必修 第一册3.2 函数的基本性质获奖第1课时教学设计

这是一份必修 第一册3.2 函数的基本性质获奖第1课时教学设计，共16页。

3．2.1 单调性与最大(小)值


第1课时 函数的单调性








1．理解函数单调区间、单调性等概念．


2．会划分函数的单调区间，判断单调性．


3．会用定义证明函数的单调性．





1．函数的单调性





温馨提示：定义中的x1，x2有以下3个特征


(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；


(2)有大小，通常规定x1

(3)属于同一个单调区间．


2．函数的单调区间


如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．


温馨提示：(1)函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，它是函数的一个局部性质．


(2)函数f(x)在定义域的某个区间D上单调，不一定在定义域上单调．如f(x)＝x2等．


(3)并非所有的函数都具有单调性，如f(x)＝


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x是偶数,0，x是奇数))，它的定义域是N，但不具有单调性．





1．观察下列函数图象：





(1)从图象上看，自变量x增大时，函数f(x)的值如何变化？


(2)甲、乙图中，若x1

(3)丙图中，若x1

[答案] (1)甲：自变量x增大时，函数f(x)也随之变大


乙：自变量x增大时，函数f(x)随之减小


丙：在y轴左侧函数f(x)的值随x的增大而减小；在y轴右侧，函数f(x)的值随x的增大而增大


(2)甲：∵x1

乙：∵x1f(x2)


(3)[0，＋∞)．∀x1，x2∈[0，＋∞)，若x1

2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)函数y＝x2在R上是增函数．( )


(2)所有的函数在其定义域上都具有单调性．( )


(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“∀x1，x2”改为“∃x1，x2”．( )


(4)若函数f(x)在[2，＋∞)上为增函数，则f(x)在[3,4]上也为增函数．( )


[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√





题型一 函数单调性的判断与证明


【典例1】 证明函数f(x)＝x＋eq \f(4,x)在(－∞，－2)上是增函数．


[思路导引] 设出∀x1

[证明] ∀x1，x2∈(－∞，－2)，且x1

则f(x1)－f(x2)＝x1＋eq \f(4,x1)－x2－eq \f(4,x2)


＝(x1－x2)＋eq \f(4x2－x1,x1x2)


＝eq \f(x1－x2x1x2－4,x1x2).


∵x14，


x1x2－4>0.


∴f(x1)－f(x2)<0，


即f(x1)

∴函数f(x)＝x＋eq \f(4,x)在(－∞，－2)上是增函数．





证明或判断函数单调性的方法步骤





[针对训练]


1．求证：函数f(x)＝eq \f(1,x2)在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．


[证明] ∀x1，x2∈(－∞，0)，且x1

∵x1

∴x2－x1>0，x1＋x2<0，xeq \\al(2,1)xeq \\al(2,2)>0.


∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

∴函数f(x)＝eq \f(1,x2)在(－∞，0)上是增函数．


∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1

有f(x1)－f(x2)＝eq \f(x2－x1x2＋x1,x\\al(2,1)x\\al(2,2)).


∵00，x2＋x1>0，xeq \\al(2,1)xeq \\al(2,2)>0.


∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．


∴函数f(x)＝eq \f(1,x2)在(0，＋∞)上是减函数.


题型二 求函数的单调区间


【典例2】 求下列函数的单调区间：


(1)f(x)＝eq \f(1,x－1)；


(2)f(x)＝|x2－3x＋2|.


[思路导引] (1)先求出函数的定义域，再利用定义求解；(2)作出函数y＝x2－3x＋2的图象，再将x轴下方的图象翻折到x轴上方，结合图象写出f(x)的单调区间．


[解] (1)函数f(x)＝eq \f(1,x－1)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，


∀x1，x2∈(－∞，1)，且x1

f(x1)－f(x2)＝eq \f(1,x1－1)－eq \f(1,x2－1)


＝eq \f(x2－x1,x1－1x2－1).


因为x10，x1－1<0，x2－1<0，


所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．


所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，同理函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减．


综上，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．


(2)f(x)＝|x2－3x＋2|





＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－3x＋2，x≤1或x≥2，,－x2－3x＋2，1

作出函数的图象，如图所示．


根据图象，可知，


单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))和[2，＋∞)；


单调递减区间是(－∞，1]和eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2)).





(1)求函数单调区间的2种方法


①定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．


②图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间．


(2)求函数单调区间的注意点


一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接．





[针对训练]


2．函数f(x)＝eq \f(1,x)＋2的单调递减区间是________________．


[解析] 函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．


当x10，∴f(x)在(－∞，0)上为减函数；


当00，


∴f(x)在(0，＋∞)上为减函数．


∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．


[答案] (－∞，0)，(0，＋∞)


3．作出函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x－3，x≤1，,x－22＋3，x>1))的图象，并指出函数的单调区间．


[解] f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x－3，x≤1，,x－22＋3，x>1))


的图象如图所示．





由图象可知：函数的单调递减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为(2，＋∞).


