人教A版 (2019)必修第一册2.1 等式性质与不等式性质教案

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这是一份人教A版 (2019)必修第一册2.1 等式性质与不等式性质教案，共12页。

最新课程标准：梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质．

知识点一实数大小比较

1．文字叙述

如果a－b是正数，那么a>b；

如果a－b等于0，那么a＝b；

如果a－b是负数，那么a

2．符号表示

a－b>0⇔a>b；

a－b＝0⇔a＝b；

a－b<0⇔a

eq \x(状元随笔) 比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a －b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a －b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式等．

知识点二不等式的性质

eq \x(状元随笔) (1)性质3是移项的依据．不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边．即a ＋b>c ⇒a>c －b.性质3是可逆性的，即a>b ⇔a ＋c>b ＋c.

(2)注意不等式的单向性和双向性．性质1和3是双向的，其余的在一般情况下是不可逆的．

(3)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．要克服“想当然”“显然成立”的思维定势．

[教材解难]

教材P40思考

等式有下面的基本性质：

性质1 如果a＝b，那么b＝a；

性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；

性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c；

性质4 如果a＝b，那么ac＝bc；

性质5 如果a＝b，c≠0，那么eq \f(a,c)＝eq \f(b,c).

[基础自测]

1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系( )

A．T<40 B．T>40

C．T≤40 D．T≥40

解析：“限重40吨”是不超过40吨的意思．

答案：C

2．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( )

A．M>N B．M＝N

C．M

解析：因为M－N＝x2＋x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)>0，所以M>N.

答案：A

3．已知x

A．x2ax>a2

C．x2a2>ax

解析：因为xa2；不等号两边同时乘x，则x2>ax，故x2>ax>a2.

答案：B

4．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为________．

解析：因为－1≤b≤2，所以－2≤－b≤1，

又1≤a≤5，所以－1≤a－b≤6.

答案：－1≤a－b≤6

题型一比较大小[教材P38例1]

例1 比较(x＋2)(x＋3)和(x＋1)(x＋4)的大小．

【解析】因为(x＋2)(x＋3)－(x＋1)(x＋4)

＝(x2＋5x＋6)－(x2＋5x＋4)

＝2>0，

所以(x＋2)(x＋3)>(x＋1)(x＋4)．

eq \x(状元随笔) 通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系.

教材反思

用作差法比较两个实数大小的四步曲

跟踪训练1 若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是( )

A．f(x)

B．f(x)＝g(x)

C．f(x)>g(x)

D．随x值变化而变化

解析：f(x)－g(x)＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)

＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，

所以f(x)>g(x)．故选C.

答案：C

eq \x(作差)→eq \x(变形)→eq \x(判断差的符号)→eq \x(结合差的符号判定大小)

题型二不等式的性质[经典例题]

eq \x(分析条件)→

eq \x(利用不等式性质逐一判断)

例2 对于实数a、b、c，有下列说法：

①若a>b，则ac

②若ac2>bc2，则a>b；

③若aab>b2；

④若c>a>b>0，则eq \f(a,c－a)>eq \f(b,c－b)；

⑤若a>b，eq \f(1,a)>eq \f(1,b)，则a>0，b<0.

其中正确的个数是( )

A．2 B．3

C．4 D．5

【解析】对于①，令c＝0，则有ac＝bc.①错．

对于②，由ac2>bc2，知c≠0，

∴c2>0⇒a>b.②对．

对于③，由a

两边同乘以a得a2>ab，

两边同乘以b得ab>b2，

∴a2>ab>b2.③对．

对于④，eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(c>a>b>0⇒c－a>0，c－b>0,a>b⇒－a<－b⇒c－a

⇒eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,c－a)>\f(1,c－b)>0,a>b>0))⇒eq \f(a,c－a)>eq \f(b,c－b).④对．

对于⑤，eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>b⇒a－b>0,\f(1,a)>\f(1,b)⇒\f(b－a,ab)>0))⇒eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(ab<0,a>b))⇒a>0，b<0.⑤对．

故选C.

答案：C

方法归纳

(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质．

(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．

跟踪训练2 (1)已知a

A.4a<4b

B．－4a<－4b

C．a＋4

D．a－4

(2)对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是( )

A．若a>b，c≠0，则ac>bc

B．若a>b，则ac2>bc2

C．若ac2>bc2，则a>b

D．若a>b，则eq \f(1,a)

解析：(1)根据不等式的性质，a0⇒4a<4b，A项正确；a－4b，B项错误；a

利用不等式的性质，解题关键找准使不等式成立的条件．

(2)对于选项A，当c<0时，不正确；对于选项B，当c＝0时，不正确；对于选项C，∵ac2>bc2，∴c≠0，∴c2>0，∴一定有a>b.故选项C正确；对于选项D，当a>0，b<0时，不正确．

答案：(1)B (2)C

题型三利用不等式性质求范围[经典例题]

例3 已知－2

(1)|a|；(2)a＋b；(3)a－b；(4)2a－3b.

