高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.2 集合间的基本关系教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.2 集合间的基本关系教案，共10页。

最新课程标准：(1)在具体情境中，了解空集的含义．(2)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.








知识点一 子集


eq \x(状元随笔) “A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即任意x∈A都能推出x∈B.


知识点二 集合相等


文字语言：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B.


符号语言：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.


eq \x(状元随笔) 1.若A ⊆B，又B ⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A ⊆B，且B ⊆A.


2．若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关．


知识点三 真子集


文字语言：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集(prper subset)．


符号语言：AB(或BA)．


eq \x(状元随笔) 在真子集的定义中，A B首先要满足A ⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.


知识点四 空集


不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.


规定：空集是任何集合的子集．





知识点五 子集的性质


1．任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A.


2．对于集合A，B，C，


若A⊆B，B⊆C，则A⊆C.


[教材解难]


教材P8思考


{a}表示含有一个元素a的集合，{a}⊆A表示集合A包含{a}，这是两个集合之间的关系；a∈A，表示a是A的一个元素，这是元素与集合之间的关系．


[基础自测]


1．下列四句话中：


①∅＝{0}；


②空集没有子集；


③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；


④空集是任何一个集合的子集．


其中正确的有( )


A．0个 B．1个


C．2个 D．3个


解析：由空集的性质可知，只有④正确，①②③均不正确．


答案：B


2．集合{0,1}的子集有( )


A．1个 B．2个


C．3个 D．4个


解析：集合{0,1}的子集为∅，{0}，{1}，{0,1}．


答案：D


3．已知集合A＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是( )


A．0⊆A B．{0}∈A


C．∅∈A D．{0}⊆A


解析：集合A＝{x|－1－x<0}＝{x|x>－1}，所以0∈A，{0}⊆A，D正确．


答案：D


4．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B⊆A，则实数m＝________.


解析：∵B⊆A，∴2m－1＝m2，∴m＝1.


答案：1








题型一 集合间关系的判断[经典例题]


例1 (1)下列各式中，正确的个数是( )


①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}．


A．1 B．2


C．3 D．4


(2)指出下列各组集合之间的关系：


①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；


②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；


③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．


【解析】 (1)对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B.


(2)①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．


②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.


③方法一 两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM.


方法二 由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以NM.


【答案】 (1)B (2)见解析


根据元素与集合、集合与集合之间的关系直接判断①②③④⑥，对于⑤应先明确两个集合中的元素是点还是实数．


方法归纳


判断集合间关系的方法


(1)用定义判断


首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集；


其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B不是A的子集；


若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B.


(2)数形结合判断


对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．


跟踪训练1 (1)若集合M＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1，0,1}，则M与T的关系是( )


A．MT


B．MT


C．M＝T


D．MT


(2)用Venn图表示下列集合之间的关系：A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是正方形}．


解析：(1)因为M＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，又T＝{－1,0,1}，所以MT.


(2)根据几何图形的相关知识明确各元素所在集合之间的关系，再画Venn图．如图





答案：(1)A (2)见解析





eq \x(状元随笔) (2)学习完知识点后，我们可以得到B ⊆A，C ⊆A，D ⊆A，D ⊆B，D ⊆C.


题型二 子集、真子集及个数问题[教材P8例1、2]


例2 (1)写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集．


(2)判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由：


①A＝{1,2,3}，B＝{x|x是8的约数}；


②A＝{x|x是长方形}，B＝{x|x是两条对角线相等的平行四边形}．


【解析】 (1)集合{a，b}的所有子集为∅，{a}，{b}，{a，b}．真子集为∅，{a}，{b}．(2)①因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集．②因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的平行四边形，所以集合A是集合B的子集．


eq \x(状元随笔) (1)题写出集合的子集时易忘∅，真子集是在子集的基础上去掉自身．(2)题先确定集合A，B中的元素，再根据子集的定义判断.





教材反思


1．求集合子集、真子集个数的三个步骤





2．若集合A中含有n个元素，集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.


跟踪训练2 (1)已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0

A．1 B．2


C．3 D．4


(2)已知集合A＝{x∈R|x2＝a}，使集合A的子集个数为2个的a的值为( )


A．－2 B．4


C．0 D．以上答案都不是


解析：(1)由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，所以满足条件的C可为{1,2,3}，{1,2，4}．


(2)由题意知，集合A中只有1个元素，必有x2＝a只有一个解；


若方程x2＝a只有一个解，必有a＝0.


答案：(1)B (2)C


eq \x(状元随笔) (1)先用列举法表示集合A，B，然后根据A C B确定集合C.


(2)先确定关于x的方程x2＝a解的个数，然后求a的值．





题型三 根据集合的包含关系求参数[经典例题]


例3 已知集合A＝{x|1

【解析】 (1)当a＝0时，①


A＝∅，满足A⊆B.


(2)当a>0时，A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a)

又∵B＝{x|－1

∴a≥2.


(3) 当a<0时，A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2,a)

∵A⊆B，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2,a)≥－1，,\f(1,a)≤1.))∴a≤－2.


综上所述，a的取值范围是{a|a＝0，或a≥2，或a≤－2}．


eq \x(状元随笔) ①欲解不等式10，a<0进行讨论．


②A ⊆B用数轴表示如图所示：(a＞0时)





由图易知，eq \f(1,a)和eq \f(2,a)需在－1与1之间．当eq \f(1,a)＝－1，或eq \f(2,a)＝1时，说明A与B的某一端点重合，并不是说其中的元素能够取到端点，如eq \f(2,a)＝1时，A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)

③a<0时，不等式两端除以a，不等号的方向改变．








方法归纳


(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．


(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．


(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必需的．





跟踪训练3 设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．


(1)若a＝eq \f(1,5)，试判定集合A与B的关系．


(2)若B⊆A，求实数a的取值集合．


解析：(1)由x2－8x＋15＝0得x＝3或x＝5，故A＝{3,5}，当a＝eq \f(1,5)时，由ax－1＝0得x＝5.所以B＝{5}，所以BA.


