m,x)，得m＝5.


[答案] 5


7．已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝4，则a＝________.


[解析] 因为f(2x＋1)＝eq \f(3,2)(2x＋1)＋eq \f(1,2)，所以f(a)＝eq \f(3,2)a＋eq \f(1,2).又f(a)＝4，所以eq \f(3,2)a＋eq \f(1,2)＝4，a＝eq \f(7,3).


[答案] eq \f(7,3)


8．若2f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝2x＋eq \f(1,2)(x≠0)，则f(2)＝________.


[解析] 令x＝2得2f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(9,2)，令x＝eq \f(1,2)得2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f(2)＝eq \f(3,2)，消去feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))得f(2)＝eq \f(5,2).


[答案] eq \f(5,2)


三、解答题


9．作出下列函数的图象，并指出其值域．


(1)y＝x2＋x(－1≤x≤1)；


(2)y＝eq \f(2,x)(－2≤x≤1，且x≠0)．


[解] (1)用描点法可以作出函数的图象如图(1)．


由图可知y＝x2＋x(－1≤x≤1)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，2)).





(2)用描点法可以作出函数的图象如图(2)，由图可知y＝eq \f(2,x)(－2≤x≤1，且x≠0)的值域为(－∞，－1]∪[2，＋∞)．


10．求下列函数的解析式：


(1)已知函数f(x－1)＝x2－4x，求函数f(x)的解析式；


(2)已知f(x)是二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)的解析式．


[解] (1)解法一：已知f(x－1)＝x2－4x，令x－1＝t，则x＝t＋1，代入上式得，f(t)＝(t＋1)2－4(t＋1)＝t2－2t－3，即f(x)＝x2－2x－3(x∈R)．


解法二：∵f(x－1)＝(x－1)2－2(x－1)－3，∴f(x)＝x2－2x－3(x∈R)．


(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则依题意代入，


∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2x2－4x，即2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x，


利用等式两边对应项的系数相等，可得2a＝2,2b＝－4,2a＋2c＝0，


解得，a＝1，b＝－2，c＝－1，


∴f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－1.


综合运用


11．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)





给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是( )


A．0 B．1 C．2 D．3


[解析] 由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错．


[答案] B


12．从甲城市到乙城市t min的电话费由函数g(t)＝1.06×(0.75[t]＋1)给出，其中t>0，[t]为t的整数部分，则从甲城市到乙城市5.5 min的电话费为( )


A．5.04元 B．5.56元


C．5.84元 D．5.38元


[解析] g(5.5)＝1.06(0.75×5＋1)＝5.035≈5.04.


[答案] A


13．设f(x)＝2x＋a，g(x)＝eq \f(1,4)(x2＋3)，且g[f(x)]＝x2－x＋1，则a的值为( )


A．1 B．－1


C．1或－1 D．1或－2


[解析] 因为g(x)＝eq \f(1,4)(x2＋3)，所以g[f(x)]＝eq \f(1,4)[(2x＋a)2＋3]＝eq \f(1,4)(4x2＋4ax＋a2＋3)＝x2－x＋1，求得a＝－1.故选B.


[答案] B


14．已知x≠0，函数f(x)满足feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))＝x2＋eq \f(1,x2)，则f(x)＝________.


[解析] feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))＝x2＋eq \f(1,x2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))2＋2，所以


f(x)＝x2＋2.


[答案] x2＋2


15．已知函数f(x)＝eq \f(x,ax＋b)(a，b为常数，且a≠0)满足f(2)＝1，且f(x)＝x有唯一解，求函数y＝f(x)的解析式和f[f(－3)]的值．


[解] 因为f(2)＝1，所以eq \f(2,2a＋b)＝1，即2a＋b＝2，①


又因为f(x)＝x有唯一解，即eq \f(x,ax＋b)＝x有唯一解，所以ax2＋(b－1)x＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝(b－1)2＝0，即b＝1.


代入①得a＝eq \f(1,2).


所以f(x)＝eq \f(x,\f(1,2)x＋1)＝eq \f(2x,x＋2).


所以f[f(－3)]＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－6,－1)))＝f(6)＝eq \f(2×6,6＋2)＝eq \f(3,2).


污染源距离
50
100
200
300
500
氰化物浓度
0.678
0.398
0.121
0.05
0.01
x(台)
1
2
3
4
5
y(元)
3000
6000
9000
12000
15000
x(台)
6
7
8
9
10
y(元)
18000
21000
24000
27000
30000
x
2
3
4
5
…
y
1
eq \f(2,3)
eq \f(1,2)
eq \f(2,5)
…
x
－2
－1
0
1
2
y
0
－1
0
3
8
x
1
2
3
4
5
y
4
5
3
2
1