高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式本章综合与测试优质教学设计及反思

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考点一 基本不等式


利用基本不等式a＋b≥2eq \r(ab)(a>0，b>0)求最值，要抓住“一正，二定，三相等”的条件，三者缺一不可，和为定值积有最大值，积为定值和有最小值．


【典例1】 (1)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是( )


A.eq \f(24,5) B.eq \f(28,5) C．5 D．6


(2)若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是( )


A.eq \f(4,3) B.eq \f(5,3) C．2 D.eq \f(5,4)


[解析] (1)因为x＋3y＝5xy，eq \f(1,y)＋eq \f(3,x)＝5，


所以3x＋4y＝eq \f(1,5)(3x＋4y)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,y)＋\f(3,x)))


＝eq \f(1,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,y)＋\f(12y,x)))＋eq \f(13,5)


≥eq \f(1,5)×2×eq \r(36)＋eq \f(13,5)＝5.


当且仅当eq \f(3x,y)＝eq \f(12y,x)，即x＝1，y＝eq \f(1,2)时等号成立，所以3x＋4y的最小值是5.


(2)由4x2＋9y2＋3xy＝30，得


2·2x·3y＋3xy≤4x2＋9y2＋3xy＝30，


即15xy≤30，xy≤2，此时当且仅当


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＝3y,4x2＋9y2＋3xy＝30，))


即x＝eq \r(3)，y＝eq \f(2\r(3),3)时取得最大值．


故答案选C.


[答案] (1)C (2)C





条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．


[针对训练]


1．若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则2x＋y的最小值是________．


[解析] 解法一：∵x>0，y>0，


∴xy＝eq \f(1,2)·(2x)·y≤eq \f(1,2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x＋y,2)))2，


∴2x＋y＋6＝(2x＋y)＋6≤eq \f(1,8)(2x＋y)2，


∴(2x＋y)2－8(2x＋y)－48≥0，


令2x＋y＝t，t>0，则t2－8t－48≥0，


∴(t－12)(t＋4)≥0，∴t≥12，即2x＋y≥12.


解法二：由x>0，y>0,2x＋y＋6＝xy，得


xy≥2eq \r(2xy)＋6(当且仅当2x＝y时，取“＝”)，


即(eq \r(xy))2－2eq \r(2)eq \r(xy)－6≥0，


∴(eq \r(xy)－3eq \r(2))·(eq \r(xy)＋eq \r(2))≥0，


又∵eq \r(xy)>0，∴eq \r(xy)≥3eq \r(2)，即xy≥18，


∴xy的最小值为18，


∵2x＋y＝xy－6，∴2x＋y的最小值为12.


[答案] 12


2．已知x>1，求函数y＝eq \f(x2－2x＋2,2x－2)的最小值．


[解] ∵x>1，


∴y＝eq \f(x2－2x＋2,2x－2)＝eq \f(x－12＋1,2x－1)


＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x－1＋\f(1,x－1)))≥eq \f(1,2)×2 eq \r(x－1·\f(1,x－1))


＝1，


当且仅当x－1＝eq \f(1,x－1)，即x＝2时，取“＝”，


∴当x＝2时，函数y＝eq \f(x2－2x＋2,2x－2)有最小值为1.


考点二 一元二次不等式的解法与三个“二次”之间的关系


一元二次方程的根就是二次函数的零点，求二次不等式的解一般结合二次函数的图象写出不等式的解．


【典例2】 (1)已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1

A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,))－1\f(1,2)))


C．{x|－21}


(2)若a为实数，解关于x的不等式ax2＋(a－2)x－2<0.


[解析] (1)根据题意x＝－1和x＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，于是


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b＋2＝0,4a＋2b＋2＝0))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1,b＝1))，


则2x2＋x－1<0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,))－1

(2)当a＝0时，不等式化为－2x－2<0，解得{x|x>－1}；


当a≠0时，不等式化为(x＋1)(ax－2)<0，


若a>0，则不等式化为(x＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,a)))<0，


且－1

若a<0，则不等式化为(x＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,a)))>0，


当eq \f(2,a)＝－1，即a＝－2时，不等式化为(x＋1)2>0，解得{x|x≠－1}；


当a<－2，即eq \f(2,a)>－1时，不等式的解集为


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x>\f(2,a)或x<－1))；


当－2

eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x<\f(2,a)或x>－1)).


综上，a＝0时，不等式的解集为{x|x>－1}，


a>0时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|－1

－2－1))，


a＝－2时，不等式的解集为{x|x≠－1}，


a<－2时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x>\f(2,a)或x<－1)).


[答案] (1)A (2)见解析





解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．


[针对训练]


3．若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3

(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；


(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R.


[解] (1)由题意，知1－a<0，且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－a<0，,\f(4,1－a)＝－2,\f(6,1－a)＝－3，))解得a＝3.


∴不等式2x2＋(2－a)x－a>0


即为2x2－x－3>0，解得x<－1或x>eq \f(3,2).


∴所求不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x<－1或x>\f(3,2))).


(2)ax2＋bx＋3≥0，即为3x2＋bx＋3≥0，若此不等式解集为R，则b2－4×3×3≤0，


∴－6≤b≤6.