高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式教学设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式教学设计，共9页。

最新课程标准：掌握基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)(a，b≥0)．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.








知识点 基本不等式


(1)重要不等式：对于任意实数a、b，都有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．


(2)基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)(a>0，b>0)，当且仅当a＝b时，等号成立．其中eq \f(a＋b,2)和eq \r(ab)分别叫做正数a，b的算术平均数和几何平均数．


eq \x(状元随笔) 基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)(a，b∈R＋)的应用：


(1)两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a>0，b>0，且a ＋b＝M，M为定值，则ab≤eq \f(M 2,4)，当且仅当a＝b时等号成立．即：a ＋b＝M，M为定值时，(ab)max＝eq \f(M 2,4).


(2)两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a>0，b>0，且ab ＝P，P为定值，则a ＋b≥2eq \r(P)，当且仅当a ＝b时等号成立．


[基础自测]


1．已知a，b∈R，且ab>0，则下列结论恒成立的是( )


A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2eq \r(ab)


C.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)>eq \f(2,\r(ab)) D.eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2


解析：对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，所以A错误；对于B，C，虽然ab>0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab>0，所以eq \f(b,a)>0，eq \f(a,b)>0，所以eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2 eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))，即eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2成立．


答案：D


2．若a>1，则a＋eq \f(1,a－1)的最小值是( )


A．2 B．a


C.eq \f(2\r(a),a－1) D．3


解析：a>1，所以a－1>0，


所以a＋eq \f(1,a－1)＝a－1＋eq \f(1,a－1)＋1≥2eq \r(a－1·\f(1,a－1))＋1＝3.


当且仅当a－1＝eq \f(1,a－1)即a＝2时取等号．


答案：D


3．下列不等式中，正确的是( )


A．a＋eq \f(4,a)≥4 B．a2＋b2≥4ab


C.eq \r(ab)≥eq \f(a＋b,2) D．x2＋eq \f(3,x2)≥2eq \r(3)


解析：a<0，则a＋eq \f(4,a)≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B错，a＝4，b＝16，则eq \r(ab)

答案：D


4．已知x，y都是正数．


(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是________．


(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是________．


解析：(1)x＋y≥2eq \r(xy)＝2eq \r(15)，即x＋y的最小值是2eq \r(15)；当且仅当x＝y＝eq \r(15)时取最小值．


(2)xy≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,2)))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15,2)))2＝eq \f(225,4)，


即xy的最大值是eq \f(225,4).


当且仅当x＝y＝eq \f(15,2)时xy取最大值．


答案：(1)2eq \r(15) (2)eq \f(225,4)





第1课时 基本不等式








题型一 对基本不等式的理解[经典例题]


例1 (1)下列不等式中，不正确的是( )


A.a2＋b2≥2|a||b|


B.eq \f(a2,b)≥2a－b(b≠0)


C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))2≥eq \f(2a,b)－1(b≠0)


D．2(a2＋b2)≥(a＋b)2


(2)给出下列命题：


①若x∈R，则x＋eq \f(1,x)≥2；


②若a<0，b<0，则ab＋eq \f(1,ab)≥2；


③不等式eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)≥2成立的条件是x>0且y>0.其中正确命题的序号是________．


【解析】 (1)A中，a2＋b2＝|a|2＋|b|2≥2|a||b|，所以A正确．由a2＋b2≥2ab，得a2≥2ab－b2.B中，当b<0时，eq \f(a2,b)≤2a－b，所以B不正确．C中，b≠0，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))2≥eq \f(2a,b)－1，所以C正确．D中，由a2＋b2≥2ab，得2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2，所以D正确．


1．举反例、基本不等式⇒逐个判断．


2．明确基本不等式成立的条件⇒逐个判断．


【答案】(1)B


【解析】(2)只有当x>0时，才能由基本不等式得到x＋eq \f(1,x)≥2eq \r(x·\f(1,x))＝2，故①错误；当a<0，b<0时，ab>0，由基本不等式可得ab＋eq \f(1,ab)≥2eq \r(ab·\f(1,ab))＝2，故②正确；由基本不等式可知，当eq \f(y,x)>0，eq \f(x,y)>0时，有eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)≥2eq \r(\f(y,x)·\f(x,y))＝2成立，这时只需x与y同号即可，故③错误．


