数学必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.4 充分条件与必要条件教学设计

这是一份数学必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.4 充分条件与必要条件教学设计，共9页。

最新课程标准：(1)通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系．(2)通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系．(3)通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.








知识点一 充分条件与必要条件


一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件(sufficient cnditin)，q是p的必要条件(necessary cnditin)．


eq \x(状元随笔) 如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作pq．此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．


知识点二 充要条件


如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件(sufficient and necessary cnditin)．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．


eq \x(状元随笔) p与q互为充要条件时，也称“p等价于q”“q当且仅当p”等．


[教材解难]


1．教材P17思考


(1)(4)是真命题，(2)(3)是假命题．


2．教材P18思考


不唯一，两组对边分别平行，一组对边平行且相等．


3．教材P19思考


不唯一，两组对边分别平行，两组对边分别相等，一组对边平行且相等．


4．教材P20思考


命题(1)(4)和它的逆命题是真命题．


命题(2)是真命题，它的逆命题是假命题．


命题(3)是假命题，它的逆命题是真命题．


5．教材P21探究


“四边形的两组对角分别相等”“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”和“四边形的对角线互相平分”既是“四边形是平行四边形”的充分条件，又是必要条件，所以它们都是“四边形是平行四边形”的充要条件．


[基础自测]


1．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的( )


A．充分条件 B．必要条件


C．充要条件 D．既不充分也不必要条件


解析：“便宜没好货”的意思是“好货”肯定“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件．


答案：B


2．设p：x<3，q：－1

A．充分必要条件 B．充分不必要条件


C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件


解析：因为(－1,3)(－∞，3)，所以p是q成立的必要不充分条件．


答案：C


3．设A、B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的( )


A．充分不必要条件 B．必要不充分条件


C．充要条件 D．既不充分也不必要条件


解析：A、B是两个集合，则由“A∩B＝A”可得“A⊆B”，由“A⊆B”可得“A∩B＝A”，所以A、B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件．故选C.


答案：C


4．用符号“⇒”与“”填空：


(1)x2>1________x>1；


(2)a，b都是偶数________a＋b是偶数．


解析：(1)命题“若x2>1，则x>1”是假命题，故x2>1x>1.


(2)命题“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”是真命题，故a，b都是偶数⇒a＋b是偶数．


答案：(1) (2)⇒











题型一 充分条件、必要条件、充要条件的判断


[教材P18例1、P19例2]


例1 (1)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？


①若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；


②若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；


③若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；


④若x2＝1，则x＝1；


⑤若a＝b，则ac＝bc；


⑥若x，y为无理数，则xy为无理数．





(2)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？


①若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；


②若两个三角形相似，则这两个三角形的三边对应成比例；


③若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；


④若x＝1，则x2＝1；


⑤若ac＝bc，则a＝b；


⑥若xy为无理数，则x，y为无理数．


【解析】 (1)①这是一条平行四边形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件．


②这是一条相似三角形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件．


③这是一条菱形的性质定理，p⇒q，所以p是q的充分条件．


④由于(－1)2＝1，但－1≠1，pq，所以p不是q的充分条件．


⑤由等式的性质知，p⇒q，所以p是q的充分条件．


⑥eq \r(2)为无理数，但eq \r(2)×eq \r(2)＝2为有理数，pq，所以p不是q的充分条件．


p⇒q由充分条件的定义来判断．


(2)①这是平行四边形的一条性质定理，p⇒q，所以，q是p的必要条件．


②这是三角形相似的一条性质定理，p⇒q，所以，q是p的必要条件．





③如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，但它不是菱形，pq，所以，q不是p的必要条件．


④显然，p⇒q，所以，q是p的必要条件．


⑤由于(－1)×0＝1×0，但－1≠1，pq，所以，q不是p的必要条件．


⑥ 由于1×eq \r(2)＝eq \r(2)为无理数，但1，eq \r(2)不全是无理数，pq，所以，q不是p的必要条件.


p⇒q由必要条件的定义来判断．





教材反思


充分条件、必要条件、充要条件的判断方法


1．定义法


(1)分清命题的条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论．


(2)找推式：判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假．


(3)根据推式及条件得出结论．


2．等价转化法


(1)等价法：将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的命题．


(2)逆否法：这是等价法的一种特殊情况．


若綈p⇒綈q，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；


若綈p⇒綈q，且綈q 綈p，则p是q的必要不充分条件；


若綈p⇔綈q，则p与q互为充要条件；


若綈p綈q，且綈q 綈p，则p是q的既不充分也不必要条件．


3．集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断．


4．传递法：若问题中出现若干个条件和结论，应根据条件画出相应的推式图，根据图中推式的传递性进行判断．


5．特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件(结论)不能推出结论(条件)，但是这种方法不适用于证明题．


跟踪训练1 指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答)．


(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；


(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；


(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c.