题型三 函数单调性的应用


【典例3】 (1)已知函数f(x)＝x2－2(1－a)x＋2在[4，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．


(2)已知y＝f(x)在定义域(－∞，＋∞)上是减函数，且f(1－a)

[思路导引] 二次函数的单调性由开口方向及对称轴确定，与函数值有关的不等式问题依据单调性转化为自变量的不等关系．


[解] (1)∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，


∴f(x)的增区间是[1－a，＋∞)．


又∵已知f(x)在[4，＋∞)上是增函数，


∴1－a≤4，即a≥－3.


∴所求实数a的取值范围是[－3，＋∞)．


(2)∵f(x)在R上是减函数，且f(1－a)

∴1－a>2a－1，得a

[变式] (1)若本例(1)条件改为“函数f(x)＝x2－2(1－a)x＋2的单调递增区间为[4，＋∞)”，其他条件不变，如何求解？


(2)若本例(2)中“定义域(－∞，＋∞)”改为“定义域(－1,1)”，其他条件不变，如何求解？


[解] (1)∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，


∴f(x)的递增区间为[1－a，＋∞)．


∴1－a＝4，得a＝－3.


(2)由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1<1－a<1，,－1<2a－1<1.))


解得0

又f(x)在(－1,1)上是减函数，且f(1－a)

∴1－a>2a－1，即a

由①②可知，0




函数单调性的3个应用要点


(1)二次函数的单调性由于只与对称轴及开口方向有关，因此处理起来较容易，只需结合图象即可获解．


(2)已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，通过与已知单调区间比较，求参数的取值范围．


(3)需注意若一函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．





[针对训练]


4．若函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是( )


A．f(a)>f(2a) B．f(a2)

C．f(a2＋a)

[解析] ∵f(x)在(－∞，＋∞)为减函数，且a2＋1>a2，∴f(a2＋1)

[答案] D


5．函数f(x)＝x2－2mx－3在区间[1,2]上单调，则m的取值范围是________．


[解析] 二次函数在某区间内是否单调取决于对称轴的位置，函数f(x)＝x2－2mx－3的对称轴为x＝m，函数在区间[1,2]上单调，则m≤1或m≥2.


[答案] {m|m≤1或m≥2}


课堂归纳小结


1.若f(x)的定义域为D，A⊆D，B⊆D，f(x)在A和B上都单调递减，未必有f(x)在A∪B上单调递减，如函数y＝eq \f(1,x).


2.对增函数的判断，当x10或eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0.


对减函数的判断，当x1f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0或eq \f(fx1－fx2,x1－x2)<0.


3.熟悉一些常见函数的单调性结论，包括一次函数，二次函数，反比例函数等.


4.若f(x)，g(x)都是增函数，h(x)是减函数，则：①在定义域的交集(非空)上，f(x)＋g(x)单调递增，f(x)－h(x)单调递增，②－f(x)单调递减，③eq \f(1,fx)单调递减(f(x)≠0).


5.对于函数值恒正(或恒负)的函数f(x)，证明单调性时，也可以作商eq \f(fx1,fx2)与1比较.





1．如图所示，函数y＝f(x)在下列哪个区间上是增函数( )





A．[－4,4]


B．[－4，－3]∪[1,4]


C．[－3,1]


D．[－3,4]


[解析] 观察题中图象知，函数在[－3,1]上是增函数．


[答案] C


2．下列函数中，在(－∞，0]内为增函数的是( )


A．y＝x2－2 B．y＝eq \f(3,x)


C．y＝1＋2x D．y＝－(x＋2)2


[解析] 选项A，B在(－∞，0)上为减函数，选项D在(－2，0]上为减函数，只有选项C满足在(－∞，0]内为增函数．故选C.


[答案] C


3．若函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的减函数，则实数a的取值范围是( )


A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))


C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))


[解析] 由一次函数的性质得2a－1<0，即a

[答案] D


4．已知函数f(x)为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x)

[解析] 因为f(x)在区间[－1,1]上为增函数，且f(x)

[答案] eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))


5．已知函数f(x)＝eq \f(x－1,x＋1)，判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性并用定义证明．


[解] f(x)在(0，＋∞)上单调递增．


证明如下：任取x1>x2>0，


f(x1)－f(x2)＝eq \f(x1－1,x1＋1)－eq \f(x2－1,x2＋1)＝eq \f(2x1－x2,x1＋1x2＋1)，


由x1>x2>0知x1＋1>0，x2＋1>0，x1－x2>0，


故f(x1)－f(x2)>0，即f(x)在(0，＋∞)上单调递增．


课后作业(十九)


复习巩固


一、选择题


1．若函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a，b)∪(b，c)上( )


A．必是增函数 B．必是减函数


C．是增函数或减函数 D．无法确定单调性


[解析] 函数在区间(a，b)∪(b，c)上无法确定单调性．如y＝－eq \f(1,x)在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上也是增函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上并不具有单调性．


[答案] D


2．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( )


A．y＝|x| B．y＝3－x


C．y＝eq \f(1,x) D．y＝－x2＋4


[解析] 因为－1<0，所以一次函数y＝－x＋3在R上递减，反比例函数y＝eq \f(1,x)在(0，＋∞)上递减，二次函数y＝－x2＋4在(0，＋∞)上递减．故选A.


