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    高中数学新教材同步必修第一册 第5章 5.4.2 第1课时 周期性与奇偶性 学案
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    高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质优秀第1课时学案及答案

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    这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质优秀第1课时学案及答案,共10页。学案主要包含了三角函数的周期问题,三角函数的奇偶性等内容,欢迎下载使用。

    第1课时 周期性与奇偶性


    学习目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的意义.2.会求常见三角函数的的周期.3.通过图象直观理解奇偶性,并能正确确定相应的对称轴和对称中心.








    知识点一 周期性


    1.函数的周期性


    (1)一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.


    (2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.


    思考 周期函数的周期是否唯一?


    答案 不唯一.若f(x+T)=f(x),则f(x+nT)=f(x),(n∈Z,且n≠0).


    2.正弦、余弦函数的周期性


    正弦函数y=sin x(x∈R)和余弦函数y=cs x(x∈R)都是周期函数,2kπ(k∈Z,且k≠0)都是它们的周期.最小正周期为2π.


    知识点二 正弦、余弦函数的奇偶性


    正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数.


    思考 判断函数的奇偶性除了定义外,还有判断函数奇偶性的方法吗?


    答案 若函数的图象关于原点对称,则该函数是奇函数,若函数的图象关于y轴对称,则该函数是偶函数.





    1.函数y=sin x,x∈(-π,π]是奇函数.( × )


    2.正弦函数y=sin x的图象是轴对称图形,也是中心对称图形.( √ )


    3.余弦函数y=cs x是偶函数,图象关于y轴对称,对称轴有无数多条.( √ )

















    一、三角函数的周期问题


    例1 求下列函数的周期:


    (1)y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,4)));


    (2)y=|sin x|.


    解 (1)方法一 (定义法)


    y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,4)))=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,4)+2π))=sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2x+π+\f(π,4))),


    所以周期为π.


    方法二 (公式法)


    y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,4)))中ω=2,T=eq \f(2π,ω)=eq \f(2π,2)=π.


    (2)作图如下:





    观察图象可知周期为π.


    反思感悟 求三角函数周期的方法


    (1)定义法:即利用周期函数的定义求解.


    (2)公式法:对形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acs(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A≠0,ω≠0)的函数,T=eq \f(2π,|ω|).


    (3)观察法:即通过观察函数图象求其周期.


    跟踪训练1 利用周期函数的定义求下列函数的周期.


    (1)y=cs eq \f(x,2),x∈R;


    (2)y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x-\f(π,4))),x∈R.


    解 (1)因为cs eq \f(1,2)(x+4π)=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)+2π))=cs eq \f(x,2),


    由周期函数的定义知,y=cs eq \f(x,2)的周期为4π.


    (2)因为sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x+6π-\f(π,4)))=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x+2π-\f(π,4)))=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x-\f(π,4))),


    由周期函数的定义知,y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x-\f(π,4)))的周期为6π.





    二、三角函数的奇偶性


    例2 判断下列函数的奇偶性:


    (1)f(x)=sin xcs x;


    (2)f(x)=eq \f(cs x,1-sin x);


    (3)f(x)=eq \r(1-cs x)+eq \r(cs x-1).


    解 (1)函数的定义域为R,关于原点对称.


    ∵f(-x)=sin(-x)cs(-x)


    =-sin xcs x=-f(x),


    ∴f(x)=sin xcs x为奇函数.


    (2)函数应满足1-sin x≠0,


    ∴函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\| (\a\vs4\al\c1(x≠2kπ+\f(π,2),k∈Z)))),显然定义域不关于原点对称,


    ∴f(x)=eq \f(cs x,1-sin x)为非奇非偶函数.


    (3)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1-cs x≥0,,cs x-1≥0,))得cs x=1,


    ∴函数的定义域为{x|x=2kπ,k∈Z},定义域关于原点对称.


    当cs x=1时,f(-x)=0,f(x)=±f(-x).


    ∴f(x)=eq \r(1-cs x)+eq \r(cs x-1)既是奇函数又是偶函数.


    反思感悟 (1)判断函数奇偶性应把握好的两个方面:


    一看函数的定义域是否关于原点对称;


    二看f(x)与f(-x)的关系.


    (2)对于三角函数奇偶性的判断,有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.


    提醒:研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则.


    跟踪训练2 下列函数中周期为eq \f(π,2),且为偶函数的是( )


    A.y=sin 4x B.y=cs eq \f(1,4)x


    C.y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x+\f(π,2))) D.y=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)x-\f(π,2)))


    答案 C


    解析 显然周期为eq \f(π,2)的有A和C,


    又因为y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x+\f(π,2)))=cs 4x是偶函数,故选C.





    三、三角函数的奇偶性与周期性的综合应用


    例3 定义在R上的函数f(x)既是偶函数,又是周期函数,若f(x)的最小正周期为π,且当x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2)))时,f(x)=sin x,则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))等于( )


    A.-eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C.-eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),2)


    答案 D


    解析 f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))=f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)-π))=f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))=f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)-π))=f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(π,3)))=f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))=sin eq \f(π,3)=eq \f(\r(3),2).


