高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念教学设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念教学设计，共12页。

5.2.1 三角函数的概念


最新课程标准：(1)借助单位圆理解任意角的三角函数定义．(2)掌握三角函数在各象限的符号．(3)掌握诱导公式一并会应用．(4)会用三角函数线表示角的正弦、余弦和正切.








知识点一 任意角的三角函数的定义








eq \x(状元随笔) 三角函数的定义


(1)三角函数是一个函数，符合函数的定义，是由角的集合(弧度数)到一个比值的集合的函数．


(2)三角函数值实质是一个比值，因此分母不能为零，所以正切函数的定义域就是使分母不为零的角的集合．





知识点二 正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域


知识点三 三角函数线





eq \x(状元随笔) (1)三角函数线的方向．


正弦线由垂足指向角α的终边与单位圆的交点，余弦线由原点指向垂足，正切线由切点指向切线与角α的终边或其反向延长线的交点．


(2)三角函数线的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴同向的，为正值，与x轴或y轴反向的，为负值．


知识点四 三角函数值在各象限的符号





eq \x(状元随笔) 对三角函数值符号的理解


三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．根据三角函数定义知：


(1)正弦值符号取决于纵坐标y的符号；


(2)余弦值的符号取决于横坐标x的符号；


(3)正切值的符号是由x，y符号共同决定的，即x，y同号为正，异号为负．


知识点五 诱导公式一


(1)语言表示：终边相同的角的同名三角函数的值相等．


(2)式子表示eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinα＋k·2π＝sin α，,csα＋k·2π＝cs α，,tanα＋k·2π＝tan α，))其中k∈Z.


eq \x(状元随笔) 诱导公式一


(1)实质：是说终边相同的角的三角函数值相等. 即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次．


(2)结构特征：左、右为同一三角函数；公式左边的角为α＋k·2π，右边的角为α.


(3)作用：把求任意角的三角函数值转化为求0 ～2π(或0 °～360 °)角的三角函数值．体现了“大化小”“负化正”的数学思想．


[教材解难]


正确认识三角函数线


(1)正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的几何表示，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负，凡与x轴或y轴同向的为正值，反向的为负值．


(2)三角函数线的画法


定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角a的三角函数线的画法，即先找到P，M，T点，再画出MP，OM，AT.


(3)三角函数线的作用


三角函数线的主要作用是解三角不等式及比较同角异名三角函数值的大小，同时它也是以后学习三角函数的图象与性质的基础．


[基础自测]


1．如图所示，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )





A．正弦线PM，正切线A′T′


B．正弦线MP，正切线A′T′


C．正弦线MP，正切线AT


D．正弦线PM，正切线AT


解析：α为第三象限角，故正弦线为MP，正切线为AT，所以C正确．


答案：C


2．sin 780°的值为( )


A．－eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),2)


C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)


解析：sin 780°＝sin(2×360°＋60°)＝sin 60°＝eq \f(\r(3),2)，故选B.


答案：B


3．已知角α的终边与单位圆交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))，则sin α的值为( )


A．－eq \f(\r(3),2) B．－eq \f(1,2)


C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(1,2)


解析：根据任意角的正弦定义，可得sin α＝y＝－eq \f(1,2).


答案：B


4．若α是第三象限角，则点P(sin α，cs α)在第________象限．


解析：∵α为第三象限角，


∴sin α<0，cs α<0，


∴P(sin α，cs α)位于第三象限．


答案：三











题型一 三角函数的定义及应用[教材P178例1]


例1 求eq \f(5π,3)的正弦、余弦和正切值．


【解析】 在直线坐标系中，


作∠AOB＝eq \f(5π,3)(如图)．





易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2))).


所以sineq \f(5π,3)＝－eq \f(\r(3),2)，


cseq \f(5π,3)＝eq \f(1,2)，


taneq \f(5π,3)＝－eq \r(3).


1．在直角坐标系中作角．


2．画出单位圆求交点．


3．利用三角函数的定义求值．





教材反思


已知α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法


(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．


(2)在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r). 已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．


(3)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．


跟踪训练1 (1)若角α的终边经过点P(5，－12)，则sin α＝________，cs α＝________，tan α＝________.


(2)已知角α的终边落在直线eq \r(3)x＋y＝0上，求sin α，cs α，tan α的值．


解析： (1)∵x＝5，y＝－12，∴r＝eq \r(52＋－122)＝13，则sin α＝eq \f(y,r)＝－eq \f(12,13)，cs α＝eq \f(x,r)＝eq \f(5,13)，tan α＝eq \f(y,x)＝－eq \f(12,5).