【解析】 (1)|a|∈[0,3]；(2)－1

(3)依题意得－2

(4)由－2

由1≤b<2得－6<－3b≤－3 ②，

由①②得，－10<2a－3b≤3.

eq \x(状元随笔) 运用不等式性质研究代数式的取值范围，关键是把握不等号的方向.

方法归纳

利用不等式性质求范围的一般思路

(1)借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；

(2)借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；

(3)结合不等式的传递性进行求解．

跟踪训练3 已知实数x，y满足：1

(1)求xy的取值范围；

(2)求x－2y的取值范围．

解析：(1)∵1

(2)由(1)知1

eq \x(状元随笔) (1)根据不等式的性质6可直接求解；

(2)求出－2y的取值范围后，利用不等式的性质5即可求x －2y的取值范围.

课时作业 7

一、选择题

1．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A、B的大小关系是( )

A．A≤B B．A≥B

C．AB D．A>B

解析：因为A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(b,2)))2＋eq \f(3,4)b2≥0，所以A≥B.

答案：B

2．已知：a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是( )

A．若a>b，c>b，则a>c B．若a>－b，则c－a

C．若a>b，ceq \f(b,d) D．若a2>b2，则－a<－b

解析：选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立；选项C不满足倒数不等式的条件，如a>b>0，c<0b>0时才可以．否则如a＝－1，b＝0时不成立．

答案：B

3．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( )

A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1

C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1

解析：∵－1<β<1，∴－1<－β<1.

又－1<α<1，∴－2<α＋(－β)<2，

又α<β，∴α－β<0，即－2<α－β<0.故选A.

答案：A

4．有四个不等式：①|a|>|b|；②ab3.若eq \f(1,a)

A．0 B．1

C．2 D．3

解析：由eq \f(1,a)b，②不正确；a＋b<0，ab>0，则a＋bb3，④正确．故不正确的不等式的个数为2.

答案：C

二、填空题

5．已知a，b均为实数，则(a＋3)(a－5)________(a＋2)(a－4)(填“>”“<”或“＝”)．

解析：因为(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，所以(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4)．

答案：<

6．如果a>b，那么c－2a与c－2b中较大的是________．

解析：c－2a－(c－2b)＝2b－2a＝2(b－a)<0.

答案：c－2b

7．给定下列命题：

①a>b⇒a2>b2；②a2>b2⇒a>b；③a>b⇒eq \f(b,a)<1；④a>b，c>d⇒ac>bd；⑤a>b，c>d⇒a－c>b－d.

其中错误的命题是________(填写相应序号)．

解析：由性质7可知，只有当a>b>0时，a2>b2才成立，故①②都错误；对于③，只有当a>0且a>b时，eq \f(b,a)<1才成立，故③错误；由性质6可知，只有当a>b>0，c>d>0时，ac>bd才成立，故④错误；对于⑤，由c>d得－d>－c，从而a－d>b－c，故⑤错误．

答案：①②③④⑤

三、解答题

8．已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小．

解析：x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1

＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2

＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4)))，

因为x<1，所以x－1<0，

又因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)>0，

所以(x－1)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4)))<0，

所以x3－1<2x2－2x.

9．若bc－ad≥0，bd>0.求证：eq \f(a＋b,b)≤eq \f(c＋d,d).

证明：因为bc－ad≥0，所以ad≤bc，

因为bd>0，所以eq \f(a,b)≤eq \f(c,d)，

所以eq \f(a,b)＋1≤eq \f(c,d)＋1，所以eq \f(a＋b,b)≤eq \f(c＋d,d).

[尖子生题库]

10．设f(x)＝ax2＋bx,1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．

解析：方法一设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，

则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a＋(n－m)b，

于是得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋n＝4,n－m＝－2))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝3，,n＝1))

∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．

又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.

∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，

故f(－2)的取值范围是[5,10]．

方法二由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f－1＝a－b,f1＝a＋b))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,2)[f－1＋f1],b＝\f(1,2)[f1－f－1]))，

∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．

又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，

∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，

故f(－2)的取值范围是[5,10].

性质
别名
性质内容
注意
1
对称性
a>b⇔b可逆
2
传递性
a>b，b>c⇒a>c
3
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
可逆
4
可乘性
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>bc>0))⇒ac>bc
c的符号
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>bc<0))⇒ac5
同向

可加性
eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(a>bc>d))⇒a＋c>b＋d
同向
6
同向同正

可乘性
eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(a>b>0c>d>0))⇒ac>bd
同向
7
可乘方性
a>b>0⇒an>bn

(n∈N，n≥2)
同正

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