    延伸探究


    1.若本例中“偶”变“奇”,其他条件不变,求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))的值.


    解 f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)π))=f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(π,3)))=-f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))=-sin eq \f(π,3)=-eq \f(\r(3),2).


    2.若本例中函数的最小正周期变为eq \f(π,2),其他条件不变,求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(17,6)π))的值.


    解 因为f(x)的最小正周期是eq \f(π,2),


    所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(17,6)π))=f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-3π+\f(π,6)))=f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-6×\f(π,2)+\f(π,6)))=f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))=eq \f(1,2).


    反思感悟 三角函数周期性与奇偶性的解题策略


    (1)探求三角函数的周期,常用方法是公式法,即将函数化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acs(ωx+φ)的形式,再利用公式求解.


    (2)判断函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acs(ωx+φ)是否具备奇偶性,关键是看它能否通过诱导公式转化为y=Asin ωx(Aω≠0)或y=Acs ωx(Aω≠0)其中的一个.


    跟踪训练3 已知f(x)是以π为周期的偶函数,且x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2)))时,f(x)=1-sin x,求当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,2)π,3π))时f(x)的解析式.


    解 x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,2)π,3π))时,3π-x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),


    因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2)))时,f(x)=1-sin x,


    所以f(3π-x)=1-sin(3π-x)=1-sin x.


    又f(x)是以π为周期的偶函数,


    所以f(3π-x)=f(-x)=f(x),


    所以f(x)的解析式为f(x)=1-sin x,x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,2)π,3π)).








    1.下列函数中,周期为eq \f(π,2)的是( )


    A.y=sin x B.y=sin 2x


    C.y=cs eq \f(x,2) D.y=cs 4x


    答案 D


    2.函数f(x)=sin(-x)的奇偶性是( )


    A.奇函数


    B.偶函数


    C.既是奇函数又是偶函数


    D.非奇非偶函数


    答案 A


    解析 由于x∈R,且f(-x)=sin x=-sin(-x)=-f(x),


    所以f(x)为奇函数.


    3.已知函数f(x)=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πx-\f(π,2)))-1,则下列命题正确的是( )


    A.f(x)是周期为1的奇函数


    B.f(x)是周期为2的偶函数


    C.f(x)是周期为1的非奇非偶函数


    D.f(x)是周期为2的非奇非偶函数


    答案 B


    解析 f(x)=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πx-\f(π,2)))-1=-cs πx-1,


    从而函数为偶函数,且T=eq \f(2π,π)=2.


    4.函数f(x)=eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(πx,2)-\f(π,4))),x∈R的最小正周期为________.


    答案 4


    解析 由已知得f(x)的最小正周期T=eq \f(2π,\f(π,2))=4.


    5.若函数y=f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数且f(1)=3,则f(5)=________.


    答案 -3


    解析 由已知得f(x+3)=f(x),f(-x)=-f(x),


    所以f(5)=f(2)=f(-1)=-f(1)=-3.





    1.知识清单:


    (1)周期函数的概念,三角函数的周期;


    (2)三角函数的奇偶性;


    (3)周期性、奇偶性的应用.


    2.方法归纳:数形结合.


    3.常见误区:函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acs(ωx+φ)(其中A,ω,φ是常数,且A≠0,ω≠0)的周期为T=eq \f(2π,|ω|).








    1.下列函数中最小正周期为π的偶函数是( )


    A.y=sin eq \f(x,2) B.y=cs eq \f(x,2)


    C.y=cs x D.y=cs 2x


    答案 D


    解析 A中函数是奇函数,B,C中函数的周期不是π,只有D符合题目要求.


    2.设函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=f(x),f(x+2)=f(x),则函数y=f(x)的图象是( )








    答案 B


    解析 由f(-x)=f(x),


    则f(x)是偶函数,图象关于y轴对称.


    由f(x+2)=f(x),


    则f(x)的周期为2.故选B.


    3.函数y=4sin(2x-π)的图象关于( )


    A.x轴对称 B.原点对称 C.y轴对称 D.直线x=eq \f(π,2)对称


    答案 B


    解析 y=4sin(2x-π)=-4sin 2x是奇函数,其图象关于原点对称.


    4.函数y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(x,2)+\f(π,2)))的奇偶性是( )


    A.奇函数 B.偶函数


    C.非奇非偶函数 D.既是奇函数也是偶函数


    答案 B


    解析 y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(x,2)+\f(π,2)))=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)-\f(x,2)))=cs eq \f(x,2),故为偶函数.


    5.函数f(x)=sin(2x+φ)为R上的奇函数,则φ的值可以是( )


    A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,2) C.π D.eq \f(3π,2)


    答案 C


    解析 要使函数f(x)=sin(2x+φ)为R上的奇函数,需φ=kπ,k∈Z.故选C.


    6.函数f(x)是以2为周期的函数,且f(2)=3,则f(6)=________.


    答案 3


    解析 ∵函数f(x)是以2为周期的函数,且f(2)=3,


    ∴f(6)=f(2×2+2)=f(2)=3.


