数学1.1 集合的概念教案

这是一份数学1.1 集合的概念教案，共10页。

最新课程标准：(1)通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系．(2)针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合．








知识点一 集合的概念


1．元素：一般地，我们把研究对象统称为元素．


2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合．


3．集合中元素的特征


4.集合相等


只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．


eq \x(状元随笔) 集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么，集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物．


知识点二 元素与集合的表示及关系


1．元素与集合的符号表示


表示eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(元素：通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示.,集合：通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示.))


2．元素与集合的关系


eq \x(状元随笔) 对元素和集合之间关系的两点说明


1．符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A ”与“a∉A ”这两种结果．


2．∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．


3．数学中一些常用的数集及其记法


全体非负整数组成的集合称为非负整数集(或自然数集)，记作N；


全体正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N＋；


全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；


全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；


全体实数组成的集合称为实数集，记作R.


知识点三 集合的表示


1．列举法


把集合中的元素一一列举出来，并用大括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．


2．描述法


一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．


eq \x(状元随笔)


1．列举法表示集合时的4个关注点


(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．


(2)集合中的元素必须是明确的．


(3)集合中的元素不能重复．


(4)集合中的元素可以是任何事物．


2．描述法表示集合时的3个关注点


(1)写清楚集合中元素的符号，如数或点等；


(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等；


(3)不能出现未被说明的字母．


[教材解难]


1．教材P2思考


例(3)到例(6)都能组成集合


例(3)中的元素为“每一个正方形”


例(4)中的元素为“到直线l的距离等于定长d的所有点”


例(5)中的元素为“方程x2－3x＋2＝0的所有实数根”


例(6)中的元素为“地球上的四大洋”


2．教材P3思考


(1)能，大于等于0且小于等于9的3的倍数．


(2)不能，不等式x－7<3的解集是x<10，元素有无数个，列举不完．


3．教材P5思考


用自然语言、列举法和描述法表示集合时各有各的特点，自然语言只需表达出集合中元素的共同特征，不受形式的限制．列举法和描述法是集合语言，有严格的格式要求．其中列举法非常明确地列出组成集合的元素，适用于表示元素个数较少的集合，但是不易看出元素所具有的特征，且有些集合是不能用列举法表示的，如不等式x－1>0的解集；描述法清楚地表述了元素的共同特征，适用于表示无限集或元素个数较多的有限集，但是不容易看出集合的具体元素．


[基础自测]


1．下列能构成集合的是( )


A．中央电视台著名节目主持人


B．我市跑得快的汽车


C．上海市所有的中学生


D．香港的高楼


解析：A，B，D中研究的对象不确定，因此不能构成集合．


答案：C


2．下列各组中的两个集合M和N，表示相等集合的是( )


A．M＝{π}，N＝{3.141 59}


B．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}


C．M＝{x|－1

D．M＝{1，eq \r(3)，π}，N＝{π，1，|－eq \r(3)|}


解析：选项A中两个集合的元素互不相等，选项B中两个集合一个是数集，一个是点集，选项C中集合M＝{0,1}，只有D是正确的．


答案：D


3．集合{x∈N*|x－3<2}的另一种表示法是( )


A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}


C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}


解析：∵x－3<2，x∈N*，


∴x<5，x∈N*，


∴x＝1,2,3,4.故选B.


答案：B


4．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}＝________.


解析：由题意知，－5是方程x2－ax－5＝0的一个根，


所以(－5)2＋5a－5＝0，得a＝－4，


则方程x2＋ax＋3＝0，


即x2－4x＋3＝0，


解得x＝1或x＝3，


所以{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．


答案：{1,3}











题型一 集合的概念[经典例题]


例1 下列对象能构成集合的是( )


A.高一年级全体较胖的学生


B．sin 30°，sin 45°，cs 60°，1


C．全体很大的自然数


D．平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点


【解析】 由于较胖与很大没有一个确定的标准，因此A，C不能构成集合；B中由于sin 30°＝cs 60°不满足互异性；D满足集合的三要素，因此选D.


【答案】 D


构成集合的元素具有确定性．


方法归纳


判断一组对象组成集合的依据


判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．


跟踪训练1 下列各项中，不可以组成集合的是( )


A．所有的正数


B．等于2的数


C.接近于0的数


D．不等于0的偶数


解析：由于接近于0的数没有一个确定的标准，因此C中的对象不能构成集合．故选C.