(2)直线eq \r(3)x＋y＝0，即y＝－eq \r(3)x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，eq \r(3))，则r＝eq \r(－12＋\r(3)2)＝2，所以sin α＝eq \f(\r(3),2)，cs α＝－eq \f(1,2)，tan α＝－eq \r(3)；


在第四象限取直线上的点 (1，－eq \r(3))，则r＝eq \r(12＋－\r(3)2)＝2，所以sin α＝－eq \f(\r(3),2)，cs α＝eq \f(1,2)，tan α＝－eq \r(3).


答案： (1)－eq \f(12,13) eq \f(5,13) －eq \f(12,5) (2)见解析


eq \x(状元随笔) (1)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)不是单位圆上的点，则先求r＝eq \r(x2＋y2)(r表示点P到原点的距离)，sinα＝eq \f(y,r)，csα＝eq \f(x,r)，tanα＝eq \f(y,x).


(2)在 α的终边上任取一点，再利用三角函数的定义求解．


题型二 三角函数线[经典例题]


例2 做出eq \f(3π,4)的正弦线、余弦线和正切线．





【解析】 角eq \f(3π,4)的终边(如图)与单位圆的交点为P.作PM垂直于x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线AT，与eq \f(3π,4)的终边的反向延长线交于点T，则eq \f(3π,4)的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.


先作单位圆再作角，最后作出三角函数线．








方法归纳


三角函数线的画法


(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．


(2)作正切线时，应从A(1,0)点引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线AT.


跟踪训练2 作出－eq \f(5π,8)的正弦线、余弦线和正切线．





解析：如图：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,8)))＝MP，


cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,8)))＝OM，


taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,8)))＝AT.


作单位圆、作角、画出三角函数线．


题型三 三角函数在各象限的符号[经典例题]


例3 若sin αtan α<0，且eq \f(cs α,tan α)<0，则角α是( )


A.第一象限角


B．第二象限角


C．第三象限角


D．第四象限角





【解析】 由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而α是第二或第三象限角．


由eq \f(cs α,tan α)<0可知cs α，tan α异号，从而α是第三或第四象限角．综上可知，α是第三象限角．


【答案】 C


分别由sinαtanα＜0和eq \f(csα,tanα)＜确定角α是第几象限角→ 二者的公共部分即所求





方法归纳


判断三角函数值正负的两个步骤


(1)定象限：确定角α所在的象限．


(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断．


注意：若sin α>0，则α的终边不一定落在第一象限或第二象限内，有可能终边落在y轴的非负半轴上．





跟踪训练3 判断下列各式的符号：


(1)sin 145°cs(－210°)；


(2)sin 3·cs 4·tan 5.


解析：(1)∵145°角是第二象限角，∴sin 145°>0.


∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°角是第二象限角，


∴cs(－210°)<0，∴sin 145°cs(－210°)<0.


(2)∵eq \f(π,2)<3<π<40，cs 4<0，


tan 5<0，∴sin 3·cs 4·tan 5>0.


eq \x(确定角的终边所在的象限)→


eq \x(分别判断三角函数值符号)→


eq \x(得出式子的符号)


题型四 诱导公式一的应用[经典例题]


例4 计算下列各式的值：


(1)sin(－1 395°)cs 1 110°＋cs(－1 020°)sin 750°；


(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11π,6)))＋cseq \f(12π,5)·tan 4π.


【解析】 (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cs(3×360°＋30°)＋cs(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)


＝sin 45°cs 30°＋cs 60°sin 30°


＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(6),4)＋eq \f(1,4)＝eq \f(1＋\r(6),4).


(2)原式＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2π＋\f(π,6)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(2π,5)))·tan(4π＋0)


＝sineq \f(π,6)＋cseq \f(2π,5)×0＝eq \f(1,2).


eq \x(状元随笔) (1)含有三角函数值的代数式的化简，要先利用诱导公式一把角的范围转化到0 ～2π范围内，求出相应的三角函数值．


(2)准确记忆特殊角的三角函数值是三角函数化简求值的基础，此类问题易出现的错误就是对特殊角的三角函数值记忆不准确导致计算错误．








方法归纳


利用诱导公式一求值应注意：利用诱导公式一可把负角的三角函数转化为0～2π内的角的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数转化为0～2π内的角的三角函数，即实现了“负化正，大化小”，要注意记忆特殊角的三角函数值．


跟踪训练4 求下列各式的值：


(1)sineq \f(25π,3)＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,4)))；


(2)sin 810°＋cs 360°－tan 1 125°.


解析：(1)sineq \f(25π,3)＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,4)))


＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8π＋\f(π,3)))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4π＋\f(π,4)))


＝sineq \f(π,3)＋taneq \f(π,4)


＝eq \f(\r(3),2)＋1.


(2)sin 810°＋cs 360°－tan 1 125°


＝sin(2×360°＋90°)＋cs(360°＋0°)－tan(3×360°＋45°)


＝sin 90°＋cs 0°－tan 45°


＝1＋1－1


＝1.


