人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式教案设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式教案设计，共11页。

最新课程标准：(1)从函数观点看一元二次方程．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．(2)从函数观点看一元二次不等式．①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．②借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.











知识点 二次函数与一元二次方程、不等式的解


的对应关系


eq \x(状元随笔) 一元二次不等式的解法：


(1)图象法：一般地，当a>0时，解形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：


①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；③由图象得出不等式的解集．


对于a<0的一元二次不等式，可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．


(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p0，则x>q或x




[教材解难]


教材P50思考


能．可以从2个角度来看


①函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0表示二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集即二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围．


②方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．


[基础自测]








1．下列不等式中是一元二次不等式的是( )


A．a2x2＋2≥0 B.eq \f(1,x2)<3


C．－x2＋x－m≤0 D．x3－2x＋1>0


解析：选项A中，a2＝0时不符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合．


答案：C


2．不等式x(x＋1)≤0的解集为( )


A．[－1，＋∞) B．[－1,0)


C．(－∞，－1] D．[－1,0]


解析：解不等式得－1≤x≤0，故选D.


答案：D


3．函数y＝eq \f(1,\r(7－6x－x2))的定义域为( )


A．[－7,1]


B．(－7,1)


C．(－∞，－7]∪[1，＋∞)


D．(－∞，－7)∪(1，＋∞)


解析：由7－6x－x2>0，得x2＋6x－7<0，即(x＋7)(x－1)<0，所以－7

答案：B


4．不等式1＋2x＋x2≤0的解集为________．


解析：不等式1＋2x＋x2≤0化为(x＋1)2≤0，解得x＝－1.


答案：{－1}














题型一 解不含参数的一元二次不等式[教材P52例1、2、3]


例1 (1)求不等式x2－5x＋6>0的解集．


(2)求不等式9x2－6x＋1>0的解集．


(3)求不等式－x2＋2x－3>0的解集．


【解析】 (1)对于方程x2－5x＋6＝0，因为Δ>0，所以它有两个实数根．解得x1＝2，x2＝3.


画出二次函数y＝x2－5x＋6的图象(图1)，结合图象得不等式x2－5x＋6>0的解集为{x|x<2，或x>3}．


(2)对于方程9x2－6x＋1＝0，因为Δ＝0，所以它有两个相等的实数根，解得x1＝x2＝eq \f(1,3).


画出二次函数y＝9x2－6x＋1的图象(图2)，结合图象得不等式9x2－6x＋1>0的解集为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x≠\f(1,3)))))








(3)不等式可化为x2－2x＋3<0.


因为Δ＝－8<0，所以方程x2－2x＋3＝0无实数根．


画出二次函数y＝x2－2x＋3的图象(图3)．


结合图象得不等式x2－2x＋3<0的解集为∅.


因此，原不等式的解集为∅.


因为方程x2－5x＋6＝0的根是函数y＝x2－5x＋6的零点，所以先求出x2－5x＋6＝0的根，再根据函数图象得到x2－5x＋6>0的解集．





教材反思


我们以求解可化成ax2＋bx＋c>0(a>0)形式的不等式为例，用框图表示其求解过程．








跟踪训练1 解下列不等式：


(1)x2－7x＋12>0；


(2)－x2－2x＋3≥0；


(3)x2－2x＋1<0；


(4)－2x2＋3x－2<0.


解析：(1)因为Δ＝1＞0，所以方程x2－7x＋12＝0有两个不等实根x1＝3，x2＝4.再根据函数y＝x2－7x＋12的图象开口向上，可得不等式x2－7x＋12＞0的解集是{x|x＜3或x＞4}．


(2)不等式两边同乘－1，原不等式可化为x2＋2x－3≤0.因为Δ＝16＞0，所以方程x2＋2x－3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝1.再根据函数y＝x2＋2x－3的图象开口向上，可得不等式－x2－2x＋3≥0的解集是{x|－3≤x≤1}．


(3)因为Δ＝0，所以方程x2－2x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝1.再根据函数y＝x2－2x＋1的图象开口向上，可得不等式x2－2x＋1＜0的解集为∅.


(4)原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，因此Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.


eq \x(状元随笔) eq \x(化二次项系数为正)―→eq \x(计算相应方程的判别式Δ及两根x1，x2)eq \(――→,\s\up12(函数),\s\d10(图象))eq \x(结果)


题型二 三个“二次”之间的关系[经典例题]


例2 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2

【解析】 方法一 由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20，即x2－eq \f(5,6)x＋eq \f(1,6)>0，解得xeq \f(1,2)，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).