[答案] A


3．对于函数y＝f(x)，在给定区间上有两个数x1，x2，且x1

A．一定是增函数 B．一定是减函数


C．可能是常数函数 D．单调性不能确定


[解析] 由单调性定义可知，不能用特殊值代替一般值．


[答案] D


4．函数y＝x2＋x＋1(x∈R)的单调递减区间是( )


A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)) B．[－1，＋∞)


C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2))) D．(－∞，＋∞)


[解析] y＝x2＋x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)，其对称轴为x＝－eq \f(1,2)，在对称轴左侧单调递减，∴当x≤－eq \f(1,2)时单调递减．


[答案] C


5．若f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，则下列说法中正确的是( )


A．f(x)>f(0) B．f(x2)>f(0)


C．f(3a＋1)

[解析] ∵a2＋1－2a＝(a－1)2≥0，∴a2＋1≥2a.


当a＝1时，f(a2＋1)＝f(2a)；


当a≠1时，f(a2＋1)>f(2a)．故选D.


[答案] D


二、填空题


6．若函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，－2)时是减函数，则f(1)＝________.


[解析] 由条件知x＝－2是函数f(x)图象的对称轴，所以eq \f(m,4)＝－2，m＝－8，则f(1)＝13.


[答案] 13


7．已知函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)是单调函数，则a的取值范围是________．


[解析] 因为函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－a]，所以－a≥－1，解得a≤1.


[答案] (－∞，1]


8．已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(x－2)

[解析] ∵f(x)是定义在R上的增函数，


又∵f(x－2)

即x的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2))).


[答案] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2)))





三、解答题


9．画出下列函数的图象，并写出它们的值域和单调区间．


(1)y＝|x＋1|；


(2)y＝(x＋3)|x－1|.


[解] (1)∵y＝|x＋1|，∴y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x－1，x≤－1，,x＋1，x>－1.))


其图象如下图所示：





由图象可得函数的值域为[0，＋∞)．(－∞，－1]为函数的单调递减区间；[－1，＋∞)为函数的单调递增区间．


(2)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3x－1，x≥1，,－x＋3x－1，x<1，))





即f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋12－4，x≥1，,－x＋12＋4，x<1.))


图象如图所示．


结合图象可知，f(x)在(－∞，－1)上是单调增函数，在[－1,1]上是单调减函数，在[1，＋∞)上是单调增函数．函数的值域是R.


10．已知函数y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，试比较


feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))与f(a2－a＋1)的大小．


[解] ∵a2－a＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)≥eq \f(3,4)，


∴eq \f(3,4)与a2－a＋1都在区间[0，＋∞)内．


又∵y＝f(x)在区间[0，＋∞)上是减函数，


∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))≥f(a2－a＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(等号当且仅当a＝\f(1,2)时取到)).


综合运用


11．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是( )


A．a>－eq \f(1,4) B．a≥－eq \f(1,4)


C．－eq \f(1,4)≤a<0 D．－eq \f(1,4)≤a≤0


[解析] 当a＝0时，f(x)＝2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的；当a>0时，由函数f(x)＝ax2＋2x－3的图象知，不可能在区间(－∞，4)上是单调递增；当a<0时，只有－eq \f(2,2a)≥4，即a≥－eq \f(1,4)满足函数f(x)在区间(－∞，4)上是单调递增的，综上可知实数a的取值范围是－eq \f(1,4)≤a≤0.


[答案] D


12．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝1，则( )


A．f(－1)

C．f(2)

[解析] 因为二次函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1，所以f(－1)＝f(3)．又函数f(x)的图象为开口向上的抛物线，则f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，故f(1)

[答案] B


13．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－3x＋5，x≤1，,\f(2a,x)，x>1))是R上的减函数，则实数a的取值范围是( )


A．(0,3) B．(0,3]


C．(0,2) D．(0,2]


[解析] 依题意得实数a满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－3<0，,2a>0，,a－3＋5≥2a，))


解得0

[答案] D


14．设函数f(x)满足：对∀x1，x2∈R都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是________．


[解析] 由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，可知函数f(x)为增函数．又－3>－π，所以f(－3)>f(－π)．


[答案] f(－3)>f(－π)


15．设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(－2)>1的解集为________．


[解析] 由条件可得f(x)＋f(－2)＝f(－2x)，又f(3)＝1，∴不等式f(x)＋f(－2)>1，即为f(－2x)>f(3)．


∵f(x)是定义在R上的增函数，∴－2x>3，


解得x<－eq \f(3,2).故不等式f(x)＋f(－2)>1的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－\f(3,2))))).


[答案] eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－\f(3,2)))))


16．已知函数f(x)＝x－eq \f(a,x)＋eq \f(a,2)在(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．


[解] 设11.


∵函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，


∴f(x1)－f(x2)＝x1－eq \f(a,x1)＋eq \f(a,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(a,x2)＋\f(a,2)))


＝(x1－x2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(a,x1x2)))<0.


∵x1－x2<0，∴1＋eq \f(a,x1x2)>0，即a>－x1x2.


∵11，∴－x1x2<－1，∴a≥－1.


∴a的取值范围是[－1，＋∞)．