答案：C


C中元素不确定．





题型二 元素与集合的关系[经典例题]


例2 (1)下列关系中，正确的有( )


①eq \f(1,2)∈R；②eq \r(2)∉Q；③|－3|∈N；④|－eq \r(3)|∈Q.


A．1个 B．2个


C．3个 D．4个


(2)满足“a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N”，有且只有2个元素的集合A的个数是( )


A．0 B．1


C．2 D．3


【解析】 (1)eq \f(1,2)是实数，eq \r(2)是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－eq \r(3)|＝eq \r(3)是无理数．因此，①②③正确，④错误．


(2)∵a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N，若a＝0，则4－a＝4，此时A＝{0,4}满足要求；若a＝1，则4－a＝3，此时A＝{1,3}满足要求；若a＝2，则4－a＝2，此时A＝{2}不满足要求．故有且只有2个元素的集合A有2个，故选C.


【答案】 (1)C (2)C


a分类处理：


①a＝0，a＝1，a＝2；


②a＝3，a＝4


还讨论吗？





方法归纳


判断元素和集合关系的两种方法


(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可．此时应首先明确集合是由哪些元素构成的．


(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．





跟踪训练2 下列说法正确的是( )


A.0∉N B.eq \r(2)∈Q


C．π∉R D.eq \r(4)∈Z


解析：A.N为自然数集，0是自然数，故本选项错误；B.eq \r(2)是无理数，Q是有理数集合，eq \r(2)∉Q，故本选项错误；C.π是实数，即π∈R，故本选项错误；D.eq \r(4)＝2,2是正整数，则eq \r(4)∈Z，故本选项正确．故选D.


答案：D


N自然数集；Z整数集；Q有理数集；R实数集．





题型三 集合的表示[教材P4例题2]


例3 试分别用描述法和列举法表示下列集合：


(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合A；


(2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合B.


【解析】 (1)设x∈A，则x是一个实数，且x2－2＝0.因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}．


方程x2－2＝0有两个实数根eq \r(2)，－eq \r(2)，因此，用列举法表示为A＝{eq \r(2)，－eq \r(2)}．


(2)设x∈B，则x是一个整数，即x∈Z，且10

大于10且小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19，因此，用列举法表示为B＝{11,12,13,14,15,16,17,18,19}．


找准元素，列举法是把元素一一列举．描述法注意元素的共同特征．








教材反思


本例题用列举法和描述法表示集合，关键是找准元素的特点，有限个元素一一列举，无限个元素的可以用描述法来表示集合，需要用一种适当方法表示．何谓“适当方法”，这就需要我们首先要准确把握列举法和描述法的优缺点，其次要弄清相应集合到底含有哪些元素．要弄清集合含有哪些元素，这就需要对集合进行等价转化．转化时应根据具体情景选择相应方法，如涉及方程组的解集，则应先解方程组．将集合的三种语言相互转化也有利于我们弄清楚集合中的元素．








跟踪训练3 用适当的方法表示下列集合：


(1)方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－3y＝14，,3x＋2y＝8))的解集；


(2)由所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；


(3)方程x2－2x＋1＝0的实数根组成的集合；


(4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合．


解析：(1)解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－3y＝14，,3x＋2y＝8，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝－2，))故解集可用描述法表示为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x，y|\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝－2))))，也可用列举法表示为{(4，－2)}．


(2)小于13的既是奇数又是素数的自然数有4个，分别为3,5,7,11.可用列举法表示为{3,5,7,11}．


(3)方程x2－2x＋1＝0的实数根为1，因此可用列举法表示为{1}，也可用描述法表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}．


(4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对(x，y)，其中x，y满足y＝x2＋2x－10，由于点有无数个，则用描述法表示为{(x，y)|y＝x2＋2x－10}．





易错点 忽略集合中元素的互异性出错


例 含有三个元素的集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a，\f(b,a)，1))，也可表示为集合{a2，a＋b,0}，求a，b的值．


【错解】 ∵eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a，\f(b,a)，1))＝{a2，a＋b,0}，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋\f(b,a)＋1＝a2＋a＋b＋0，,a·\f(b,a)·1＝a2·a＋b·0，))


解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝0.))


【正解】 ∵eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a，\f(b,a)，1))＝{a2，a＋b,0}，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋\f(b,a)＋1＝a2＋a＋b＋0，,a·\f(b,a)·1＝a2·a＋b·0，))


解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝0.))