    7.关于x的函数f(x)=sin(x+φ)有以下说法:


    ①对任意的φ,f(x)都是非奇非偶函数;


    ②存在φ,使f(x)是偶函数;


    ③存在φ,使f(x)是奇函数;


    ④对任意的φ,f(x)都不是偶函数.


    其中错误的是________(填序号).


    答案 ①④


    解析 当φ=0时,f(x)=sin x,是奇函数,


    当φ=eq \f(π,2)时,f(x)=cs x是偶函数.


    8.若f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=cs x-sin x,当x<0时,f(x)的解析式为_______.


    答案 f(x)=-cs x-sin x


    解析 x<0时,-x>0,f(-x)=cs(-x)-sin(-x)=cs x+sin x,


    因为f(x)为奇函数,


    所以f(x)=-f(-x)=-cs x-sin x,


    即x<0时,f(x)=-cs x-sin x.


    9.判断下列函数的奇偶性.


    (1)f(x)=lg(sin x+eq \r(1+sin2x));


    (2)f(x)=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,4)+\f(3π,2))).


    解 (1)因为1+sin2x>sin2x,


    所以eq \r(1+sin2x)>|sin x|≥-sin x,


    所以sin x+eq \r(1+sin2x)>0,


    所以函数f(x)的定义域为R.


    f(-x)=lg[sin(-x)+eq \r(1+sin2-x)]


    =lg(-sin x+eq \r(1+sin2x))


    =lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,sin x+\r(1+sin2x))))


    =-lg(sin x+eq \r(1+sin2x))=-f(x),


    所以f(x)为奇函数.


    (2)f(x)=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,4)+\f(3π,2)))=-cs eq \f(3x,4),x∈R.


    又f(-x)=-cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(3x,4)))=-cs eq \f(3x,4)=f(x),


    所以函数f(x)=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,4)+\f(3π,2)))是偶函数.


    10.已知函数y=eq \f(1,2)sin x+eq \f(1,2)|sin x|.


    (1)画出函数的简图;


    (2)此函数是周期函数吗?若是,求其最小正周期.


    解 (1)y=eq \f(1,2)sin x+eq \f(1,2)|sin x|=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x,x∈[2kπ,2kπ+π],k∈Z,,0,x∈[2kπ-π,2kπ],k∈Z,))


    图象如图所示:





    (2)由图象知该函数是周期函数,且最小正周期是2π.





    11.设f(x)是定义域为R,最小正周期为eq \f(3π,2)的函数,若f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs x,-\f(π,2)≤x≤0,,sin x,0

    A.1 B.eq \f(\r(2),2) C.0 D.-eq \f(\r(2),2)


    答案 B


    解析 f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(15π,4)))=f eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)×-3+\f(3π,4)))=f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)))=sin eq \f(3π,4)=eq \f(\r(2),2).


    12.函数y=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k,4)x+\f(π,3)))(k>0)的最小正周期不大于2,则正整数k的最小值应是( )


    A.10 B.11 C.12 D.13


    答案 D


    解析 因为T=eq \f(2π,\f(k,4))=eq \f(8π,k)≤2,所以k≥4π,


    又k∈N*,所以正整数k的最小值为13.


    13.已知函数f(x)=eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,4)+φ))是奇函数,则φ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(π,2),\f(π,2)))时,φ的值为________.


    答案 -eq \f(π,4)


    解析 由已知eq \f(π,4)+φ=kπ(k∈Z),


    ∴φ=kπ-eq \f(π,4)(k∈Z),


    又∵φ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(π,2),\f(π,2))),


    ∴k=0时,φ=-eq \f(π,4)符合条件.


    14.已知函数f(x)=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)+\f(π,3))),则f(x)的最小正周期是______;f(x)的对称中心是______.


    答案 4π eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ+\f(π,3),0)),k∈Z


    解析 由f(x)=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)+\f(π,3))),得T=eq \f(2π,\f(1,2))=4π;令eq \f(x,2)+eq \f(π,3)=kπ+eq \f(π,2),求得x=2kπ+eq \f(π,3),k∈Z,可得f(x)的对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ+\f(π,3),0)),k∈Z.





    15.函数y=eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(x,2)))的最小正周期是________.


    答案 2π


    解析 ∵y=sin eq \f(x,2)的最小正周期为T=4π,而y=eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(x,2)))的图象是把y=sin eq \f(x,2)的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方,


    ∴y=eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(x,2)))的最小正周期为T=2π.


    16.已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=-eq \f(1,fx)(f(x)≠0).


    (1)求证:函数f(x)是周期函数;


    (2)若f(1)=-5,求f(f(5))的值.


    (1)证明 ∵f(x+2)=-eq \f(1,fx),


    ∴f(x+4)=-eq \f(1,fx+2)=-eq \f(1,-\f(1,fx))=f(x),


    ∴f(x)是周期函数,4就是它的一个周期,


    (2)解 ∵4是f(x)的一个周期.


    ∴f(5)=f(1)=-5,


    ∴f(f(5))=f(-5)=f(-1)


    =eq \f(-1,f-1+2)=eq \f(-1,f1)=eq \f(1,5).
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