基本不等式的两个关注点


(1)正数：指式子中的a，b均为正数，


(2)相等：即“＝”成立的条件．


【答案】(2)②


跟踪训练1 设0

A.a

B．a

C．a

D.eq \r(ab)

解析：0

答案：B


利用基本不等式时先要确定成立的条件，有的要适当变形处理．


题型二 利用基本不等式求最值[教材P45例2]


例2 已知x，y都是正数，求证：


(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq \r(P)；


(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq \f(1,4)S2.


【证明】 因为x，y都是正数，所以eq \f(x＋y,2)≥eq \r(xy).


(1)当积xy等于定值P时，eq \f(x＋y,2)≥eq \r(P)，


所以x＋y≥2eq \r(P)，


当且仅当x＝y时，上式等号成立．于是，当x＝y时，和x＋y有最小值2eq \r(P).


(2)当和x＋y等于定值S时，eq \r(xy)≤eq \f(S,2)，


所以xy≤eq \f(1,4)S2，


当且仅当x＝y时，上式等号成立．于是，当x＝y时，积xy有最大值eq \f(1,4)S2.


积是定值，和有最小值．


和是定值，积有最大值．





教材反思


1．利用基本不等式求最值的策略





2．通过消元法利用基本不等式求最值的方法


消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．


特别提醒：利用基本不等式求函数最值，千万不要忽视等号成立的条件．


跟踪训练2 (1)已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则 (1＋x)(1＋y)的最大值为( )


A．16 B．25


C．9 D．36


(2)若正实数x，y满足x＋2y＋2xy－8＝0，则x＋2y的最小值( )


A．3 B．4


C.eq \f(9,2) D.eq \f(11,2)


解析：(1)因为x>0，y>0，且x＋y＝8，


所以(1＋x)(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,2)))2＝9＋42＝25，


因此当且仅当x＝y＝4时，


(1＋x)·(1＋y)取最大值25.


(2)因为正实数x，y满足x＋2y＋2xy－8＝0，


所以x＋2y＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋2y,2)))2－8≥0.


设x＋2y＝t>0，


所以t＋eq \f(1,4)t2－8≥0，


所以t2＋4t－32≥0，


即(t＋8)(t－4)≥0，


所以t≥4，


故x＋2y的最小值为4.


答案：(1)B (2)B


eq \x(状元随笔)


1．展开(1＋x)(1＋y)⇒将x＋y＝8代入⇒用基本不等式求最值．


2．利用基本不等式得x＋2y＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋2y,2)))2－8≥0⇒设x＋2y＝t>0，解不等式求出x＋2y的最小值．


易错点 利用基本不等式求最值


例 若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是( )


A.eq \f(24,5) B.eq \f(28,5)


C．5 D．6


【错解】 由x＋3y＝5xy⇒5xy≥2eq \r(3xy)，


因为x>0，y>0，所以25x2y2≥12xy，即xy≥eq \f(12,25).


所以3x＋4y≥2eq \r(12xy)≥2eq \r(12·\f(12,25))＝eq \f(24,5)，


当且仅当3x＝4y时取等号，


故3x＋4y的最小值是eq \f(24,5).


错误的根本原因是忽视了两次使用基本不等式，等号成立的条件必须一致．


【正解】 由x＋3y＝5xy可得eq \f(1,5y)＋eq \f(3,5x)＝1，所以3x＋4y＝(3x＋4y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5y)＋\f(3,5x)))＝eq \f(9,5)＋eq \f(4,5)＋eq \f(3x,5y)＋eq \f(12y,5x)≥eq \f(13,5)＋2eq \r(\f(3x,5y)·\f(12y,5x))＝eq \f(13,5)＋eq \f(12,5)＝5，


当且仅当x＝1，y＝eq \f(1,2)时取等号，


故3x＋4y的最小值是5.