由集合中元素的互异性，得a≠1.


∴a＝－1，b＝0.


【易错警示】





方法归纳


选用列举法或描述法的原则


要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法．列举法的特点是能清楚地展现集合的元素，通常用于表示元素个数较少的集合，当集合中元素较多或无限时，就不宜采用列举法；描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法.








课时作业 1





一、选择题


1．已知集合A中元素x满足－eq \r(5)≤x≤eq \r(5)，且x∈N*，则必有( )


A．－1∈A B．0∈A


C.eq \r(3)∈A D．1∈A


解析：x∈N*，且－eq \r(5)≤x≤eq \r(5)，所以x＝1,2.所以1∈A.


答案：D


2．将集合eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，y\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝5,2x－y＝1))))))用列举法表示，正确的是( )


A．{2,3} B．{(2,3)}


C．{(3,2)} D．(2,3)


解析：解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝5，,2x－y＝1，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝3.))


所以答案为{(2,3)}．


答案：B


3．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为( )


A．2 B．2或4


C．4 D．0


解析：集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A,6－a＝4∈A，


所以a＝2，


或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，所以a＝4，


综上所述，a＝2或4.故选B.


答案：B


4．下列集合的表示方法正确的是( )


A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}


B．不等式x－1＜4的解集为{x＜5}


C．{全体整数}


D．实数集可表示为R


解析：选项A中应是xy＜0；选项B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x；选项C的“{ }”与“全体”意思重复．


答案：D


二、填空题


5．给出下列关系：(1)eq \f(1,3)∈R；(2)eq \r(5)∈Q；(3)－3∉Z；(4)－eq \r(3)∉N，其中正确的是________．


解析：eq \f(1,3)是实数，(1)正确；eq \r(5)是无理数，(2)错误；－3是整数，(3)错误；－eq \r(3)是无理数，(4)正确．


答案：(1)(4)


6．设集合A＝{1，－2，a2－1}，B＝{1，a2－3a,0}，若A，B相等，则实数a＝________.


解析：由集合相等的概念得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－1＝0，,a2－3a＝－2，))解得a＝1.


答案：1


7．已知集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∈N，\f(12,6－x)∈N))))，用列举法表示集合A为________．


解析：(6－x)是12的因数，并且x∈N，解得x为0,2,3,4,5.


答案：{0,2,3,4,5}


三、解答题


8．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．


解析：因为－3∈A，A＝{a－3,2a－1}，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.


若－3＝a－3，则a＝0.


此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意．


若－3＝2a－1，则a＝－1，


此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意．


综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.


9．用适当的方法表示下列集合．


(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；


(2)在自然数集中，小于1 000的奇数构成的集合．


解析：(1)因为方程x(x2＋2x＋1)＝0的解为0或－1，所以解集为{0，－1}．


(2)在自然数集中，奇数可表示为x＝2n＋1，n∈N，故在自然数集中，小于1 000的奇数构成的集合为{x|x＝2n＋1，且n<500，n∈N}．


[尖子生题库]


10．下列三个集合：


①{x|y＝x2＋1}；


②{y|y＝x2＋1}；


③{(x，y)|y＝x2＋1}．


(1)它们是不是相同的集合？


(2)它们各自的含义是什么？


解析：(1)它们是不相同的集合．


(2)集合①是函数y＝x2＋1的自变量x所允许的值组成的集合．因为x可以取任意实数，所以{x|y＝x2＋1}＝R.集合②是函数y＝x2＋1的所有函数值y组成的集合．


由二次函数图象知y≥1，


所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．


集合③是函数y＝x2＋1图象上所有点的坐标组成的集合．





特征
含义
确定性
集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何元素在不在这个集合里是确定的．它是判断一组对象是否构成集合的标准
互异性
给定一个集合，其中任何两个元素都是不同的，也就是说，在同一个集合中，同一个元素不能重复出现
无序性
集合中的元素无先后顺序之分
关系
语言描述
记法
示例
a属于集合A
a是集合


A中的元素
a∈A
若A表示由“世界四大洋”组成的集合，则太平洋∈A，长江∉A
a不属于集合A
a不是集合


A中的元素
a∉A
错误原因
纠错心得
错解忽略了集合中元素的互异性，当a＝1时，在一个集合中出现了两个相同的元素
含有参数的集合问题，涉及的内容多为元素与集合的关系、集合相等，解题时需要根据集合中元素的互异性对参数的取值进行分类讨论