(2)当B＝∅时，满足B⊆A，此时a＝0；当B≠∅，a≠0时，集合B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))，由B⊆A得eq \f(1,a)＝3或eq \f(1,a)＝5，所以a＝eq \f(1,3)或a＝eq \f(1,5).


综上所述，实数a的取值集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)，\f(1,5)))


eq \x(状元随笔) (1)解方程x2－8x＋15＝0，求出A，当a＝eq \f(1,5)时，求出B，由此能判定集合A与B的关系．


(2)分以下两种情况讨论，求实数a的取值集合．


①B＝∅，此时a＝0；


②B≠∅，此时a≠0.


易错点 忽略空集的特殊性致误


例 设M＝{x|x2－2x－3＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若N⊆M，求所有满足条件的a的取值集合．


【错解】 由N⊆M，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}，


得N＝{－1}或{3}．


当N＝{－1}时，由eq \f(1,a)＝－1，得a＝－1.


当N＝{3}时，由eq \f(1,a)＝3，得a＝eq \f(1,3).


故满足条件的a的取值集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,3))).


【正解】 由N⊆M，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}，


得N＝∅或N＝{－1}或N＝{3}．


当N＝∅时，ax－1＝0无解，即a＝0.


当N＝{－1}时，由eq \f(1,a)＝－1，得a＝－1.


当N＝{3}时，由eq \f(1,a)＝3，得a＝eq \f(1,3).


故满足条件的a的取值集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，0，\f(1,3))).


【易错警示】





课时作业 2





一、选择题


1．能正确表示集合M＝{x|x∈R且0≤x≤1}和集合N＝{x∈R|x2＝x}关系的Venn图是( )





解析：N＝{x∈R|x2＝x}＝{0,1}，M＝{x|x∈R 且0≤x≤1}，∴NM.


答案：B


2．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{3，x2,2}，若A＝B，则x的值是( )


A．1 B．－1


C．±1 D．0


解析：由A＝B得x2＝1，所以x＝±1，故选C.


答案：C


3．已知集合A＝{－1,0,1}，则含有元素0的A的子集的个数为( )


A．2 B．4


C．6 D．8


解析：根据题意，含有元素0的A的子集为{0}，{0,1}，{0，－1}，{－1,0,1}，共4个．


答案：B


4．设A＝{x|2

A．m>3 B．m≥3


C．m<3 D．m≤3


解析：因为A＝{x|2

将集合A，B表示在数轴上，如图所示，所以m≥3.





答案：B


二、填空题


5．已知集合：(1){0}；(2){∅}；(3){x|3m

解析：集合(1)中有元素0，集合(2)中有元素∅，它们不是空集；对于集合(3)，当m<0时，m>3m，不是空集；在集合(4)中，不论a取何值，a＋2总是大于a，故集合(4)是空集；对于集合(5)，x2＋2x＋5＝0在实数范围内无解，故为空集．


答案：(4)(5)


6．已知集合A＝{1,3,5}，则集合A的所有子集的元素之和为________．


解析：集合A的子集分别是：∅，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}．注意到A中的每个元素出现在A的4个子集，即在其和中出现4次．故所求之和为(1＋3＋5)×4＝36.


答案：36


7．若集合A{1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个．


解析：若A中含有一个奇数，则A可能为{1}，{3}，{1,2}，{3,2}；若A中含有两个奇数，则A＝{1,3}．


答案：5


三、解答题


8．已知{1,2}⊆A{1,2,3,4}，写出所有满足条件的集合A.


解析：∵{1,2}⊆A，∴1∈A,2∈A.


又∵A{1,2,3,4}，


∴集合A中还可以有3,4中的一个，


即集合A可以是{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}．


9．已知M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}，且M＝N，试求a与b的值．


解析：方法一 根据集合中元素的互异性，


有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2a，,b＝b2，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝b2，,b＝2a，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0,b＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0，,b＝0，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,4)，,b＝\f(1,2).))


再根据集合中元素的互异性，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0，,b＝1，))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,4)，,b＝\f(1,2).))


方法二 ∵两个集合相同，则其中的对应元素相同．


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝2a＋b2，,a·b＝2a·b2，))


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋bb－1＝0， ①,ab2b－1＝0. ②))


∵集合中的元素互异，


∴a，b不能同时为零．


当b≠0时，由②得a＝0或b＝eq \f(1,2).


当a＝0时，由①得b＝1或b＝0(舍去)．


当b＝eq \f(1,2)时，由①得a＝eq \f(1,4).


当b＝0时，a＝0(舍去)．


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0，,b＝1，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,4)，,b＝\f(1,2).))


[尖子生题库]


10．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1

解析：∵B⊆A，


(1)当B＝∅时，m＋1≤2m－1，


解得m≥2.


(2)当B≠∅时，


有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3≤2m－1，,m＋1≤4，,2m－1

解得－1≤m<2.


综上得m≥－1.


即实数m的取值范围为[－1，＋∞)．


文字语言
符号语言
图形语言
对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集
对任意元素x∈A，必有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)，读作A包含于B或B包含A
错误原因
纠错心得
错解忽略了N＝∅这种情况
空集是任何集合的子集，解这类问题时，一定要注意“空集优先”的原则