应用诱导公式一时，先将角转化到0 ～2π范围内的角，再求值. 对于特殊角的三角函数值一定要熟记．














课时作业 29





一、选择题


1．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(4,5)))，则tan α的值为( )


A．－eq \f(4,3) B．－eq \f(3,4)


C．－eq \f(4,5) D．－eq \f(3,5)


解析：由正切函数的定义可得，tan α＝eq \f(\f(4,5),－\f(3,5))＝－eq \f(4,3).


答案：A


2．sin(－140°)cs 740°的值( )


A．大于0 B．小于0


C．等于0 D．不确定


解析：因为－140°为第三象限角，故sin(－140°)<0.


因为740°＝2×360°＋20°，所以740°为第一象限角，


故cs 740°>0，


所以sin(－140°)cs 740°<0.故选B.


答案：B


3．若sin θcs θ<0，则角θ是( )


A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角


C．第三或第四象限角 D．第二或第四象限角


解析：设角θ终边上一点的坐标为(x，y)，该点到原点的距离为r(r>0)，则sin θcs θ＝eq \f(y,r)·eq \f(x,r)<0，即xy<0，所以角θ终边上点的横、纵坐标异号，故角θ是第二或第四象限角．


答案：D


4．使sin x≤cs x成立的x的一个区间是( )


A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3π,4)，\f(π,4))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))


C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(3π,4))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，π))





解析：如图所示，画出三角函数线sin x＝MP，cs x＝OM，由于sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,4)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,4)))，sineq \f(π,4)＝cseq \f(π,4)，为使sin x≤cs x成立，由图可得在[－π，π)范围内，－eq \f(3π,4)≤x≤eq \f(π,4).


答案：A


二、填空题


5．sin(－1 380°)＝________.


解析：sin(－1 380°)＝sin[60°＋(－4)×360°]＝sin 60°＝eq \f(\r(3),2).


答案：eq \f(\r(3),2)


6．当α为第二象限角时，eq \f(|sin α|,sin α)－eq \f(cs α,|cs α|)的值是________．


解析：∵α为第二象限角，∴sin α>0，cs α<0.


∴eq \f(|sin α|,sin α)－eq \f(cs α,|cs α|)＝eq \f(sin α,sin α)－eq \f(cs α,－cs α)＝2.


答案：2





7．用三角函数线比较sin 1与cs 1的大小，结果是________．


解析：如图，sin 1＝MP，cs 1＝OM.


显然MP>OM，即sin 1>cs 1.


答案：sin 1>cs 1


三、解答题


8．已知角α的终边为射线y＝－eq \f(3,4)x(x≥0)，求角α的正弦、余弦和正切值．


解析：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－\f(3,4)x，,x2＋y2＝1，))得x2＋eq \f(9,16)x2＝1，即25x2＝16，即x＝eq \f(4,5)或x＝－eq \f(4,5).


∵x≥0，∴x＝eq \f(4,5)，从而y＝－eq \f(3,5).


∴角α的终边与单位圆的交点坐标为(eq \f(4,5)，－eq \f(3,5))．


∴sin α＝y＝－eq \f(3,5)，cs α＝x＝eq \f(4,5)，tan α＝eq \f(y,x)＝－eq \f(3,4).


9．判断下列各式的符号：


(1)sin 105°·cs 230°；


(2)cs 3·taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3))).


解析：(1)因为105°，230°分别为第二、第三象限角，所以sin 105°>0，cs 230°<0.于是sin 105°·cs 230°<0.


(2)因为eq \f(π,2)<3<π，所以3是第二象限角，所以cs 3<0，又因为－eq \f(2π,3)是第三象限角，所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)))>0，所以cs 3·taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)))<0.


[尖子生题库]


10．利用三角函数线，求满足下列条件的角α的集合：


(1)tan α＝－1；(2)sin α≤－eq \f(\r(2),2).


解析：(1)如图①所示，过点(1，－1)和原点作直线交单位圆于点P和P′，则OP和OP′就是角α的终边，所以∠xOP＝eq \f(3π,4)＝π－eq \f(π,4)，∠xOP′＝－eq \f(π,4)，


所以满足条件的所有角α的集合是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝－\f(π,4)＋kπ，k∈Z)))).





(2)如图②所示，过eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(\r(2),2)))作与x轴的平行线，交单位圆于点P和P′，则sin∠xOP＝sin∠xOP′＝－eq \f(\r(2),2)，


∴∠xOP＝eq \f(5,4)π，∠xOP′＝eq \f(7,4)π，


∴满足条件所有角α的集合为


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|\f(5,4)π＋2kπ≤α≤\f(7,4)π＋2kπ，k∈Z)).





前提
如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)
定义
正弦
y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y
余弦
x叫做α的余弦，记作cs α，即cs α＝x
正切
eq \f(y,x)叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)
三角


函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数.
三角函数
定义域
sin α
R
cs α
R
tan α
{α∈R|α≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z}