方法二 由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2

eq \x(状元随笔) eq \x(由给定不等式的解集形式)→eq \x(确定a<0及关于a，b，c的方程组)→


eq \x(用a表示b，c)→eq \x(代入所求不等式)→eq \x(求解cx2＋bx＋a<0的解集)








方法归纳


一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．


(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．


(2)若一元二次不等式的解集为R或∅，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围．


跟踪训练2 已知一元二次不等式x2＋px＋q<0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)0的解集．


解析：因为x2＋px＋q<0的解集为


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)

由根与系数的关系得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－\f(1,2)＝－p，,\f(1,3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝q，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(p＝\f(1,6)，,q＝－\f(1,6).))


所以不等式qx2＋px＋1>0即为－eq \f(1,6)x2＋eq \f(1,6)x＋1>0，


整理得x2－x－6<0，解得－2

即不等式qx2＋px＋1>0的解集为{x|－2

eq \x(状元随笔) eq \x(观察给定不等式的解集形式)→eq \x(由根与系数的关系得p，q的方程组)→eq \x(确定p，q的值)→eq \x(求不等式qx2＋px＋1>0的解集)


题型三 含参数的一元二次不等式的解法[经典例题]


例3 解关于x的不等式2x2＋ax＋2>0.


【解析】 对于方程2x2＋ax＋2＝0，其判别式Δ＝a2－16＝(a＋4)(a－4)．


①当a>4或a<－4时，Δ>0，方程2x2＋ax＋2＝0的两根为x1＝eq \f(1,4)(－a－eq \r(a2－16))，x2＝eq \f(1,4)(－a＋eq \r(a2－16))．


∴原不等式的解集为


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<\f(1,4)－a－\r(a2－16)或x>\f(1,4)－a＋\r(a2－16))))).


②当a＝4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝－1，


∴原不等式的解集为{x|x≠－1}．


③当a＝－4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝1，


∴原不等式的解集为{x|x≠1}．


④当－4

eq \x(状元随笔) 二次项系数为2，Δ＝a2－16不是一个完全平方式，故不能确定根的个数，因此需对判别式Δ的符号进行讨论，确定根的个数．





方法归纳


含参数一元二次不等式求解步骤


(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向；


(2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与x轴交点的个数；


(3)当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小；


(4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集．


跟踪训练3 解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.


解析：原不等式可变形为(x－a)·(x－a2)>0，则方程(x－a)(x－a2)＝0的两个根为x1＝a，x2＝a2，


(1)当a<0时，有aa2，此时原不等式的解集为{x|xa2}；


(2)当0a2，即xa，此时原不等式的解集为{x|xa}；


(3)当a>1时，有a2>a，即xa2，此时原不等式的解集为{x|xa2}；


(4)当a＝0时，有x≠0；∴原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；


(5)当a＝1时，有x≠1，此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}；


综上可知：


当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|xa2}；


当0a}；


当a＝0时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；


当a＝1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}．


eq \x(状元随笔) eq \x(不等式左边分解因式)→eq \x(讨论a的范围)→


eq \x(比较a与a 2的大小)→eq \x(写出不等式的解集)


题型四 一元二次不等式的实际应用[经典例题]


例4 某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x(百台)，其总成本为g(x)万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，并且销售收入r(x)满足r(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－0.5x2＋7x－10.5，0≤x≤7，,13.5，x＞7.))


假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求：


(1)要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？


(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？


【解析】 (1)依题意得g(x)＝x＋3，设利润函数为f(x)，则


f(x)＝r(x)－g(x)，所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－0.5x2＋6x－13.5，0≤x≤7，,10.5－x，x＞7，))


要使工厂有盈利，则有f(x)>0，因为f(x)>0⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤x≤7，,－0.5x2＋6x－13.5＞0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＞7，,10.5－x＞0))⇒


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤x≤7，,x2－12x＋27＜0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＞7，,10.5－x＞0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤x≤7，,3＜x＜9))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>7，,x<10.5.))则3＜x≤7或7＜x＜10.5，即3＜x＜10.5，所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1 050台的范围内．


(2)当3＜x≤7时，f(x)＝－0.5(x－6)2＋4.5，故当x＝6时，f(x)有最大值4.5，而当x＞7时，f(x)＜10.5－7＝3.5，所以当工厂生产600台产品时盈利最大.


(1)求利润函数f(x)⇒解不等式f(x)>0⇒回答实际问题．


(2)根据第(1)题所求范围，分类讨论求函数最值⇒回答实际问题．





方法归纳


解不等式应用题的四步骤


(1)审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．


(2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系．


(3)求：解不等式．


(4)答：回答实际问题．


特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．





跟踪训练4 某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．


(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；


(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．


解析：(1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)


依题意得，y＝200a(1＋2x%)(10－x)%


＝eq \f(1,50)a(100＋2x)(10－x)(0

(2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元)．


依题意得，eq \f(1,50)a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，


化简得x2＋40x－84≤0，


∴－42≤x≤2.


