人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语本章综合与测试优秀教学设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语本章综合与测试优秀教学设计，共8页。

考点一 集合的基本概念


正确理解集合元素的三性，即确定性、互异性和无序性．在集合运算中，常利用元素的互异性检验所得的结论是否正确，因互异性易被忽略，在解决含参数集合问题时应格外注意．


【典例1】 (1)已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则实数m为( )


A．2 B．3


C．0或3 D．0,2,3均可


(2)定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝(0,2)，则集合A*B的所有元素之和为________．


[解析] (1)由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A＝{0,3,2}，符合题意．综上所述，m＝3.


(2)由A*B的含义可知，A*B＝{0,2,4}，故其所有元素之和为6.


[答案] (1)B (2)6











解决集合的概念问题应关注2点


(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．


(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性．





[针对训练]


1．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )


A．1 B．3


C．5 D．9


[解析] ①当x＝0时，y＝0,1,2，此时x－y的值分别为0，－1，－2；


②当x＝1时，y＝0,1,2，此时x－y的值分别为1,0，－1；


③当x＝2时，y＝0,1,2，此时x－y的值分别为2,1,0.


综上可知，x－y的可能取值为－2，－1,0,1,2，共5个，故选C.


[答案] C


2．若－3∈{x－2,2x2＋5x,12}，则x＝________.


[解析] 由题意可知，x－2＝－3或2x2＋5x＝－3.


①当x－2＝－3时，x＝－1，


把x＝－1代入，得集合的三个元素为－3，－3,12，不满足集合中元素的互异性；


②当2x2＋5x＝－3时，x＝－eq \f(3,2)或x＝－1(舍去)，


当x＝－eq \f(3,2)时，集合的三个元素为－eq \f(7,2)，－3,12，满足集合中元素的互异性．


由①②知x＝－eq \f(3,2).


[答案] －eq \f(3,2)


考点二 集合间的基本关系


集合与集合之间的关系有包含、真包含和相等．判断集合与集合之间的关系的本质是判断元素与集合的关系，包含关系的传递性是推理的重要依据．空集比较特殊，它不包含任何元素，是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集．解题时，已知条件中出现A⊆B时，不要遗漏A＝∅.


【典例2】 (1)若集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝m＋\f(1,6)，m∈Z))))，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(n,2)－\f(1,3)，n∈Z))))，P＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(＝\f(p,2)＋\f(1,6)，p∈Z))))，则M，N，P的关系是( )


A．M＝NP B．MN＝P


C．MNP D．NPM


(2)已知集合A＝{x|1

[解析] (1)M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(6m＋1,6)，m∈Z)))).


N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(3n－2,6)，n∈Z))))＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(3q＋1,6)，q∈Z))))，


P＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(3p＋1,6)，p∈Z)))).∴MN＝P.


(2)①当a＝0时，A＝∅，满足A⊆B.


②当a>0时，A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a)

又∵B＝{x|－1

∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a)≥－1，,\f(2,a)≤1，))∴a≥2.


③当a<0时，A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2,a)

∵A⊆B，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2,a)≥－1，,\f(1,a)≤1，))∴a≤－2.


综上所述，a的取值范围为{a|a≥2或a≤－2或a＝0}．


[答案] (1)B (2){a|a≥2或a≤2或a＝0}．











(1)判断两集合关系的2种常用方法


一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．


(2)处理集合间关系问题的关键点


已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析．同时还要注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，要分类讨论，讨论时要不重不漏．





[针对训练]


3．已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0,1,2}，则下列关系正确的是( )


A．M＝N B．MN


C．N⊆M D．NM


[解析] 由集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，N＝{0,1,2}，可知MN.


[答案] B


4．已知集合A＝{x|x<－1或x≥1}，B＝{x|2a

[解析] ∵a<1，∴2a

画数轴如图所示．





由B⊆A知，a＋1<－1或2a≥1.


即a<－2或a≥eq \f(1,2).


由已知a<1，∴a<－2或eq \f(1,2)≤a<1，


即所求a的取值范围是a<－2或eq \f(1,2)≤a≤1.


[答案] eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<－2或\f(1,2)≤a<1))))


考点三 集合的基本运算


并、交、补是集合间的基本运算，Venn图与数轴是集合运算的重要工具．活用集合之间的运算与集合之间关系的转化，如A∩B＝A转化为A⊆B，A∪B＝A转化为B⊆A.