答案：C








课时作业 8





一、选择题


1．给出下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0，其中能使eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2成立的条件有( )


A．1个 B．2个


C．3个 D．4个


解析：当eq \f(b,a)，eq \f(a,b)均为正数时，eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2，故只须a、b同号即可，∴①③④均可以．


答案：C


2．已知t>0，则y＝eq \f(t2－4t＋1,t)的最小值为( )


A．－1 B．－2


C．2 D．－5


解析：依题意得y＝t＋eq \f(1,t)－4≥2eq \r(t·\f(1,t))－4＝－2，等号成立时t＝1，即函数y＝eq \f(t2－4t＋1,t)(t>0)的最小值是－2.


答案：B


3．若a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( )


A．ab≤eq \f(1,2) B．ab≥eq \f(1,2)


C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3


解析：∵a2＋b2≥2ab，


∴(a2＋b2)＋(a2＋b2)≥(a2＋b2)＋2ab，


即2(a2＋b2)≥(a＋b)2＝4，


∴a2＋b2≥2.


答案：C


4．若a，b都是正数，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(b,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(4a,b)))的最小值为( )


A．7 B．8


C．9 D．10


解析：因为a，b都是正数，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(b,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(4a,b)))＝5＋eq \f(b,a)＋eq \f(4a,b)≥5＋2eq \r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝9，当且仅当b＝2a>0时取等号．


答案：C


二、填空题


5．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是________．


解析：当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0时“＝”成立，此时a＝1.


答案：a＝1


6．设a＋b＝M(a>0，b>0)，M为常数，且ab的最大值为2，则M等于________．


解析：因为a＋b＝M(a>0，b>0)，


由基本不等式可得，ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2＝eq \f(M2,4)，


因为ab的最大值为2，


所以eq \f(M2,4)＝2，M>0，所以M＝2eq \r(2).


答案：2eq \r(2)


7．已知x>0，y>0，且eq \f(1,y)＋eq \f(3,x)＝1，则3x＋4y的最小值是________．


解析：因为x>0，y>0，eq \f(1,y)＋eq \f(3,x)＝1，


所以3x＋4y＝(3x＋4y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,y)＋\f(3,x)))＝13＋eq \f(3x,y)＋eq \f(12y,x)≥13＋3×2eq \r(\f(x,y)·\f(4y,x))＝25(当且仅当x＝2y＝5时取等号)，


所以(3x＋4y)min＝25.


答案：25


三、解答题


8．已知x

解析：因为x0.


f(x)＝4x－5＋3＋eq \f(1,4x－5)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－4x＋\f(1,5－4x)))＋3


≤－2eq \r(5－4x·\f(1,5－4x))＋3＝1.


当且仅当5－4x＝eq \f(1,5－4x)时等号成立，


又5－4x>0，


所以5－4x＝1，x＝1.


所以f(x)max＝f(1)＝1.





9．已知函数f(x)＝4x＋eq \f(a,x)(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值．


解析：因为f(x)＝4x＋eq \f(a,x)≥2eq \r(4x·\f(a,x))＝4eq \r(a)，


当且仅当4x＝eq \f(a,x)，即4x2＝a时，f(x)取得最小值．


又因为x＝3，所以a＝4×32＝36.


[尖子生题库]


10．已知x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，求函数y＝eq \f(1,x)＋eq \f(8,1－2x)的最小值．


解析：y＝eq \f(2,2x)＋eq \f(8,1－2x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,2x)＋\f(8,1－2x)))·(2x＋1－2x)＝10＋2·eq \f(1－2x,2x)＋8·eq \f(2x,1－2x)，


而x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，2·eq \f(1－2x,2x)＋8·eq \f(2x,1－2x)≥2eq \r(16)＝8，


当且仅当2·eq \f(1－2x,2x)＝8·eq \f(2x,1－2x)，


即x＝eq \f(1,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))时取到等号，则y≥18，


所以函数y＝eq \f(1,x)＋eq \f(8,1－2x)的最小值为18.