又∵0＜x＜10，∴0＜x≤2.


∴x的取值范围是{x|0＜x≤2}．


eq \x(状元随笔) 根据题意，列出各数量之间的关系表，如下：




















一、选择题


1．不等式3x2－2x＋1>0的解集为( )


A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1

C．∅ D．R


解析：因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝－8<0，所以抛物线y＝3x2－2x＋1开口向上，与x轴无交点，故3x2－2x＋1>0恒成立，即不等式3x2－2x＋1>0的解集为R.


答案：D


2．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是( )


A．{x|x<－n或x>m} B．{x|－n

C．{x|x<－m或x>n} D．{x|－m

解析：不等式(m－x)(n＋x)>0可化为(x－m)(x＋n)<0，方程(x－m)(x＋n)＝0的两根为x1＝m，x2＝－n.由m＋n>0，得m>－n，则不等式(x－m)(x＋n)<0的解集是{x|－n

答案：B


3．不等式ax2＋5x＋c>0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,3)

A．a＝6，c＝1 B．a＝－6，c＝－1


C．a＝1，c＝1 D．a＝－1，c＝－6


解析：由题意知，方程ax2＋5x＋c＝0的两根为x1＝eq \f(1,3)，x2＝eq \f(1,2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,2)＝－eq \f(5,a)，x1·x2＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(c,a).解得a＝－6，c＝－1.


答案：B


4．若不等式x2＋mx＋eq \f(m,2)>0的解集为R，则实数m的取值范围是( )


A．(2，＋∞) B．(－∞，2)


C．(－∞，0)∪(2，＋∞) D．(0,2)


解析：由题意知原不等式对应方程的Δ<0，即m2－4×1×eq \f(m,2)<0，即m2－2m<0，解得0

答案：D


二、填空题


5．不等式(2x－5)(x＋3)<0的解集为________．


解析：方程(2x－5)(x＋3)＝0的两根为x1＝eq \f(5,2)，x2＝－3，函数y＝(2x－5)(x＋3)的图象与x轴的交点坐标为(－3,0)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，0))，所以不等式(2x－5)(x＋3)<0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3

答案：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3

6．不等式eq \f(2x－1,2x＋1)<0的解集为________．


解析：原不等式可以化为(2x－1)(2x＋1)<0，


即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))))<0，


故原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)

答案：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)

7．用一根长为100 m的绳子能围成一个面积大于600 m2的矩形吗？若“能”，当长＝________ m，宽＝________ m时，所围成的矩形的面积最大．


解析：设矩形一边的长为x m，则另一边的长为(50－x)m,0600，即x2－50x＋600<0，解得20

答案：25 25


三、解答题


8．解下列不等式：


(1)x2＋2x－15>0；


(2)x2－3x＋5>0；


(3)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)．


解析：(1)x2＋2x－15>0⇔(x＋5)(x－3)>0⇔x<－5或x>3，所以不等式的解集是{x|x<－5或x>3}．


(2)因为Δ＝(－3)2－4×1×5＝－11<0，再根据函数y＝x2－3x＋5图象的开口方向，所以原不等式的解集为R.


(3)由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2.


∴原不等式等价于9x2－12x＋4>0.


解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝eq \f(2,3).


结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(2,3))))).


9．若关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<\f(1,3)或x>\f(1,2)))))，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．


解析：由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,\f(1,3)＋\f(1,2)＝－\f(b,a)，,\f(1,3)×\f(1,2)＝\f(c,a)，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,b＝－\f(5,6)a>0，,c＝\f(1,6)a<0，))


代入不等式cx2－bx＋a>0中得eq \f(1,6)ax2＋eq \f(5,6)ax＋a>0(a<0)．


即eq \f(1,6)x2＋eq \f(5,6)x＋1<0，化简得x2＋5x＋6<0，


所以所求不等式的解集为{x|－3

[尖子生题库]


10．解关于x的不等式x2－ax－2a2<0.


解析：方程x2－ax－2a2＝0的判断式Δ＝a2＋8a2＝9a2≥0，得方程两根x1＝2a，x2＝－a.


(1)若a>0，则－a

(2)若a<0，则2a

(3)若a＝0，则原不等式即为x2<0，此时解集为∅.


综上所述，原不等式的解集为：


当a>0时，{x|－a

当a<0时，{x|2a

当a＝0时，∅.


Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个不相等的实数根x1，x2(x1有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq \f(b,2a)
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
{x|xx2}
{x|x≠－eq \f(b,2a)}
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1∅
∅
原计划
降税后
价格(元/担)
200
200
税率
10%
(10－x)%(0收购量(万担)
a
a(1＋2x%)
收购总金额(万元)
200a
200·a(1＋2x%)
税收y(万元)
200a·10%
200·a(1＋2x%)(10－x)%