【典例3】 (1)已知集合A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁RA)∩B等于( )


A．{－2，－1} B．{－2}


C．{－1,0,1} D．{0,1}


(2)设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁UA)∩B＝∅，求m的值．


[解析] (1)因为集合A＝{x|x>－1}，


所以∁RA＝{x|x≤－1}，


则(∁RA)∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1,0,1}


＝{－2，－1}．


(2)A＝{－2，－1}，由(∁UA)∩B＝∅，得B⊆A，


∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠∅.


∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．


①若B＝{－1}，则m＝1；


②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，


且m＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，


∴B≠{－2}；


③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m＝2.


经检验知m＝1或m＝2符合条件．


∴m＝1或m＝2.


[答案] (1)A (2)m＝1或m＝2





集合基本运算的答题策略


(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．


(2)对集合化简．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．


(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．





[针对训练]


5．设全集U是自然数集N，集合A＝{x|x2>4，x∈N}，B＝{0,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )





A．{x|x>2，x∈N}


B．{x|x≤2，x∈N}


C．{0,2}


D．{1,2}


[解析] 由题图可知，图中阴影部分所表示的集合是B∩(∁UA)，∁UA＝{x|x2≤4，x∈N}＝{x|－2≤x≤2，x∈N}＝{0,1,2}，∵B＝{0,2,3}，∴B∩(∁UA)＝{0,2}，选C.


[答案] C


6．设集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，求使A⊆A∩B成立的a的取值集合．


[解] 由A⊆A∩B，得A⊆B，则


①当A＝∅时，2a＋1>3a－5，解得a<6.


②当A≠∅时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＋1≤3a－5，,2a＋1≥3，,3a－5≤22，))解得6≤a≤9.


综合①②可知，使A⊆A∩B成立的a的取值集合为{a|a≤9}．


考点四 简易逻辑用语


充分必要条件的判断常用“定义”法和“集合”法判断．若用“定义”法，一般将命题改写为“若p，则q”的形式，若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若利用集合的关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件，AB即A是B的充分不必要条件，A＝B则A是B的充要条件．


全称量词命题为真，存在量词命题为假的判断都需要推理证明，反之则只需举出反例即可，含有量词的否定，遵循“改量词，否结论”的原则．


【典例4】 (1)已知p：eq \f(1,x＋2)<0，q：eq \r(x＋2)有意义，则p的否定是q的( )条件( )


A．充分不必要条件 B．必要不充分条件


C．充要条件 D．既不充分又不必要条件


(2)不等式(x－3)2x>2(x－3)2成立的一个充分不必要条件是( )


A．x>2 B．x>2且x≠3


C．x>1 D．x>5


[解析] (1)命题p为x＋2<0，其否定为x＋2≥0，即x≥－2.而eq \r(x＋2)有意义需x＋2≥0，故p的否定是q的充要条件．


(2)(x－3)2x>2(x－3)2⇔x>2且x≠3，所以(x－3)2x>2(x－3)2成立的充分不必要条件应是集合{x|x>2且x≠3}的真子集，故选D.


[答案] (1)C (2)D











(1)写出一个命题的否定要先将命题化为最简形式．


(2)利用“集合法”判断两个命题的关系，要合理转化为集合间的包含关系，同时还要注意集合中端点值的检验，如针对训练8题．





[针对训练]


7．A∩B＝B是BA的( )


A．充分不必要条件 B．必要不充分条件


C．充要条件 D．既不充分又不必要条件


[解析] A∩B＝B⇔B⊆A，因为B⊆A eq \(⇒,/)BA，所以B⊆A不是BA的充分条件，但BA⇒B⊆A，∴B⊆A是BA的必要条件，故A∩B＝B是BA的必要不充分条件．故选B.


[答案] B


8．已知p：－2≤x≤10，q：2m≤x≤1＋m，


(1)p的否定为______________________．


(2)若p是q的必要不充分条件，则m的取值范围是________．


[解析] (1)p的否定为：x<－2或x>10.


(2)由题意：p eq \(⇒,/)q，q⇒p，故{x|2m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}．


①当1＋m<2m，即m>1时，{x|2m≤x≤1＋m}＝∅，满足题意．


②当m≤1时，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋m≤10,2m≥－2))∴－1≤m≤1，


综上得m的取值范围是m≥－1.


[答案] (1)x>10或x<－2 (2)m≥－1