解析：(1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0 x－3＝0，故p是q的充分不必要条件．


(2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件．


(3)a>b⇒a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c⇒a>b，故p是q的充要条件．


eq \x(判断p⇒q，q⇒p是否成立)→eq \x(结合定义得出结论)





题型二 求条件(充分条件、必要条件和充要条件)


[经典例题]


例2 使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件是( )


A．x≥0


B．x<0或x>2


C. x∈{－1,3,5}


D．x≤－eq \f(1,2)或x≥3


【解析】 由2x2－5x－3≥0，得x≥3或x≤－eq \f(1,2)，所以选项中只有x∈{－1,3,5}是使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件．


【答案】 C


eq \x(先求出满足题意的充要条件)eq \(―――――――→,\s\up13(结合集合关系))eq \x(从选项中选出充分不必要条件)








方法归纳


本题易错的地方是颠倒充分性和必要性，根据{x|x≥3或x≤－eq \f(1,2)}{x|x>2或x<0}，误选B.事实上，“不等式2x2－5x－3≥0成立”为结论q，我们只需找到条件p使p⇒q且q p即可．





跟踪训练2 2x2－5x－3<0的必要不充分条件是( )


A．－eq \f(1,2)

B．0

C．－1

D．－eq \f(1,2)

解析：2x2－5x－3<0⇒－eq \f(1,2)

∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，3))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，4))，


∴－eq \f(1,2)

答案：D


使2x2－5x－3<0成立的x为－eq \f(1,2)

题型三 充分条件、必要条件、充要条件的应用


[经典例题]


例3 已知p：2x2－3x－2≥0，q：x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，若p是q的充分不必要条件．求实数a的取值范围．


【解析】 令M＝{x|2x2－3x－2≥0}＝{x|(2x＋1)(x－2)≥0}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤－\f(1,2)或x≥2))))；


N＝{x|x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0}＝{x|(x－a)[x－(a－2)]≥0}＝{x|x≤a－2或x≥a}，


由已知p⇒q且q p，得MN.


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2≥－\f(1,2)，,a<2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2>－\f(1,2)，,a≤2，))


解得eq \f(3,2)≤a<2或eq \f(3,2)

即所求a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2)).


eq \x(状元随笔)


eq \x(构造集合M＝{x|px}； N＝{x|qx})


eq \(―――→,\s\up12(求解),\s\d10(M、N))eq \x(由已知M N)eq \(―――→,\s\up12(构造a的),\s\d10(不等式))eq \x(解关于a的不等式组)―→eq \x(结果)








方法归纳


根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件、充要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．


跟踪训练3 已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x|x2－5x－24<0}，若M是N的充分条件，求a的取值范围．


解析：由(x－a)2<1得，x2－2ax＋(a－1)(a＋1)<0，


∴a－1

则M＝{x|a－1

又由x2－5x－24<0得－3

则N＝{x|－3

∵M是N的充分条件，∴M⊆N，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－1≥－3，,a＋1≤8，))解得－2≤a≤7.


故a的取值范围是－2≤a≤7.


先求M、N，再利用充分条件得M⇒N，即M⊆N来求a的取值范围．











课时作业 5





一、选择题


1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( )


A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件


C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件


解析：因为A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，若a＝3，则A＝{1,3}，所以A⊆B，所以a＝3⇒A⊆B；若A⊆B，则a＝2或a＝3，所以A⊆Ba＝3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．


答案：A


2．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是( )


A．m＝－2 B．m＝2


C．m＝－1 D．m＝1


解析：函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于x＝1对称⇔－eq \f(m,2)＝1⇔m＝－2.


答案：A


3．王昌龄的《从军行》中有两句诗：“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”．其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )


A．充分条件 B．必要条件


C．充要条件 D．既不充分也不必要条件


解析：“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件．故选B.


答案：B


4．已知p：x>1或x<－3，q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是( )


A．[1，＋∞) B．(－∞，1]


C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3]


解析：令A＝{x|x>1或x<－3}，B＝{x|x>a}，


∵q是p的充分不必要条件，


∴BA，


∴a≥1.


答案：A





二、填空题


5．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空．


(1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________；


(2)“x<5”是“x<3”的________．


解析：(1)设A＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1,1}，所以A＝B，即“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件．


(2)设A＝{x|x<5}，B＝{x|x<3}，因为AB，所以“x<5”是“x<3”的必要不充分条件．


答案：(1)充要条件 (2)必要不充分条件


6．如果命题“若A则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的________条件．


解析：因为逆否命题为假，那么原命题为假，即AB，又因否命题为真，所以逆命题为真，即B⇒A，所以A是B的必要不充分条件．


答案：必要不充分


7．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是________．


解析：对称轴x＝－eq \f(b,2)≤0，即b≥0.


答案：b≥0


三、解答题


8．指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)．


(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；


(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；


(3)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.


解析：(1)在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以p是q的充要条件．


(2)因为p⇒q，但qp，所以p是q的充分不必要条件．


(3)因为p：A＝{(1,2)}，q：B＝{(x，y)|x＝1或y＝2}，AB，所以p是q的充分不必要条件．


9．已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－m2>0(m>0)，若p是q的充分而不必要条件，求正实数m的取值范围．


解析：由命题p得：x>10或x<－2，


由命题q得：x2－2x＋1－m2>0(m>0)⇔[x－(1＋m)]·[x－(1－m)]>0⇔x<1－m，或x>1＋m(m>0)．


因为p是q的充分不必要条件，


所以p⇒q，且qp，{x|x>10或x<－2}{x|x<1－m或x>1＋m(m>0)}，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m≥－2，,1＋m≤10，))两等号不能同时成立，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≤3，,m≤9，))即m≤3.


所以正实数m的取值范围为(0,3]．


[尖子生题库]


10．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件．


解析：(1)a＝0时，可得x＝－eq \f(1,2)，符合题意．


(2)当a≠0时，方程为一元二次方程，若方程有两个异号的实根，


则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝4－4a>0，,\f(1,a)<0，))解得a<0；


若方程有两个负的实根，


则必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a)>0，,－\f(2,a)<0，,Δ＝4－4a≥0，))解得0

综上知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1.


反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根．


因此，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1.